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数 列 回扣必考知识栏目索引牢记常用结论精练易错考点回扣必考知识1.判断或证明一个数列是等差(或等比)数列有哪些方法？答案 判断一个数列为等差(或等比)数列的方法有：定义法、中项公式法、通项公式法、前n项和公式法；证明一个数列为等差(或等比)数列的方法只有定义法、中项公式法.2.等差数列、等比数列{an}的常用性质am＋an＝ap＋aq(n－m)am·an＝ap·aqqn－m3.等差数列{an}的前n项和Sn何时有最大值和最小值？如何求Sn的最大值和最小值？答案 当a1>0，d<0时，Sn有最大值，
当a1<0，d>0时，Sn有最小值，
方法一是用相邻项异号法求解；
方法二是用Sn关于n的二次函数，由配方法求得最值.4.数列求和有哪些常用方法？答案 (1)公式法：等差数列或等比数列的求和，直接利用公式求和.
(2)错位相减法：形如{an·bn}(其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列)的数列，利用错位相减法求和.
(3)裂项相消法：通项公式形如an＝ (其中a，b1，b2，c为常数)用裂项相消法求和.
(4)并项求和法：先将某些项放在一起求和，然后再求Sn.通项公式形如an＝(－1)n·n或an＝a·(－1)n(其中a为常数，n∈N*)等正负项交叉的数列求和一般用并项法.并项时应注意分n为奇数、偶数两种情况讨论.
(5)分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成cn＝an＋bn形式的数列求和问题的方法，其中{an}与{bn}是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列.牢记常用结论(1)等差数列{an}中，am＝an＋(m－n)d，等差数列的前n项和公式能够写成Sn＝an2＋bn的形式，其中a≠0.
(2)等比数列{an}中，am＝an·qm－n，等比数列的前n项和公式能够写成Sn＝Aqn＋B(q≠0且q≠1)，其中A＋B＝0.(3)等差数列的一些特有性质：(4)对数列{an}和数列{bn}：
①当bn＝logaan(an>0)时，若{an}是等比数列，则{bn}是等差数列.
②当bn＝ 时，若{an}是等差数列，则{bn}是等比数列.
简记：真数等比，对数等差；指数等差，幂值等比.
(5)求通项常见类型及方法：
①已知数列的前几项，求数列的通项公式，可采用归纳、猜想法.
②如果给出的递推关系式符合等差数列或等比数列的定义，可直接利用等差或等比数列的公式写出通项公式.
③若已知数列{an}的递推公式为an＋1＝an＋f(n)，可采用累加法.
④数列的递推公式为an＋1＝an×f(n)，则采用累乘法.1.在等差数列{an}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a7＋a8等于
A.95 B.100 C.135 D.80精练易错考点1234567891011√12解析 由等差数列的性质可知，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8构成新的等差数列，
于是a7＋a8＝(a1＋a2)＋(4－1)[(a3＋a4)－(a1＋a2)]＝40＋3×20＝100.1234567891011122.(Sn>0意义不清致错)
设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1>0，a3＋a10>0，a6a7<0，则满足Sn>0的最大自然数n的值为
A.6 B.7 C.12 D.13√解析 ∵a1>0，a6a7<0，
∴a6>0，a7<0，等差数列的公差小于零.
又a3＋a10＝a1＋a12>0，a1＋a13＝2a7<0，
∴S12>0，S13<0，
∴满足Sn>0的最大自然数n的值为12.1234567891011√12解析 由等差数列的性质，得a6＋a8＝2a7.所以b7＝a7＝2.1234567891011√12解析 正项等比数列{an}中，a1a5＋2a3a7＋a5a9＝16，即a3＋a7＝4，a5与a9的等差中项为4，
即a5＋a9＝8，
设公比为q，则q2(a3＋a7)＝4q2＝8，1234565.(数列规律不清易错)
已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝ 则其前6项之和是
A.16 B.20 C.33 D.120√789101112解析 由已知得a2＝2a1＝2，a3＝a2＋1＝3，a4＝2a3＝6，a5＝a4＋1＝7，a6＝2a5＝14，
所以S6＝1＋2＋3＋6＋7＋14＝33.123456789101112√123456∴an＝n2(n≥2).789101112∴an＝n2，n∈N*.√1234567891011121234567891011解析 由已知条件可知，当n≥2时，
an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝33＋2＋4＋…＋2(n－1)＝n2－n＋33，
又当n＝1时，a1＝33满足上式.12则f(n)在[1,5]上为减函数，在[6，＋∞)上为增函数，√123456789101112即前n项和Sn＝n(2n＋1)＝2n2＋n，
当n＝1时，a1＝S1＝3；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－1，且a1＝3满足该式.1234567891011121501234567891011129.(忽略数列限制条件易错)
各项均为实数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝10，S30＝70，则S40＝________.解析 记b1＝S10，b2＝S20－S10，b3＝S30－S20，b4＝S40－S30，
则b1，b2，b3，b4是公比为r＝q10>0的等比数列，
∴b1＋b2＋b3＝10＋10r＋10r2＝S30＝70，
∴r2＋r－6＝0，
∴r＝2或r＝－3(舍去)，123456789101112123456789101112解析 由an＋1＝an＋n＋1，得an＋1－an＝n＋1，
则a2－a1＝1＋1，
a3－a2＝2＋1，
a4－a3＝3＋1，
…，
an－an－1＝(n－1)＋1，n≥2，
以上等式相加，得an－a1＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n－1，
把a1＝1代入上式得，12345678910111212345678910111212345678910111212345678910111212.(2019·烟台模拟)已知数列{an}中，a1＝1，an＝2an－1＋1(n≥2，n∈N*).
(1)记bn＝log2(an＋1)，判断{bn}是否为等差数列，并说明理由；123456789101112解 根据题意，bn＝log2(an＋1)，
当n＝1时，有b1＝log2(a1＋1)＝log22＝1；
当n≥2时，bn－bn－1＝log2(an＋1)－log2(an－1＋1)所以数列{bn}是以1为首项，1为公差的等差数列.123456789101112解 由(1)的结论，数列{bn}是以1为首项，1为公差的等差数列，123456789101112 本课结束 热点回扣3 数 列
1．判断或证明一个数列是等差(或等比)数列有哪些方法？
答案 判断一个数列为等差(或等比)数列的方法有：定义法、中项公式法、通项公式法、前n项和公式法；证明一个数列为等差(或等比)数列的方法只有定义法、中项公式法．
2．等差数列、等比数列{an}的常用性质
等差数列
等比数列
性质
①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq；
②an＝am＋(n－m)d；
③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等差数列
①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq；②an＝am·qn－m；
③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等比数列(m为偶数且q＝－1除外)
3.等差数列{an}的前n项和Sn何时有最大值和最小值？如何求Sn的最大值和最小值？
答案 当a1>0，d<0时，Sn有最大值，当a1<0，d>0时，Sn有最小值，方法一是用相邻项异号法求解；方法二是用Sn关于n的二次函数，由配方法求得最值．
4．数列求和有哪些常用方法？
答案 (1)公式法：等差数列或等比数列的求和，直接利用公式求和．
(2)错位相减法：形如{an·bn}(其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列)的数列，利用错位相减法求和．
(3)裂项相消法：通项公式形如an＝(其中a，b1，b2，c为常数)用裂项相消法求和．
(4)并项求和法：先将某些项放在一起求和，然后再求Sn.通项公式形如an＝(－1)n·n或an＝a·(－1)n(其中a为常数，n∈N*)等正负项交叉的数列求和一般用并项法．并项时应注意分n为奇数、偶数两种情况讨论．
(5)分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成cn＝an＋bn形式的数列求和问题的方法，其中{an}与{bn}是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列．
(1)等差数列{an}中，am＝an＋(m－n)d，等差数列的前n项和公式能够写成Sn＝an2＋bn的形式，其中a≠0.
(2)等比数列{an}中，am＝an·qm－n，等比数列的前n项和公式能够写成Sn＝Aqn＋B(q≠0且q≠1)，其中A＋B＝0.
(3)等差数列的一些特有性质：
①项数为2n时，S2n＝n(an＋an＋1)＝n(a1＋a2n)，S偶－S奇＝nd，＝.
②项数为2n－1时，S2n－1＝(2n－1)a中，S奇－S偶＝an，＝.
③若{an}，{bn}是等差数列，Sn，Tn分别为它们的前n项和，则＝.
④是等差数列，首项为a1，公差为.
(4)对数列{an}和数列{bn}：
①当bn＝logaan(an>0)时，若{an}是等比数列，则{bn}是等差数列．
②当bn＝时，若{an}是等差数列，则{bn}是等比数列．
简记：真数等比，对数等差；指数等差，幂值等比．
(5)求通项常见类型及方法：
①已知数列的前几项，求数列的通项公式，可采用归纳、猜想法．
②如果给出的递推关系式符合等差数列或等比数列的定义，可直接利用等差或等比数列的公式写出通项公式．
③若已知数列{an}的递推公式为an＋1＝an＋f(n)，可采用累加法．
④数列的递推公式为an＋1＝an×f(n)，则采用累乘法．
⑤已知Sn与an的关系，利用关系式
an＝求an.
⑥构造法：
a．递推关系形如an＋1＝pan＋q(p，q为常数)可化为an＋1＋＝p(p≠1)的形式，利用是以p为公比的等比数列求解；
b．递推关系形如an＋1＝(p为非零常数)可化为－＝的形式．
1．在等差数列{an}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a7＋a8等于( )
A．95 B．100 C．135 D．80
答案 B
解析 由等差数列的性质可知，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8构成新的等差数列，于是a7＋a8＝(a1＋a2)＋(4－1)[(a3＋a4)－(a1＋a2)]＝40＋3×20＝100.
2．(Sn>0意义不清致错)
设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1>0，a3＋a10>0，a6a7<0，则满足Sn>0的最大自然数n的值为( )
A．6 B．7 C．12 D．13
答案 C
解析 ∵a1>0，a6a7<0，
∴a6>0，a7<0，等差数列的公差小于零．
又a3＋a10＝a1＋a12>0，a1＋a13＝2a7<0，
∴S12>0，S13<0，
∴满足Sn>0的最大自然数n的值为12.
3．已知各项不为0的等差数列{an}满足a6－a＋a8＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b2b8b11等于( )
A．1 B．2 C．4 D．8
答案 D
解析 由等差数列的性质，得a6＋a8＝2a7.
由a6－a＋a8＝0，可得a7＝2，
所以b7＝a7＝2.
由等比数列的性质得b2b8b11＝b2b7b12＝b＝23＝8.
4．(2019·湛江模拟)在正项等比数列{an}中，a1a5＋2a3a7＋a5a9＝16，且a5与a9的等差中项为4，则{an}的公比是( )
A．1 B．2 C. D.
答案 D
解析 正项等比数列{an}中，a1a5＋2a3a7＋a5a9＝16，可得a＋2a3a7＋a＝(a3＋a7)2＝16，即a3＋a7＝4，a5与a9的等差中项为4，即a5＋a9＝8，设公比为q，则q2(a3＋a7)＝4q2＝8，则q＝(负值舍去)．
5．(数列规律不清易错)
已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝则其前6项之和是( )
A．16 B．20 C．33 D．120
答案 C
解析 由已知得a2＝2a1＝2，a3＝a2＋1＝3，a4＝2a3＝6，a5＝a4＋1＝7，a6＝2a5＝14，所以S6＝1＋2＋3＋6＋7＋14＝33.
6．已知正项数列{an}中，＋＋…＋＝(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为( )
A．an＝n B．an＝n2
C．an＝ D．an＝
答案 B
解析 ∵＋＋…＋＝，
∴＋＋…＋＝(n≥2)，
两式相减得＝－＝n(n≥2)，
∴an＝n2(n≥2)．
又当n＝1时，＝＝1，a1＝1，适合上式，
∴an＝n2，n∈N*.
7．已知数列{an}满足an＋1＝an＋2n，且a1＝33，则的最小值为( )
A．21 B．10 C. D.
答案 C
解析 由已知条件可知，当n≥2时，
an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝33＋2＋4＋…＋2(n－1)＝n2－n＋33，
又当n＝1时，a1＝33满足上式．
所以＝n＋－1.
令f(n)＝＝n＋－1，n∈N*，
则f(n)在[1,5]上为减函数，在[6，＋∞)上为增函数，
又f(5)＝，f(6)＝，则f(5)>f(6)，
故f(n)＝的最小值为.
8．(新定义数列理解不清易错)
定义为n个正数p1，p2，…，pn的“均倒数”．若已知正项数列{an}的前n项的“均倒数”为，又bn＝，则＋＋…＋等于( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 依题意有＝，
即前n项和Sn＝n(2n＋1)＝2n2＋n，
当n＝1时，a1＝S1＝3；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－1，且a1＝3满足该式．
则an＝4n－1，bn＝＝n.
因为＝＝－，
所以＋＋…＋＝1－＋－＋…＋－＝.
9．(忽略数列限制条件易错)
各项均为实数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝10，S30＝70，则S40＝________.
答案 150
解析 记b1＝S10，b2＝S20－S10，b3＝S30－S20，b4＝S40－S30，
则b1，b2，b3，b4是公比为r＝q10>0的等比数列，
∴b1＋b2＋b3＝10＋10r＋10r2＝S30＝70，
∴r2＋r－6＝0，
∴r＝2或r＝－3(舍去)，
∴S40＝b1＋b2＋b3＋b4＝＝150.
10．(裂项时忽略系数易错)
若数列{an}满足a1＝1，且对于任意的n∈N*都有an＋1＝an＋n＋1，则＋＋…＋＋的值为________．
答案
解析 由an＋1＝an＋n＋1，得an＋1－an＝n＋1，
则a2－a1＝1＋1，
a3－a2＝2＋1，
a4－a3＝3＋1，
…，
an－an－1＝(n－1)＋1，n≥2，
以上等式相加，得an－a1＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n－1，
把a1＝1代入上式得，
an＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n＝，n≥2，
又a1＝1符合上式，所以an＝，
＝＝2，
则＋＋…＋＋
＝2
＝2＝.
11．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an(n∈N*)．
(1)证明：数列是等比数列，并求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，若数列{bn}的前n项和是Tn，求证：Tn<2.
证明 (1)由题设得＝·，
又＝2，
所以数列是首项为2，公比为的等比数列，
所以＝2×n－1＝22－n，
an＝n·22－n＝，n∈N*.
(2)bn＝＝＝，
因为对任意n∈N*，2n－1≥2n－1，
所以bn≤.
所以Tn≤1＋＋＋＋…＋＝2<2.
12．(2019·烟台模拟)已知数列{an}中，a1＝1，an＝2an－1＋1(n≥2，n∈N*)．
(1)记bn＝log2(an＋1)，判断{bn}是否为等差数列，并说明理由；
(2)在(1)的条件下，设cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.
解 (1)根据题意，bn＝log2(an＋1)，
当n＝1时，有b1＝log2(a1＋1)＝log22＝1；
当n≥2时，bn－bn－1＝log2(an＋1)－log2(an－1＋1)
＝log2＝log2＝log22＝1，
所以数列{bn}是以1为首项，1为公差的等差数列．
(2)由(1)的结论，数列{bn}是以1为首项，1为公差的等差数列，
则bn＝1＋(n－1)＝n，an＋1＝2n，于是cn＝，
Tn＝1×＋2×2＋3×3＋…＋(n－1)×n－1＋n×n，①
①×，得Tn＝1×2＋2×3＋…＋(n－1)×n＋n×n＋1，②
①－②可得
Tn＝＋2＋3＋…＋n－n×n＋1＝－n×n＋1＝1－，
所以Tn＝2－(n∈N*)．
