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三角函数与解三角形 回扣必考知识栏目索引牢记常用结论精练易错考点回扣必考知识1.三角函数的图象和性质(k∈Z)[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)kπ,(kπ，0)(k∈Z)(k∈Z)x＝kπ(k∈Z)(k∈Z)2.怎样从y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象？3.三角函数的值域(最值)问题主要有哪些类型？答案 (1)y＝asin x＋b(或y＝acos x＋b)型，利用三角函数的值域，须注意对字母的讨论.(3)y＝asin2x＋bsin x＋c型，配方后转化为二次函数求最值，应注意|sin x|≤1的约束.5.正弦定理、余弦定理
(1) ＝ ＝ ＝2R(2R为△ABC外接圆的直径).
(2)a2＝b2＋c2－ ，cos B＝ .2bc·cos A牢记常用结论(1)公式的常用变形
①tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan αtan β).(4)在△ABC中，A>B?sin A>sin B?cos A
0，cos α<0，121234567891011√121234567891011√121234567891011121234565.(三角变换不等价易错)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c－acos B＝(2a－b)cos A，则△ABC的形状为
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形√789101112123456解析 因为c－acos B＝(2a－b)cos A，
所以由正弦定理得
sin C－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A，
因为sin C＝sin(A＋B)，
所以sin Acos B＋cos Asin B－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A，
所以cos A(sin B－sin A)＝0，
所以cos A＝0或sin B＝sin A，
所以A＝ 或B＝A或B＝π－A(舍去)，
所以△ABC为等腰或直角三角形.789101112123456789101112√123456所以bc＝6，
又a＝3，由余弦定理得
9＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－4，
b2＋c2＝13，可得b＝2或b＝3.789101112√1234567891011解析 对于函数y＝loga(x＋4)＋2(a>0且a≠1)，
令x＋4＝1，求得x＝－3，y＝2，
可得函数的图象恒过点A(－3,2)，
且点A在角θ的终边上，128.(图形分析不严谨易错)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝x，b＝2，B＝45°，且此三角形有两解，则x的取值范围为解析 由AC＝b＝2，要使三角形有两解，就是要使以C为圆心，半径为2的圆与BA有两个交点，
当A＝90°时，圆与AB相切，
当A＝45°时，交于B点，即只有一解，∴45°1，∴tan α＋tan β＝－4a<0，
tan α·tan β＝3a＋1>0，
∴tan α，tan β是方程x2＋4ax＋3a＋1＝0的两个负根.123456789101112123456789101112123456789101112123456789101112(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间；123456789101112123456789101112123456789101112解 方法一 在锐角△ABC中，即b2＋c2－a2＝bc，123456789101112方法二 在锐角△ABC中，以下同方法一.123456789101112 本课结束 热点回扣2 三角函数与解三角形
1．三角函数的图象和性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x，x≠＋kπ，k∈Z
图象
单调性
在区间 (k∈Z)上单调递增；在 (k∈Z)上单调递减
在区间[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调递减
在区间 (k∈Z)上单调递增
对称性
对称中心：(kπ，0)(k∈Z)；对称轴：x＝＋kπ (k∈Z)
对称中心：(k∈Z)；对称轴：x＝kπ(k∈Z)
对称中心：(k∈Z)
2.怎样从y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象？
答案 方法一 y＝sin x
y＝sin(x＋φ)y＝sin(ωx＋φ)
y＝Asin(ωx＋φ)．
方法二 y＝sin xy＝sin ωx
y＝sin(ωx＋φ)
y＝Asin(ωx＋φ)．
3．三角函数的值域(最值)问题主要有哪些类型？
答案 (1)y＝asin x＋b(或y＝acos x＋b)型，利用三角函数的值域，须注意对字母的讨论．
(2)y＝asin x＋bcos x型，借助辅助角公式化成y＝sin(x＋φ)的形式，再利用三角函数的有界性解决．
(3)y＝asin2x＋bsin x＋c型，配方后转化为二次函数求最值，应注意|sin x|≤1的约束．
(4)y＝型，反解出sin x，化归为|sin x|≤1解决．
(5)y＝a(sin x＋cos x)＋bsin x·cos x＋c型，常令t＝sin x＋cos x，换元后求解(|t|≤)．
4．三角函数诱导公式的口诀及含义
奇变偶不变，符号看象限．其含义是角π±α，k∈Z，三角函数值对k而言函数名称奇变偶不变，符号为把α看作锐角时，π±α(k∈Z)所在象限的原函数的符号．
例如，sin，k＝1为奇数，函数名改变，把α看作锐角，则＋α在第二象限，sin>0，从而sin＝cos α.
5．正弦定理、余弦定理
(1)＝＝＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)．
(2)a2＝b2＋c2－2bc·cos_A，cos B＝.
6．面积公式S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B.
(1)公式的常用变形
①tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan αtan β)．
②sin2α＝，cos2α＝.
③asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)
.
④在△ABC中，a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，
a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C，
S△ABC＝r(a＋b＋c)(r为△ABC的内切圆半径)．
(2)三角函数的简图
①函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的画法：“五点法”——设X＝ωx＋φ，令X＝0，，π，，2π，求出相应的x的值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象．
②函数y＝tan x，x∈图象的画法：“三点两线法”——描出三点(0,0)，，，两线x＝和x＝－(虚线)，然后画出函数的大致图象．
(3)在△ABC中，sin A＝sin(B＋C)，cos A＝－cos(B＋C)，tan A＝－tan(B＋C)，sin ＝cos ，cos ＝sin .
(4)在△ABC中，A>B?sin A>sin B?cos A1．已知点P落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 由sin >0，cos <0知角θ是第四象限角，
因为tan θ＝＝－1，θ∈[0,2π)，所以θ＝.
2．(忽视角的范围易错)
若sin α＋cos α＝(0<α<π)，则tan α等于( )
A．－ B. C．－ D.
答案 C
解析 ∵sin α＋cos α＝(0<α<π)，①
∴两边平方得1＋2sin αcos α＝，
得sin αcos α＝－.
又0<α<π，∴sin α>0，cos α<0，
∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝，
∴sin α－cos α＝，②
由①②解得sin α＝，cos α＝－，
故tan α＝－.
3．(诱导公式记忆不准易错)
已知f(α)＝，则f?等于( )
A. B. C. D．－
答案 A
解析 由题意得
f(α)＝
＝＝cos α，
所以f?＝cos ＝.
4．(2019·湛江模拟)已知函数f(x)＝sin 2x＋sin，将其图象向左平移φ(φ>0)个单位长度之后得到的函数为偶函数，则φ的最小值是( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 函数f(x)＝sin 2x＋sin
＝sin 2x＋sin 2x＋cos 2x
＝sin.
将其图象向左平移φ(φ>0)个单位长度之后，得到
y＝sin的图象．
因为得到的函数为偶函数，则2φ＋＝kπ＋，k∈Z，
故φ的最小值为.
5．(三角变换不等价易错)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c－acos B＝(2a－b)cos A，则△ABC的形状为( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
答案 D
解析 因为c－acos B＝(2a－b)cos A，
所以由正弦定理得
sin C－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A，
因为sin C＝sin(A＋B)，
所以sin Acos B＋cos Asin B－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A，
所以cos A(sin B－sin A)＝0，
所以cos A＝0或sin B＝sin A，
所以A＝或B＝A或B＝π－A(舍去)，
所以△ABC为等腰或直角三角形．
6．(忽视三角形两解易错)
在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin A＝，a＝3，S△ABC＝2，则b的值为( )
A．6 B．3 C．2 D．2或3
答案 D
解析 因为sin A＝，所以cos A＝，
又因为S△ABC＝bcsin A＝2，
所以bc＝6，
又a＝3，由余弦定理得
9＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－4，
b2＋c2＝13，可得b＝2或b＝3.
7．(2019·东莞市模拟)函数y＝loga(x＋4)＋2(a>0且a≠1)的图象恒过点A，且点A在角θ的终边上，则sin 2θ等于( )
A．－ B. C．－ D.
答案 C
解析 对于函数y＝loga(x＋4)＋2(a>0且a≠1)，
令x＋4＝1，求得x＝－3，y＝2，
可得函数的图象恒过点A(－3,2)，
且点A在角θ的终边上，
所以tan θ＝＝－，
则sin 2θ＝＝＝－.
8．(图形分析不严谨易错)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝x，b＝2，B＝45°，且此三角形有两解，则x的取值范围为( )
A．(2,2) B．2
C．(，＋∞) D．(2,2]
答案 A
解析 由AC＝b＝2，要使三角形有两解，就是要使以C为圆心，半径为2的圆与BA有两个交点，当A＝90°时，圆与AB相切，当A＝45°时，交于B点，即只有一解，∴45°9．已知方程x2＋4ax＋3a＋1＝0(a为大于1的常数)的两根为tan α，tan β，且α，β∈，则tan 的值是________．
答案 －2
解析 ∵a>1，∴tan α＋tan β＝－4a<0，
tan α·tan β＝3a＋1>0，
∴tan α，tan β是方程x2＋4ax＋3a＋1＝0的两个负根．
又α，β∈，
∴α，β∈，即∈.
由tan(α＋β)＝＝＝，
tan(α＋β)＝，可得tan ＝－2.
10．(三角变换计算易错)
设函数f(x)＝sin2x－cos xcos，则函数f(x)在区间上的单调增区间为________．
答案
解析 f(x)＝＋cos xsin x＝－cos 2x＋sin 2x＝sin＋.
令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，当k＝0时，－≤x≤，
故f(x)在上的单调增区间是.
11．(图象特征不清易错)
若函数f(x)＝sin(ω>0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为，且该函数图象关于点(x0，0)成中心对称，x0∈，则x0＝________.
答案
解析 两条相邻的对称轴之间的距离为＝，所以T＝π.由T＝，得ω＝2.因为f(x)的图象关于点(x0，0)成中心对称，所以sin＝0.又因为x0∈，所以2x0＋∈，所以2x0＋＝π，即x0＝.
12．(忽视制约条件易错)
已知向量m＝，n＝，函数f(x)＝m·n.
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间；
(2)在锐角△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足acos C＋c＝b，求f(2B)的取值范围．
解 f(x)＝sin cos ＋cos2
＝sin ＋cos ＋
＝sin＋.
(1)函数f(x)的最小正周期为T＝＝4π.
由＋2kπ≤＋≤＋2kπ，k∈Z，
得函数f(x)的单调递减区间为
(k∈Z)．
(2)方法一 在锐角△ABC中，
由acos C＋c＝b及余弦定理，
可得a·＋c＝b.
即b2＋c2－a2＝bc，
所以cos A＝＝，
得A＝，B＋C＝.
又B，C为锐角，所以B∈，
所以sin∈，所以f(2B)＝sin＋的取值范围是.
方法二 在锐角△ABC中，
由acos C＋c＝b及余弦定理，
可得sin Acos C＋sin C＝sin B，
从而sin Acos C＋sin C＝sin(A＋C)，
化简得sin C＝sin Ccos A，
又因为sin C≠0，所以cos A＝，
得A＝，B＋C＝.
以下同方法一．
