课件37张PPT。 热点回扣4
立体几何与空间向量 回扣必考知识栏目索引牢记常用结论精练易错考点回扣必考知识1.柱、锥、台、球体的表面积和体积2πr2＋2πrhπr2·hπr2＋πrl4πr22.平行、垂直关系的转化
(1)平行问题的转化关系(2)垂直问题的转化关系(3)两个结论：答案 (1)性质法确定平面的法向量.
对于几何体中线面关系比较明确的，可根据几何体的性质和线面垂直的判定定理找出与平面垂直的直线，则直线的方向向量就是该平面的法向量，这种方法避免了空间向量求解的运算过程.
(2)赋值法求平面的法向量.
对于几何体中线面关系不是很明确的，则可利用赋值法求解，即在平面内取两个不共线向量，设出平面的法向量，然后把平面的法向量与这两个不共线向量垂直转化为它们的数量积等于0，建立方程组，通过赋值求出其中的一个法向量.3.如何求平面的法向量？4.如何求空间角？答案 (1)定义法求空间角.
求空间角的大小，一般是根据相关角(如异面直线所成的角、直线和平面所成的角、二面角的平面角)的定义，把空间角转化为平面角来求解.
(2)向量法求空间角.
①设两条异面直线a，b所成的角为θ，两条直线的方向向量分别为a，b.②设直线l和平面α所成的角为θ，l是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，③设二面角α－l－β的大小为θ，n1，n2是二面角α－l－β的两个半平面的法向量，则|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|，两个角之间的关系需要根据具体情况来确定.5.如何求点到平面的距离？答案 (1)定义法：可用利用两个平面垂直作出点到平面的垂线段.
(2)等积法：可以通过换底法把距离问题转化为体积和面积的计算.牢记常用结论(1)棱锥的平行截面的性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面的距离与棱锥高的比的平方.
(2)长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(4)球与旋转体的组合通常作轴截面解题.如图所示，设球O的半径为R，截面圆O′的半径为r，M为截面圆上任一点，球心O到截面圆O′的距离为d，则在Rt△OO′M中，OM2＝OO′2＋O′M2，即R2＝d2＋r2.(5)构造平行的常见形式：三角形的中位线、平行四边形、利用比例关系证明两直线平行等.
(6)构造垂直的常见形式：等腰三角形底边上的中线，满足勾股定理的三角形，利用线面垂直的定义；利用结论：若a∥b，b⊥c，则a⊥c.1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是
A.相交 B.异面 C.平行 D.垂直精练易错考点1234567891011√12解析 因为在正方体中，BC∥A1D1且BC＝A1D1，
所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥CD1，
又EF?平面A1BCD1，EF∩D1C＝F，则A1B与EF相交.1234567891011122.(线面位置关系)
(2019·合肥质检)已知a，b，c 为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列说法正确的是
A.若a∥b，b?α，则a∥α
B.若a?α，b?β，a∥b，则α∥β
C.若α∥β，a∥α，则a∥β
D.若α∩β＝a，β∩γ＝b，α∩γ＝c，a∥b，则b∥c√123456789101112解析 若a∥b，b?α，则a∥α或a?α，故A不正确.
若a?α，b?β，a∥b，则α∥β或α与β相交，故B不正确.
若α∥β，a∥α，则a∥β或a?β，故C不正确.
如图，由a∥b可得b∥α，易证b∥c，故D正确.1234567891011√12123456789101112又因为平面ABD⊥平面BCD且交线为BD，
所以AM⊥平面BCD，而且△BCD是等腰直角三角形，且面积为2，4.(线面关系认识不清易错)
如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则下列结论中错误的是
A.AC⊥BD
B.AC∥截面PQMN
C.AC＝BD
D.异面直线PM与BD所成的角为45°1234567891011√12解析 ∵MN∥PQ，MN?平面ACD，PQ?平面ACD，∴PQ∥平面ACD.又平面ACD∩平面ABC＝AC，∴PQ∥AC，从而AC∥截面PQMN，B正确；
同理可得MQ∥BD，∵MQ⊥PQ，PQ∥AC，∵MQ⊥AC，∴AC⊥BD，A正确；
∵MQ∥BD，∠PMQ＝45°，∴异面直线PM与BD所成的角为45°，故D正确；
根据已知条件无法得到AC，BD长度之间的关系，故C错误.123456789101112√123456789101112解析 如图，∵PB⊥平面ABC，∴PB⊥AB，故把三棱锥P－ABC补形为长方体(图略)，123456789101112√123456解析 因为三棱锥S－ABC为正三棱锥，易证SB⊥AC，789101112又AM⊥SB，AC∩AM＝A，
AC，AM?平面SAC，
所以SB⊥平面SAC，
所以SB⊥SA，SB⊥SC，
同理，SA⊥SC，即SA，SB，SC三线两两垂直，且AB＝2 ，
所以SA＝SB＝SC＝2，
设三棱锥外接球半径为R，则(2R)2＝3×22＝12，
所以球的表面积S＝4πR2＝12π.√1234567891011127.过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条解析 如图，连接体对角线AC1，
显然AC1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，所成角的正切值都为.
联想正方体的其他体对角线，如连接BD1，
则BD1与棱BC，BA，BB1所成的角都相等，
∵BB1∥AA1，BC∥AD，∴体对角线BD1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，
同理，体对角线A1C，DB1也与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，
过A点分别作BD1，A1C，DB1的平行线都满足题意，故这样的直线l可以作4条.解析 在A中，若a∥α，b∥α，则a与b相交、平行或异面，故A错误；
在B中，若a?α，b?β，α∥β，则a与b平行或异面，故B错误；
在C中，若a∥α，a∥β，则α与β相交或平行，故C错误；
在D中，若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D正确.1234567891011128.(线面关系理解不清易错)
(2019·咸阳模拟)设a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题正确的是
A.若a∥α，b∥α，则a∥b
B.若a?α，b?β，α∥β，则a∥b
C.若a∥α，a∥β，则α∥β
D.若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥β√1234567891011129.如图所示，在四面体ABCD中，点M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是____________________.平面ABC，平面ABD123456789101112解析 连接AM并延长，交CD于点E，连接BN，并延长交CD于F，
由重心性质可知，E，F重合为一点，且该点为CD的中点E，
得MN∥AB.所以MN∥平面ABC，且MN∥平面ABD.12345678910111210.如图所示，在边长为5＋ 的正方形ABCD中，以A为圆心画一个扇形，以O为圆心画一个圆，M，N，K为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O为圆锥底面，围成一个圆锥，则圆锥的表面积S＝____.10π123456789101112解析 设圆锥的母线长为l，底面半径为r，则S＝πrl＋πr2＝10π.123456789101112①③④123456789101112解析 作出折叠后的几何体的直观图如图所示：∵AD⊥平面BCDE，∴AD⊥BC，
又BC⊥CD，CD∩AD＝D，CD，AD?平面ADC，
∴BC⊥平面ADC，∵BC∥DE，
∴∠ABC是异面直线AB，DE所成的角，123456789101112连接BD，CE，则CE⊥BD，
又AD⊥平面BCDE，CE?平面BCDE，∴CE⊥AD，
又BD∩AD＝D，BD?平面ABD，AD?平面ABD，
∴CE⊥平面ABD，
又AB?平面ABD，∴CE⊥AB，故②错误；由①知，BC⊥平面ADC，
又BC?平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADC，故④正确.12.(2019·成都模拟)如图①，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为AB，CD的中点，CD＝2AB＝2EF＝4，M为DF中点.现将四边形BEFC沿EF折起，使平面BEFC⊥平面AEFD，得到如图②所示的多面体.在图②中，
(1)证明：EF⊥MC；123456789101112证明 由题意知在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，
∵E，F分别为AB，CD的中点，
∴EF⊥AB，EF⊥CD，
∴折叠后，EF⊥DF，EF⊥CF，
∵DF?平面DCF，CF?平面DCF，DF∩CF＝F，
∴EF⊥平面DCF，
又MC?平面DCF，∴EF⊥MC.123456789101112(2)求二面角M－AB－D的余弦值.123456789101112解 ∵平面BEFC⊥平面AEFD，平面BEFC∩平面AEFD＝EF，且EF⊥DF，∴DF⊥平面BEFC，123456789101112又CF?平面BEFC，∴DF⊥CF，
∴DF，CF，EF两两垂直，
以F为坐标原点，分别以FD，FC，FE所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则DM＝FM＝1，CF＝EF＝2，
∴M(1,0,0)，D(2,0,0)，A(1,0,2)，B(0,1,2)，设平面MAB的法向量m＝(x1，y1，z1).123456789101112设平面ABD的法向量n＝(x2，y2，z2)，由题图可知，二面角M－AB－D为锐角， 本课结束 热点回扣4 立体几何与空间向量
1．柱、锥、台、球体的表面积和体积
侧面展开图
表面积
体积
直棱柱
长方形
S＝2S底＋S侧
V＝S底·h
圆柱
长方形
S＝2πr2＋2πrh
V＝πr2·h
棱锥
由若干三角形构成
S＝S底＋S侧
V＝S底·h
圆锥
扇形
S＝πr2＋πrl
V＝πr2·h
棱台
由若干个梯形构成
S＝S＋S′＋S侧
V＝(S＋＋S′)·h
圆台
扇环
S＝πr′2＋π·(r＋r′)l＋πr2
V＝π(r2＋rr′＋r′2)·h
球
S＝4πr2
V＝πr3
2.平行、垂直关系的转化
(1)平行问题的转化关系
(2)垂直问题的转化关系
(3)两个结论：
对于直线a，b和平面α，?a∥b；?b⊥α .
3．如何求平面的法向量？
答案 (1)性质法确定平面的法向量．
对于几何体中线面关系比较明确的，可根据几何体的性质和线面垂直的判定定理找出与平面垂直的直线，则直线的方向向量就是该平面的法向量，这种方法避免了空间向量求解的运算过程．
(2)赋值法求平面的法向量．
对于几何体中线面关系不是很明确的，则可利用赋值法求解，即在平面内取两个不共线向量，设出平面的法向量，然后把平面的法向量与这两个不共线向量垂直转化为它们的数量积等于0，建立方程组，通过赋值求出其中的一个法向量．
4．如何求空间角？
答案 (1)定义法求空间角．
求空间角的大小，一般是根据相关角(如异面直线所成的角、直线和平面所成的角、二面角的平面角)的定义，把空间角转化为平面角来求解．
(2)向量法求空间角．
①设两条异面直线a，b所成的角为θ，两条直线的方向向量分别为a，b.
因为θ∈，故有cos θ＝|cos〈a，b〉|＝.
②设直线l和平面α所成的角为θ，l是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，则sin θ＝|cos〈l，n〉|＝.
③设二面角α－l－β的大小为θ，n1，n2是二面角α－l－β的两个半平面的法向量，则|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|，两个角之间的关系需要根据具体情况来确定．
5．如何求点到平面的距离？
答案 (1)定义法：可用利用两个平面垂直作出点到平面的垂线段．
(2)等积法：可以通过换底法把距离问题转化为体积和面积的计算．
(1)棱锥的平行截面的性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面的距离与棱锥高的比的平方．
(2)长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长．
(3)正四面体的性质：设棱长为a，则正四面体的高h＝a，内切球半径为a，外接球半径为a.
(4)球与旋转体的组合通常作轴截面解题．如图所示，设球O的半径为R，截面圆O′的半径为r，M为截面圆上任一点，球心O到截面圆O′的距离为d，则在Rt△OO′M中，OM2＝OO′2＋O′M2，即R2＝d2＋r2.
(5)构造平行的常见形式：三角形的中位线、平行四边形、利用比例关系证明两直线平行等．
(6)构造垂直的常见形式：等腰三角形底边上的中线，满足勾股定理的三角形，利用线面垂直的定义；利用结论：若a∥b，b⊥c，则a⊥c.
1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是( )
A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直
答案 A
解析 因为在正方体中，BC∥A1D1且BC＝A1D1，
所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥CD1，
又EF?平面A1BCD1，EF∩D1C＝F，则A1B与EF相交．
2．(线面位置关系)
(2019·合肥质检)已知a，b，c 为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列说法正确的是( )
A．若a∥b，b?α，则a∥α
B．若a?α，b?β，a∥b，则α∥β
C．若α∥β，a∥α，则a∥β
D．若α∩β＝a，β∩γ＝b，α∩γ＝c，a∥b，则b∥c
答案 D
解析 若a∥b，b?α，则a∥α或a?α，故A不正确．若a?α，b?β，a∥b，则α∥β或α与β相交，故B不正确．若α∥β，a∥α，则a∥β或a?β，故C不正确．
如图，由a∥b可得b∥α，易证b∥c，故D正确．
3．(空间几何体的体积)
已知四面体ABCD中，平面ABD⊥平面BCD ，△ABD为边长2的等边三角形，BD＝DC ，BD⊥DC，则四面体ABCD的体积为( )
A. B. C. D．2
答案 A
解析 取BD中点M，因为△ABD为边长2的等边三角形，所以AM⊥BD，且AM＝.又因为平面ABD⊥平面BCD且交线为BD，所以AM⊥平面BCD，而且△BCD是等腰直角三角形，且面积为2，所以VA－BCD＝·S△BCD·AM＝×2×＝，故选A.
4．(线面关系认识不清易错)如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则下列结论中错误的是( )
A．AC⊥BD
B．AC∥截面PQMN
C．AC＝BD
D．异面直线PM与BD所成的角为45°
答案 C
解析 ∵MN∥PQ，MN?平面ACD，PQ?平面ACD，∴PQ∥平面ACD.又平面ACD∩平面ABC＝AC，∴PQ∥AC，从而AC∥截面PQMN，B正确；同理可得MQ∥BD，∵MQ⊥PQ，PQ∥AC，∵MQ⊥AC，∴AC⊥BD，A正确；∵MQ∥BD，∠PMQ＝45°，∴异面直线PM与BD所成的角为45°，故D正确；根据已知条件无法得到AC，BD长度之间的关系，故C错误．
5．(球切接问题关系混乱易错)
(2019·呼和浩特模拟)已知三棱锥P－ABC中，PB⊥平面ABC，∠ABC＝90°，PA＝，AB＝BC＝1，则三棱锥P－ABC的外接球的表面积为( )
A．12π B．6π C．24π D.
答案 B
解析 如图，∵PB⊥平面ABC，∴PB⊥AB，∵AB＝1，PA＝，∴PB＝2，又AB⊥BC，故
把三棱锥P－ABC补形为长方体(图略)，
则长方体体对角线长为＝，
则三棱锥P－ABC外接球的半径为，
∴三棱锥P－ABC的外接球的表面积为4π×2＝6π.
6．在正三棱锥S－ABC中，点M是SC的中点，且AM⊥SB，底面边长AB＝2，则正三棱锥S－ABC的外接球的表面积为( )
A．6π B．12π C．32π D．36π
答案 B
解析 因为三棱锥S－ABC为正三棱锥，易证SB⊥AC，
又AM⊥SB，AC∩AM＝A，
AC，AM?平面SAC，
所以SB⊥平面SAC，
所以SB⊥SA，SB⊥SC，
同理，SA⊥SC，即SA，SB，SC三线两两垂直，且AB＝2，
所以SA＝SB＝SC＝2，
设三棱锥外接球半径为R，则(2R)2＝3×22＝12，
所以球的表面积S＝4πR2＝12π.
7．过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
答案 D
解析 如图，连接体对角线AC1，显然AC1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，所成角的正切值都为.联想正方体的其他体对角线，如连接BD1，则BD1与棱BC，BA，BB1所成的角都相等，∵BB1∥AA1，BC∥AD，∴体对角线BD1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，同理，体对角线A1C，DB1也与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，过A点分别作BD1，A1C，DB1的平行线都满足题意，故这样的直线l可以作4条．
8．(线面关系理解不清易错)
(2019·咸阳模拟)设a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A．若a∥α，b∥α，则a∥b
B．若a?α，b?β，α∥β，则a∥b
C．若a∥α，a∥β，则α∥β
D．若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥β
答案 D
解析 在A中，若a∥α，b∥α，则a与b相交、平行或异面，故A错误；
在B中，若a?α，b?β，α∥β，则a与b平行或异面，故B错误；
在C中，若a∥α，a∥β，则α与β相交或平行，故C错误；
在D中，若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D正确．
9.如图所示，在四面体ABCD中，点M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________________．
答案 平面ABC，平面ABD
解析 连接AM并延长，交CD于点E，
连接BN，并延长交CD于F，由重心性质可知，E，F重合为一点，且该点为CD的中点E，连接MN，由＝＝，得MN∥AB.所以MN∥平面ABC，且MN∥平面ABD.
10.如图所示，在边长为5＋的正方形ABCD中，以A为圆心画一个扇形，以O为圆心画一个圆，M，N，K为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O为圆锥底面，围成一个圆锥，则圆锥的表面积S＝____.
答案 10π
解析 设圆锥的母线长为l，底面半径为r，由已知条件得
解得r＝，l＝4，
则S＝πrl＋πr2＝10π.
11．如图，正方形BCDE的边长为a，已知AB＝BC，将△ABE沿边BE折起，折起后A点在平面BCDE上的射影为D点，对翻折后的几何体有如下描述：
①AB与DE所成角的正切值是；
②AB∥CE；
③VB—ACE＝a3；
④平面ABC⊥平面ADC.
其中正确的是________．(填写你认为正确的序号)
答案 ①③④
解析 作出折叠后的几何体的直观图如图所示：
由题意，可知AB＝a，BC＝a，
∵AD⊥平面BCDE，∴AD⊥BC，
又BC⊥CD，CD∩AD＝D，CD，AD?平面ADC，
∴BC⊥平面ADC，
又AC?平面ADC，∴BC⊥AC，可得AC＝a.
∵BC∥DE，
∴∠ABC是异面直线AB，DE所成的角，
∴tan∠ABC＝＝＝，故①正确．
连接BD，CE，则CE⊥BD，
又AD⊥平面BCDE，CE?平面BCDE，∴CE⊥AD，
又BD∩AD＝D，BD?平面ABD，AD?平面ABD，
∴CE⊥平面ABD，
又AB?平面ABD，∴CE⊥AB，故②错误；
∵S△BCE＝a2，AD＝a，
∴VB－ACE＝VA－BCE＝S△BCE·AD＝a3，故③正确；
由①知，BC⊥平面ADC，
又BC?平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADC，故④正确．
12．(2019·成都模拟)如图①，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为AB，CD的中点，CD＝2AB＝2EF＝4，M为DF中点．现将四边形BEFC沿EF折起，使平面BEFC⊥平面AEFD，得到如图②所示的多面体．在图②中，
(1)证明：EF⊥MC；
(2)求二面角M－AB－D的余弦值．
(1)证明 由题意知在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，
∵E，F分别为AB，CD的中点，
∴EF⊥AB，EF⊥CD，
∴折叠后，EF⊥DF，EF⊥CF，
∵DF?平面DCF，CF?平面DCF，DF∩CF＝F，
∴EF⊥平面DCF，
又MC?平面DCF，∴EF⊥MC.
(2)解 ∵平面BEFC⊥平面AEFD，平面BEFC∩平面AEFD＝EF，且EF⊥DF，∴DF⊥平面BEFC，
又CF?平面BEFC，∴DF⊥CF，
∴DF，CF，EF两两垂直，
以F为坐标原点，分别以FD，FC，FE所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则DM＝FM＝1，CF＝EF＝2，
∴M(1,0,0)，D(2,0,0)，A(1,0,2)，B(0,1,2)，
∴＝(0,0,2)，＝(－1,1,0)，＝(－1,0,2)，
设平面MAB的法向量m＝(x1，y1，z1)．
则取x1＝1，得m＝(1,1,0)．
设平面ABD的法向量n＝(x2，y2，z2)，
则取z2＝1，得n＝(2,2,1)．
∴cos〈m，n〉＝＝＝.
由题图可知，二面角M－AB－D为锐角，
∴二面角M－AB－D的余弦值为.
