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非主干内容 回扣必考知识栏目索引牢记常用结论精练易错考点回扣必考知识一、集合与常用逻辑用语1.集合中元素有哪些特征？答案 集合中的元素有确定性、互异性、无序性.2.集合的运算性质
(1)若A?B，则A∩B＝ ，A∪B＝ .
(2)?U(?UA)＝ .ABA3.充分条件与必要条件的三种判定方法
(1)定义法：正、反方向推理，若p?q，则p是q的 条件(或q是p的 条件)；若p?q，且q?p，则p是q的 条件(或q是p的 条件).
(2)集合法：利用集合间的包含关系.例如，p成立的对象组成集合A，q成立的对象组成集合B.
若A?B，则p是q的 条件(q是p的 条件)；若A?B，则p是q的 条件(q是p的 条件)；若A＝B，则p是q的 条件.
(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题.充分必要充分不必要必要不充分充分必要充分不必要必要不充分充要二、平面向量1.若a，b为非零向量，夹角为θ，则a·b＝ .
2.设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝ .
3.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
(1)a∥b?a＝λb(b≠0)?x1y2－x2y1＝0.
(2)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.
4.利用数量积求长度|a||b|cos θx1x2＋y1y25.利用数量积求夹角
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则三、不等式1.求关于x的不等式ax>b(a∈R，b∈R)的解集.③当a＝0，b≥0时，解集为?；当a＝0，b<0时，解集为R.2.(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的条件是 .3.利用基本不等式求最值
(1) (a，b∈(0，＋∞))，当且仅当 时取等号.
(2)利用基本不等式求最值时，要满足“ ”.a＝b一正二定三相等四、复数1.两个复数相等
a＋bi＝c＋di? (a，b，c，d∈R).
2.复数的运算法则
(a＋bi)±(c＋di)＝ ；
(a＋bi)(c＋di)＝ ；
(a＋bi)÷(c＋di)＝ (c＋di≠0).
(其中a，b，c，d∈R)a＝c，且b＝d(a±c)＋(b±d)i(ac－bd)＋(ad＋bc)i3.复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝ .
(2)若复数z满足|z－(1＋i)|＝1，则复数z在复平面上对应点的轨迹是________________
.以点(1,1)为圆心，以1为半径的圆牢记常用结论(1)若集合A有n个元素，则其子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集个数为2n－2.(4)三角形“四心”向量形式的充要条件
设O为△ABC所在平面上一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则(5)几个重要的不等式精练易错考点1234561.(集合中元素的特征易错)
已知集合M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，N＝{y|y＝x＋1，x∈R}，则M∩N等于
A.(0,1)，(1,2) B.{(0,1)，(1,2)}
C.{y|y＝1或y＝2} D.{y|y≥1}√解析 M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}＝{y|y≥1}，
N＝{y|y＝x＋1，x∈R}＝{y|y∈R}.
∴M∩N＝{y|y≥1}∩{y|y∈R}＝{y|y≥1}.78910111234562.已知集合A＝{x|(x＋1)(x－2)≥0}，B＝{x|log3(2－x)≤1}，则A∩(?RB)等于
A.? B.{x|x≤－1或x>2}
C.{x|x<－1或x≥2} D.{x|x≤－1或x≥2}√解析 由(x＋1)(x－2)≥0，得x≥2或x≤－1，
故A＝{x|x≤－1或x≥2}，
又由log3(2－x)≤1，得log3(2－x)≤log33，
得0<2－x≤3，得－1≤x<2，
所以?RB＝{x|x<－1或x≥2}，
故A∩(?RB)＝{x|x<－1或x≥2}.7891011123456解析 由(x－a)[x－(a＋2)]≤0，得a≤x≤a＋2，
∵(0,1) ?[a，a＋2]，3.(充分、必要条件的意义)
若“0A.(－∞，0]∪[1，＋∞) B.(－1,0)
C.[－1,0] D.(－∞，－1)∪(0，＋∞)√78910111234564.(平面向量)
(2019·烟台二模)已知a，b均为单位向量，其夹角为θ，则“θ∈ ”是“|a－b|>1”的
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件√故选B.78910111234565.(复数的概念)
已知复数z满足z＋|z|＝3＋i，则z的虚部为
A.1－i B. C.i D.1√解析 设z＝a＋bi，其中a，b∈R，78910111234566.若复数z＝(a－1)＋3i(a∈R)在复平面内对应的点在直线y＝x＋2上，则实数a的值等于
A.1 B.2 C.5 D.6√解析 因为复数z＝(a－1)＋3i(a∈R)在复平面内对应的点为(a－1,3)，
由题意知点在直线y＝x＋2上，
所以3＝a－1＋2，解得a＝2.7891011√1234567891011所以tan α＝tan(2β)，12345678910118.(利用基本不等式求最值)
若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值为即30≥15xy，所以xy≤2，
又x>0，y>0，√故xy的最大值为2.12345678910119.(2019·青岛模拟)已知a，b∈R，且a＋3b－2＝0，则2a＋8b的最小值为________.解析 ∵a＋3b－2＝0，∴a＋3b＝2，412345678910113123456789101111.(数量积的几何意义)
已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________.解析 由数量积的定义知，b在a方向上的投影为
|b|cos θ＝4×cos 120°＝－2.－21234567891011 本课结束 热点回扣1 非主干内容
一、集合与常用逻辑用语
1．集合中元素有哪些特征？
答案 集合中的元素有确定性、互异性、无序性．
2．集合的运算性质
(1)若A?B，则A∩B＝A，A∪B＝B.
(2)?U(?UA)＝A.
3．充分条件与必要条件的三种判定方法
(1)定义法：正、反方向推理，若p?q，则p是q的充分条件(或q是p的必要条件)；若p?q，且q?p，则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件)．
(2)集合法：利用集合间的包含关系．例如，p成立的对象组成集合A，q成立的对象组成集合B.
若A?B，则p是q的充分条件(q是p的必要条件)；若A?B，则p是q的充分不必要条件(q是p的必要不充分条件)；若A＝B，则p是q的充要条件．
(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题．
二、平面向量
1．若a，b为非零向量，夹角为θ，则a·b＝|a||b|cos θ.
2．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
3．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
(1)a∥b?a＝λb(b≠0)?x1y2－x2y1＝0.
(2)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.
4．利用数量积求长度
(1)若a＝(x，y)，则|a|＝＝.
(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
||＝.
5．利用数量积求夹角
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则
cos θ＝＝.
三、不等式
1．求关于x的不等式ax>b(a∈R，b∈R)的解集．
解 ①当a>0时，解集为；
②当a<0时，解集为；
③当a＝0，b≥0时，解集为?；当a＝0，b<0时，解集为R.
2．(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的条件是.
(2)≥0(≤0)?.
3．利用基本不等式求最值
(1)≥(a，b∈(0，＋∞))，当且仅当a＝b时取等号．
(2)利用基本不等式求最值时，要满足“一正二定三相等”．
四、复数
1．两个复数相等
a＋bi＝c＋di?a＝c，且b＝d(a，b，c，d∈R)．
2．复数的运算法则
(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i；
(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
(a＋bi)÷(c＋di)＝＋i(c＋di≠0)．
(其中a，b，c，d∈R)
3．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝.
(2)若复数z满足|z－(1＋i)|＝1，则复数z在复平面上对应点的轨迹是以点(1,1)为圆心，以1为半径的圆．
(1)若集合A有n个元素，则其子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集个数为2n－2.
(2)在△ABC中，给出＝(＋)，等价于已知AD是△ABC中BC边的中线．
(3)已知＝λ＋μ(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.
(4)三角形“四心”向量形式的充要条件
设O为△ABC所在平面上一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则
①O为△ABC的外心?||＝||＝||＝.
②O为△ABC的重心?＋＋＝0.
③O为△ABC的垂心?·＝·＝·.
④O为△ABC的内心?a＋b＋c＝0.
(5)几个重要的不等式
a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；＋≥2(a，b同号，且a，b≠0)．
ab≤2(a，b∈R)；2≤(a，b∈R)．
1．(集合中元素的特征易错)
已知集合M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，N＝{y|y＝x＋1，x∈R}，则M∩N等于( )
A．(0,1)，(1,2) B．{(0,1)，(1,2)}
C．{y|y＝1或y＝2} D．{y|y≥1}
答案 D
解析 M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}＝{y|y≥1}，
N＝{y|y＝x＋1，x∈R}＝{y|y∈R}．
∴M∩N＝{y|y≥1}∩{y|y∈R}＝{y|y≥1}．
2．已知集合A＝{x|(x＋1)(x－2)≥0}，B＝{x|log3(2－x)≤1}，则A∩(?RB)等于( )
A．? B．{x|x≤－1或x>2}
C．{x|x<－1或x≥2} D．{x|x≤－1或x≥2}
答案 C
解析 由(x＋1)(x－2)≥0，得x≥2或x≤－1，
故A＝{x|x≤－1或x≥2}，
又由log3(2－x)≤1，得log3(2－x)≤log33，
得0<2－x≤3，得－1≤x<2，
所以?RB＝{x|x<－1或x≥2}，
故A∩(?RB)＝{x|x<－1或x≥2}．
3．(充分、必要条件的意义)
若“0A．(－∞，0]∪[1，＋∞) B．(－1,0)
C．[－1,0] D．(－∞，－1)∪(0，＋∞)
答案 C
解析 由(x－a)[x－(a＋2)]≤0，得a≤x≤a＋2，
∵(0,1)?[a，a＋2]，
∴解得－1≤a≤0.
4．(平面向量)
(2019·烟台二模)已知a，b均为单位向量，其夹角为θ，则“θ∈”是“|a－b|>1”的( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 因为|a－b|>1?(a－b)2>1?a2－2a·b＋b2>1?1－2×1×1cos θ＋1>1?cos θ<?θ∈，
所以“θ∈”是“|a－b|>1”的充分不必要条件，
故选B.
5．(复数的概念)
已知复数z满足z＋|z|＝3＋i，则z的虚部为( )
A．1－i B. C．i D．1
答案 D
解析 设z＝a＋bi，其中a，b∈R，
由z＋|z|＝3＋i，得a＋bi＋＝3＋i，
由复数相等可得a＋＝3，b＝1，
解得a＝，b＝1，故z的虚部为1.
6．若复数z＝(a－1)＋3i(a∈R)在复平面内对应的点在直线y＝x＋2上，则实数a的值等于( )
A．1 B．2 C．5 D．6
答案 B
解析 因为复数z＝(a－1)＋3i(a∈R)在复平面内对应的点为(a－1,3)，由题意知点在直线y＝x＋2上，所以3＝a－1＋2，解得a＝2.
7．(基本不等式的综合)
(2019·恩施质检)已知角α，β的顶点都为坐标原点，始边都与x轴的非负半轴重合，且都为第一象限的角，α，β终边上分别有点A(1，a)，B(2，b)，且α＝2β，则＋b的最小值为( )
A．1 B. C. D．2
答案 C
解析 由已知得，tan α＝a，tan β＝，因为α＝2β，
所以tan α＝tan(2β)，
所以a＝，a＝，所以＋b＝＋b＝＋≥2＝，当且仅当＝，b＝时，取等号．故选C.
8．(利用基本不等式求最值)
若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值为( )
A. B. C. D．2
答案 D
解析 30＝4x2＋9y2＋3xy≥2＋3xy，
即30≥15xy，所以xy≤2，
又x>0，y>0，
当且仅当4x2＝9y2，即x＝，y＝时等号成立．
故xy的最大值为2.
9．(2019·青岛模拟)已知a，b∈R，且a＋3b－2＝0，则2a＋8b的最小值为________．
答案 4
解析 ∵a＋3b－2＝0，∴a＋3b＝2，
∴2a＋8b≥2＝2＝4，
当且仅当a＝1，b＝时取等号．
10．(向量共线的条件)
在锐角△ABC中，＝3，＝x＋y，则＝________.
答案 3
解析 由题设可得＋＝3(－)，
即4＝3＋，
即＝＋，
则x＝，y＝，故＝3.
11．(数量积的几何意义)
已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________．
答案 －2
解析 由数量积的定义知，b在a方向上的投影为
|b|cos θ＝4×cos 120°＝－2.
