课件32张PPT。 热点回扣7
函数与导数 回扣必考知识栏目索引牢记常用结论精练易错考点回扣必考知识1.判断函数单调性,有哪些常用方法?答案 判断函数单调性的常用方法:
(1)能画出图象的,一般用数形结合法去观察.
(2)由基本初等函数通过加减运算或复合而成的函数,常转化为基本初等函数的单调性判断问题.
(3)对于解析式较复杂的,一般用导数.
(4)对于抽象函数,一般用定义法.2.求函数最值(值域),有哪些常用方法?答案 求函数最值(值域)的常用方法:
(1)单调性法:适合于已知或能判断单调性的函数.
(2)图象法:适合于已知或易作出图象的函数.
(3)基本不等式法:特别适合于分式结构或两元的函数.
(4)导数法:适合于可求导数的函数.3.判断函数零点个数有哪些方法?答案 (1)解方程法:若对应方程f(x)=0可解,通过解方程,则方程有几个解就对应有几个零点.
(2)函数零点的存在性定理法:利用定理不仅要判断函数图象在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数的零点个数.
(3)数形结合法:合理转化为两个函数的图象(易画出图象)的交点个数问题.先画出两个函数的图象,看其交点的个数,其中交点的个数,就是函数零点的个数.4.指数函数与对数函数的基本性质
(1)过定点:y=ax(a>0,且a≠1)恒过点 ,
y=logax(a>0,且a≠1)恒过点 .
(2)单调性:当a>1时,y=ax在R上单调 ;y=logax在 上单调递增;
当0<a<1时,y=ax在R上单调 ;y=logax在 上单调递减.
5.导数的几何意义
f′(x0)的几何意义:曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率,该切线的方程为
.(0,1)(1,0)递增(0,+∞)(0,+∞)递减y-f(x0)=f′(x0)·(x-x0)6.用导数研究函数单调性的基本步骤是什么?答案 (1)确定函数y=f(x)的定义域.
(2)求导数y′=f′(x).
(3)解方程f′(x)=0在定义域内的所有实根.
(4)将函数y=f(x)的间断点(即函数无定义点)的横坐标和使f′(x)=0的实数根按从小到大的顺序排列起来,将定义域分成若干个小区间.
(5)确定f′(x)在各个小区间内的符号,由此确定每个区间的单调性.牢记常用结论(1)函数图象的变换:
①作函数y=f(x)的图象关于x轴对称的图形,得到函数y=-f(x)的图象.
②作函数y=f(x)的图象关于y轴对称的图形,得到函数y=f(-x)的图象.
③作函数y=f(x)的图象关于原点对称的图形,得到函数y=-f(-x)的图象.
④将函数y=f(x)在x轴及上方的图象保留,下方的图象折上去,得到函数y=|f(x)|的图象.
⑤将函数y=f(x)在y轴及右侧的图象保留,去掉y轴左侧的图象,再把右侧图象复制并翻折到左侧去,得到函数y=f(|x|)的图象.(4)函数的周期性:
①若函数y=f(x)在x∈R上有f(x+a)=f(x-a)恒成立,则f(x)的周期为2|a|.
②若函数y=f(x)在x∈R上有f(x+a)=-f(x)或f(x+a)=± ,则f(x)的周期为2|a|.
(5)证明不等式
①两个经典不等式
ex≥x+1,
ln x≤x-1.
②证明f(x)<g(x),即f(x)的图象恒在g(x)的图象的下方,应构造函数h(x)=f(x)-g(x),再证明h(x)最大值<0成立.精练易错考点123456789101112√123456789101112√1234567891011√123.(基本初等函数单调性不清易错)
设a=ee,b=πe,c=eπ,则a,b,c的大小关系是
A.a>c>b B.b>c>a
C.c>b>a D.c>a>b123456789101112解析 由幂函数和指数函数的性质可得πe>ee,eπ>ee,
即b>a,c>a.
下面比较b,c的大小,即比较eln π与π的大小.∴f(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,
∴f(e)>f(π),即eln e-e>eln π-π,即eln π<π,
∴πeb,即c>b>a.4.设f(x)=ln 是奇函数,且在x=0处有意义,则使f(x)<0的x的取值范围是
A.(-1,0) B.(0,1)
C.(-∞,0) D.(-∞,0)∪(1,+∞)123456789101112√解析 因为f(x)为奇函数,且f(x)在x=0处有意义,
所以f(0)=ln(2+a)=0,即a=-1.123456789101112√5.(导数计算思路不清易错)
已知函数f(x)=(x2+2)(ax2+b),且f′(1)=2,则f′(-1)等于
A.-1 B.-2 C.2 D.0解析 f(x)=(x2+2)(ax2+b)=ax4+(2a+b)x2+2b,
则f′(x)=4ax3+2(2a+b)x为奇函数,
所以f′(-1)=-f′(1)=-2.6.若函数f(x)=ln x-ax在点P(1,b)处的切线与x+3y-2=0垂直,则2a+b等于
A.2 B.0 C.-1 D.-2123456789101112√即函数f(x)=ln x-ax在点P(1,b)处的切线的斜率是1-a,又点P(1,b)在函数f(x)=ln x+2x的图象上,
则f(1)=2=b,所以2a+b=2×(-2)+2=-2.123456789101112√123456789101112解析 f′(x)=1+2acos 2x,1234567891011128.若f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则a的取值范围是
A.(-1,2) B.(-∞,-1)∪(2,+∞)
C.(-3,6) D.(-∞,-3)∪(6,+∞)√解析 f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1,
则f′(x)=3x2+2ax+(a+6).
因为f(x)有极大值和极小值,
所以f′(x)=3x2+2ax+(a+6)=0有两个不等的实数根.
所以Δ=4a2-12(a+6)>0,
即a2-3a-18>0,解得a<-3或a>6.
所以所求a的取值范围是(-∞,-3)∪(6,+∞).1234567891011129.(函数零点思路不明致误)
已知函数f(x)= 若函数g(x)=f(x)-m有3个零点,则实数m的取值范围是________.(0,1)由于函数g(x)=f(x)-m有3个零点,结合图象得0<m<1,即m∈(0,1).10.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x+2)=f(x).当0<x≤1时,f(x)=x3-ax+1,则实数a的值为________.1234567891011122解析 ∵f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x+2)=f(x),
∴当x=-1时,f(-1+2)=f(-1)=f(1),即-f(1)=f(1),则f(1)=0,
∵当0<x≤1时,f(x)=x3-ax+1,
∴f(1)=1-a+1=0,得a=2.11.(2019·北京丰台区模拟)已知函数f(x) .
(1)当a=0时,求函数f(x)的单调区间;123456789101112解 f(x)的定义域为(0,+∞),令f′(x)>0得x>1,令f′(x)<0得0<x<1.
所以f(x)的增区间为(1,+∞),减区间为(0,1).123456789101112(2)若函数f(x)在x=1处取得极大值,求实数a的取值范围.123456789101112①当a≤e时,x∈(1,+∞),则ex-a≥ex-e>0.函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,
函数f(x)在x=1处不可能取得极大值.
②当a>e时,ln a>1.123456789101112在x∈(0,ln a)上,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况列表如下:函数f(x)在x=1处取得极大值.
综上可知,a的取值范围是(e,+∞).12.已知函数f(x)=axln x-x+1,a∈R.
(1)讨论f(x)的单调区间;123456789101112解 f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=aln x+a-1.
①当a=0时,f′(x)=-1<0,此时f(x)的单调递减区间为(0,+∞);
②当a>0时,由f′(x)>0得x> ,由f′(x)<0得0<x< ,
此时f(x)的单调递增区间为( ,+∞),单调递减区间为(0, );
③当a<0时,由f′(x)<0得x> ,由f′(x)>0得0<x< ,
此时f(x)的单调递减区间为( ,+∞),单调递增区间为(0, ).123456789101112(2)当p>q>1时,证明:qln p+ln q<pln q+ln p.123456789101112123456789101112由(1)知,f(x)=xln x-x+1在(1,+∞)内单调递增,
又f(1)=0,所以当x∈(1,+∞)时,f(x)>0,
所以xln x-x+1>0,即x-1-xln x<0,从而,当x∈(1,+∞)时,g′(x)<0,
因此g(x)在(1,+∞)内单调递减.123456789101112故当p>q>1时,qln p+ln q<pln q+ln p. 本课结束 热点回扣7 函数与导数
1.判断函数单调性,有哪些常用方法?
答案 判断函数单调性的常用方法:
(1)能画出图象的,一般用数形结合法去观察.
(2)由基本初等函数通过加减运算或复合而成的函数,常转化为基本初等函数的单调性判断问题.
(3)对于解析式较复杂的,一般用导数.
(4)对于抽象函数,一般用定义法.
2.求函数最值(值域),有哪些常用方法?
答案 求函数最值(值域)的常用方法:
(1)单调性法:适合于已知或能判断单调性的函数.
(2)图象法:适合于已知或易作出图象的函数.
(3)基本不等式法:特别适合于分式结构或两元的函数.
(4)导数法:适合于可求导数的函数.
3.判断函数零点个数有哪些方法?
答案 (1)解方程法:若对应方程f(x)=0可解,通过解方程,则方程有几个解就对应有几个零点.
(2)函数零点的存在性定理法:利用定理不仅要判断函数图象在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数的零点个数.
(3)数形结合法:合理转化为两个函数的图象(易画出图象)的交点个数问题.先画出两个函数的图象,看其交点的个数,其中交点的个数,就是函数零点的个数.
4.指数函数与对数函数的基本性质
(1)过定点:y=ax(a>0,且a≠1)恒过点(0,1),
y=logax(a>0,且a≠1)恒过点(1,0).
(2)单调性:当a>1时,y=ax在R上单调递增;y=logax在(0,+∞)上单调递增;
当0<a<1时,y=ax在R上单调递减;y=logax在(0,+∞)上单调递减.
5.导数的几何意义
f′(x0)的几何意义:曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率,该切线的方程为y-f(x0)=f′(x0)·(x-x0).
6.用导数研究函数单调性的基本步骤是什么?
答案 (1)确定函数y=f(x)的定义域.
(2)求导数y′=f′(x).
(3)解方程f′(x)=0在定义域内的所有实根.
(4)将函数y=f(x)的间断点(即函数无定义点)的横坐标和使f′(x)=0的实数根按从小到大的顺序排列起来,将定义域分成若干个小区间.
(5)确定f′(x)在各个小区间内的符号,由此确定每个区间的单调性.
(1)函数图象的变换:
①作函数y=f(x)的图象关于x轴对称的图形,得到函数y=-f(x)的图象.
②作函数y=f(x)的图象关于y轴对称的图形,得到函数y=f(-x)的图象.
③作函数y=f(x)的图象关于原点对称的图形,得到函数y=-f(-x)的图象.
④将函数y=f(x)在x轴及上方的图象保留,下方的图象折上去,得到函数y=|f(x)|的图象.
⑤将函数y=f(x)在y轴及右侧的图象保留,去掉y轴左侧的图象,再把右侧图象复制并翻折到左侧去,得到函数y=f(|x|)的图象.
(2)对勾函数y=x+(m>0)的单调性
函数y=x+(m>0)在区间(0,)上是减函数,在[,+∞)上为增函数.
(3)函数图象的对称性:
若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则函数f(x)的图象关于直线x=对称;
若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x),则函数f(x)的图象关于点对称.
(4)函数的周期性:
①若函数y=f(x)在x∈R上有f(x+a)=f(x-a)恒成立,则f(x)的周期为2|a|.
②若函数y=f(x)在x∈R上有f(x+a)=-f(x)或f(x+a)=±,则f(x)的周期为2|a|.
(5)证明不等式
①两个经典不等式
ex≥x+1,
ln x≤x-1.
②证明f(x)<g(x),即f(x)的图象恒在g(x)的图象的下方,应构造函数h(x)=f(x)-g(x),再证明h(x)最大值<0成立.
1.(定义域考虑不周全易错)
函数f(x)=log2(1-2x)+的定义域为( )
A. B.
C.(-1,0)∪ D.(-∞,-1)∪
答案 D
解析 由1-2x>0,且x+1≠0,得x<且x≠-1,所以函数f(x)=log2(1-2x)+的定义域为(-∞,-1)∪.
2.(分段函数意义不明易错)
已知f(x)=则f?+f?的值等于( )
A.-2 B.4 C.2 D.-4
答案 B
解析 由题意得f?=2×=,
f?=f?=f?=2×=,
所以f?+f?=4.
3.(基本初等函数单调性不清易错)
设a=ee,b=πe,c=eπ,则a,b,c的大小关系是( )
A.a>c>b B.b>c>a
C.c>b>a D.c>a>b
答案 C
解析 由幂函数和指数函数的性质可得πe>ee,eπ>ee,
即b>a,c>a.
下面比较b,c的大小,即比较eln π与π的大小.
设f(x)=eln x-x,则f′(x)=,
∴f(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,
∴f(e)>f(π),即eln e-e>eln π-π,即eln π<π,
∴πeb,即c>b>a.
4.设f(x)=ln是奇函数,且在x=0处有意义,则使f(x)<0的x的取值范围是( )
A.(-1,0) B.(0,1)
C.(-∞,0) D.(-∞,0)∪(1,+∞)
答案 A
解析 因为f(x)为奇函数,且f(x)在x=0处有意义,
所以f(0)=ln(2+a)=0,即a=-1.
所以f(x)=ln=ln,
令f(x)=ln<0,
即0<<1,解得-1<x<0.
5.(导数计算思路不清易错)
已知函数f(x)=(x2+2)(ax2+b),且f′(1)=2,则f′(-1)等于( )
A.-1 B.-2 C.2 D.0
答案 B
解析 f(x)=(x2+2)(ax2+b)=ax4+(2a+b)x2+2b,则f′(x)=4ax3+2(2a+b)x为奇函数,所以f′(-1)=-f′(1)=-2.
6.若函数f(x)=ln x-ax在点P(1,b)处的切线与x+3y-2=0垂直,则2a+b等于( )
A.2 B.0 C.-1 D.-2
答案 D
解析 f′(x)=-a(x>0),f′(1)=1-a,
即函数f(x)=ln x-ax在点P(1,b)处的切线的斜率是1-a,直线x+3y-2=0的斜率是-,
所以×(1-a)=-1,解得a=-2.
又点P(1,b)在函数f(x)=ln x+2x的图象上,
则f(1)=2=b,所以2a+b=2×(-2)+2=-2.
7.(函数单调性条件不清易错)
若函数f(x)=x+asin 2x在上单调递增,则a的取值范围是( )
A. B.[-1,+∞)
C. D.
答案 C
解析 f′(x)=1+2acos 2x,
由题意知f′(x)=1+2acos 2x≥0在上恒成立,
即2a≥-在上恒成立,
又当x∈时,有0所以-≤-1,即-有最大值-1,
若f′(x)=1+2acos 2x≥0在上恒成立,
则a≥-,即a的取值范围为.
8.若f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则a的取值范围是( )
A.(-1,2) B.(-∞,-1)∪(2,+∞)
C.(-3,6) D.(-∞,-3)∪(6,+∞)
答案 D
解析 f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1,
则f′(x)=3x2+2ax+(a+6).
因为f(x)有极大值和极小值,
所以f′(x)=3x2+2ax+(a+6)=0有两个不等的实数根.
所以Δ=4a2-12(a+6)>0,
即a2-3a-18>0,解得a<-3或a>6.
所以所求a的取值范围是(-∞,-3)∪(6,+∞).
9.(函数零点思路不明致误)
已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m有3个零点,则实数m的取值范围是________.
答案 (0,1)
解析 作出f(x)=的图象如图所示.由于函数g(x)=f(x)-m有3个零点,结合图象得0<m<1,即m∈(0,1).
10.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x+2)=f(x).当0<x≤1时,f(x)=x3-ax+1,则实数a的值为________.
答案 2
解析 ∵f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x+2)=f(x),
∴当x=-1时,f(-1+2)=f(-1)=f(1),即-f(1)=f(1),则f(1)=0,
∵当0<x≤1时,f(x)=x3-ax+1,
∴f(1)=1-a+1=0,得a=2.
11.(2019·北京丰台区模拟)已知函数f(x)=--aln x.
(1)当a=0时,求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在x=1处取得极大值,求实数a的取值范围.
解 (1)f(x)的定义域为(0,+∞),
当a=0时,f(x)=,f′(x)=,
令f′(x)>0得x>1,令f′(x)<0得0<x<1.
所以f(x)的增区间为(1,+∞),减区间为(0,1).
(2)f′(x)=.
①当a≤e时,x∈(1,+∞),则ex-a≥ex-e>0.
此时f′(x)=>0,
函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,
函数f(x)在x=1处不可能取得极大值.
②当a>e时,ln a>1.
在x∈(0,ln a)上,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况列表如下:
x
(0,1)
1
(1,ln a)
f′(x)
+
0
-
f(x)
?
极大值
?
函数f(x)在x=1处取得极大值.
综上可知,a的取值范围是(e,+∞).
12.已知函数f(x)=axln x-x+1,a∈R.
(1)讨论f(x)的单调区间;
(2)当p>q>1时,证明:qln p+ln q<pln q+ln p.
(1)解 f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=aln x+a-1.
①当a=0时,f′(x)=-1<0,此时f(x)的单调递减区间为(0,+∞);
②当a>0时,由f′(x)>0得x>,由f′(x)<0得0<x<,
此时f(x)的单调递增区间为(,+∞),单调递减区间为(0,);
③当a<0时,由f′(x)<0得x>,由f′(x)>0得0<x<,
此时f(x)的单调递减区间为(,+∞),单调递增区间为(0,).
(2)证明 设g(x)=(x>1),
则g′(x)=,
由(1)知,f(x)=xln x-x+1在(1,+∞)内单调递增,
又f(1)=0,所以当x∈(1,+∞)时,f(x)>0,
所以xln x-x+1>0,即x-1-xln x<0,
所以g′(x)=<0.
从而,当x∈(1,+∞)时,g′(x)<0,
因此g(x)在(1,+∞)内单调递减.
所以当p>q>1时,g(p)故当p>q>1时,qln p+ln q<pln q+ln p.