第19练 概率与统计的综合问题[大题突破练]
[明晰考情] 概率与统计在高考中多以交汇性的形式考查，一是两图(频率分布直方图与茎叶图)择一与概率、方差相交汇来考查；二是两图择一与线性回归或独立性检验相交汇来考查，难度中等．
题组一 概率与频率分布直方图的综合应用
要点重组 (1)频率分布直方图中小矩形的面积表示频率，用各小矩形的底边中点值与频率乘积之和估算平均值，用最高小矩形的底边中点值估算众数，用直方图的面积等分线对应的值估算中位数．
(2)对频率分布直方图中的信息进行提取，并结合古典概型的概率计算公式等进行运算．
1．(2019·全国100所名校冲刺卷)某单位n名员工参加“社区低碳你我他”活动，他们的年龄在20岁至70岁之间，按年龄分组：第1组[20,30)，第2组[30,40)，第3组[40,50)，第4组[50,60)，第5组[60,70]，得到的频率分布直方图如图所示，下表是年龄的频数分布表．
区间
[20,30)
[30,40)
[40,50)
[50,60)
[60,70]
人数
a
b
c
d
14
(1)求a，b，c，d的值，并估计参加“社区低碳你我他”活动的人的年龄的平均数；
(2)从参加活动且年龄在[60,70]，[50,60)的人中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人接受采访，求抽取的2人中至少有1人年龄在[60,70]的概率？
解 (1)由频数分布表和频率分布直方图知：参加“社区低碳你我他”活动的人中年龄在[60,70]内的人数为14，所以参加“社区低碳你我他”活动的总人数为＝140，所以第1组[20,30)的人数为0.005×10×140＝7(人)，即a＝7；第2组[30,40)的人数为0.035×10×140＝49(人)，即b＝49；第3组[40,50)的人数为0.03×10×140＝42(人)，即c＝42；第4组[50,60)的人数为0.02×10×140＝28(人)，即d＝28.所以参加“社区低碳你我他”活动的人的年龄的平均数为(0.005×25＋0.035×35＋0.03×45＋0.02×55＋0.01×65)×10＝44.5.
(2)由(1)知，参加活动且年龄在[60,70]的有14人，参加活动且年龄在[50,60)的有28人，由分层抽样的方法抽取6人，则年龄在[60,70]的应抽取2人，记为a，b，年龄在[50,60)的应抽取4人，记为A，B，C，D，这6人中随机抽取2人接受采访，共有15种情况，即(a，b)，(a，A)，(a，B)，(a，C)，(a，D)，(b，A)，(b，B)，(b，C)，(b，D)，(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)．抽取的2人中年龄在[60,70]的至少有1人的情况有9种，即(a，b)，(a，A)，(a，B)，(a，C)，(a，D)，(b，A)，(b，B)，(b，C)，(b，D)，故所求的概率P＝＝.
2．某市为担任班主任的教师办理手机语音月卡套餐，为了解通话时长，采用随机抽样的方法，得到该校100位班主任每人的月平均通话时长T(单位：分钟)的数据，其频率分布直方图如图所示，将频率视为概率．
(1)求图中m的值；
(2)估计该校担任班主任的教师月平均通话时长的中位数；
(3)在[450,500)，[500,550]这两组中采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求抽取的2人恰在同一组的概率．
解 (1)依题意，50×(m＋0.004
0＋0.005
0＋0.006
6＋0.001
6＋0.000
8)＝1，得m＝0.002
0.
(2)设该校担任班主任的教师月平均通话时长的中位数为t.
因为前2组的频率之和为(0.002
0＋0.004
0)×50＝0.3<0.5，
前3组的频率之和为(0.002
0＋0.004
0＋0.005
0)×50＝0.55>0.5，
所以3500×(t－350)＝0.5，得t＝390.
所以该校担任班主任的教师月平均通话时长的中位数为390分钟．
(3)在[450,500)内抽取6×＝4(人)，记为a，b，c，d，在[500,550]内抽取2人，记为e，f，则6人中抽取2人的取法有：{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，e}，{a，f}，{b，c}，{b，d}，{b，e}，{b，f}，{c，d}，{c，e}，{c，f}，{d，e}，{d，f}，{e，f}，共15种等可能的取法．其中抽取的2人恰在同一组的有{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，{e，f}，共7种取法，所以从这6人中随机抽取的2人恰在同一组的概率P＝.
题组二 概率与茎叶图的综合应用
要点重组 破解茎叶图与概率问题需过“两关”
(1)“看图读数据关”，即看懂茎叶图，并能读出其中的数据．
(2)“公式应用关”，即会利用平均数、方差的计算公式求平均数与方差，能利用古典概型的概率计算公式求概率．
3．随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图所示．
(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；
(2)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173
cm的同学，求身高为176
cm的同学被抽中的概率．
解 (1)由题中茎叶图可知：甲班身高集中于160～179
cm之间，而乙班身高集中于170～179
cm之间，因此乙班平均身高高于甲班．
(2)设“身高为176
cm的同学被抽中”的事件为A，用(x，y)表示从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173
cm的同学的身高，则所有的基本事件有：(181,173)，(181,176)，(181,178)，(181,179)，(179,173)，(179,176)，(179,178)，(178,173)，(178,176)，(176,173)，共10个基本事件，而事件A含有(181,176)，(179,176)，(178,176)，(176,173)，共4个基本事件，
故P(A)＝＝0.4.
4．(2019·衡中信息卷)某机构为了解性别与物理成绩的关系，在某学校高一年级随机抽取了20名同学(其中男、女各10名)的物理成绩，制成茎叶图如图所示．
(1)记物理成绩不低于90分为“优秀”，在所有“优秀”的同学中随机抽取2名，求抽出的2名同学中有女同学的概率；
(2)根据茎叶图，分别求出抽取的男、女同学物理成绩的平均数，并判断男、女同学物理成绩的方差哪一个更小(不需计算)；
(3)根据以上统计结果，针对不同性别同学的物理成绩，写出你认为合理的结论．
解 (1)由题意知成绩“优秀”的同学有4名，其中男同学有3名，物理成绩分别为100,94,91，女同学有1名，物理成绩为93，随机抽取2名，有(100,94)，(100,91)，(100,93)，(94,91)，(94,93)，(91,93)，共6个基本事件，其中抽出的2名同学中有女同学的有(100,93)，(94,93)，(91,93)，共3个基本事件，故所求概率为＝.
(2)男同学物理成绩的平均数为×(100＋94＋91＋88＋86＋85＋73＋71＋60＋52)＝80(分)，
女同学物理成绩的平均数为×(93＋87＋84＋81＋79＋76＋75＋73＋70＋62)＝78(分)．
由茎叶图知女同学的物理成绩分布比较集中，男同学的物理成绩分布比较分散，所以女同学物理成绩的方差小于男同学物理成绩的方差．
(3)根据以上统计结果，易知男同学物理成绩的平均数高于女同学物理成绩的平均数，但女同学的物理成绩更集中．
题组三 概率与统计案例的综合应用
要点重组 (1)回归分析和概率的交汇问题，要明确所给数据的作用，抽象出随机事件和古典概型；回归分析问题解决的关键是找到样本点，确定回归类型和回归方程．
(2)独立性检验与古典概型的综合问题，要明确所要研究的分类变量，根据已知数据正确编制列联表，然后通过K2公式计算并利用参考数据得到结论．
5．每年的寒冷天气都会带热“御寒经济”，以餐饮业为例，当外面太冷时，不少人都会选择叫外卖上门，外卖商家的订单就会增加，下表是某月5天的日平均气温(单位：℃)与某餐饮店这5天中的外卖订单数．
日平均气温
－2
－4
－6
－8
－10
外卖订单数
50
85
115
140
160
(1)经过数据分析，可知一天内平均气温x与该店外卖订单数y成线性相关关系，试求y关于x的线性回归方程，并预测日平均气温为－12
℃时该店的外卖订单数(结果保留整数)；
(2)天气预报预测未来一周内(7天)有3天日平均气温不高于－10
℃，若把这7天日平均气温的预测数据当成真实数据，则从这7天中任选2天，求恰有1天的外卖订单数不低于160的概率．
附：回归方程＝＋x中＝，＝－.
解 (1)由题意可知＝＝－6，
＝＝110，
(xi－)2＝42＋22＋02＋(－2)2＋(－4)2＝40，
(xi－)(yi－)＝4×(－60)＋2×(－25)＋0×5＋(－2)×30＋(－4)×50＝－550，
所以＝＝＝－13.75，
＝－＝110＋13.75×(－6)＝27.5.
所以y关于x的线性回归方程为＝－13.75x＋27.5.
当x＝－12时，＝－13.75×(－12)＋27.5
＝192.5≈193.
所以可预测日平均气温为－12
℃时，该店的外卖订单数为193.
(2)由(1)知外卖订单数不低于160的概率就是日平均气温不高于－10
℃的概率．
将日平均气温不高于－10
℃的3天分别记作A，B，C，另外4天记作a，b，c，d.
从这7天中任选2天的不同结果有(A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(A，d)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(B，d)，(C，a)，(C，b)，(C，c)，(C，d)，(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)，共21种，其中恰有1天的日平均气温不高于－10
℃的结果有(A，a)，(A，b)，(A，c)，(A，d)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(B，d)，(C，a)，(C，b)，(C，c)，(C，d)，共12种．
所以所求概率P＝＝.
6．某老师对全班50名学生的学习积极性和参加社团活动情况进行调查，得到的统计数据如下表所示．
参加社团活动
不参加社团活动
总计
学习积极性高
25
学习积极性一般
5
总计
28
50
(1)请把表格数据补充完整；
(2)若从不参加社团活动的28人中按照分层抽样的方法选取7人，再从所选出的7人中随机选取2人作为代表发言，求至少有1人学习积极性高的概率；
(3)运用独立性检验的思想方法，判断是否有99.9%的把握认为学生的学习积极性与参加社团活动的情况有关系？
附：K2＝.
P(K2≥k0)
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
解 (1)数据补充完整的表格如下：
参加社团活动
不参加社团活动
总计
学习积极性高
17
8
25
学习积极性一般
5
20
25
总计
22
28
50
(2)从不参加社团活动的28人中按照分层抽样的方法选出的7人中，学习积极性高的有2人，记为A，B，学习积极性一般的有5人，记为a，b，c，d，e，从这7人中任选2人，共有以下21个等可能基本事件：AB，Aa，Ab，Ac，Ad，Ae，Ba，Bb，Bc，Bd，Be，ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de.
至少有1人学习积极性高的事件有11个：AB，Aa，Ab，Ac，Ad，Ae，Ba，Bb，Bc，Bd，Be.
所以至少有1人学习积极性高的概率P＝.
(3)k＝≈11.688>10.828.
所以有99.9%的把握认为学生的学习积极性与参加社团活动的情况有关系．
典例 (12分)(2018·全国Ⅰ)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位：m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量
[0,0.1)
[0.1，0.2)
[0.2，0.3)
[0.3，0.4)
[0.4，0.5)
[0.5，0.6)
[0.6，0.7]
频数
1
3
2
4
9
26
5
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量
[0,0.1)
[0.1，0.2)
[0.2，0.3)
[0.3，0.4)
[0.4，0.5)
[0.5，0.6]
频数
1
5
13
10
16
5
(1)在下图中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图；
(2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35
m3的概率；
(3)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？(一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)
审题路线图
规范解答·评分标准
解 (1)
……………………………………………………………………………………………………4分
(2)根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35
m3的频率为
0．2×0.1＋1×0.1＋2.6×0.1＋2×0.05＝0.48，
因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35
m3的概率的估计值为0.48.………………8分
(3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为
1＝×(0.05×1＋0.15×3＋0.25×2＋0.35×4＋0.45×9＋0.55×26＋0.65×5)＝0.48.
……………………………………………………………………………………………………9分
该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为
2＝(0.05×1＋0.15×5＋0.25×13＋0.35×10＋0.45×16＋0.55×5)＝0.35.…………10分
估计使用节水龙头后，一年可节省水(0.48－0.35)×365＝47.45(m3).……………………12分
构建答题模板
[第一步] 审数据：根据题中图表确定统计中所需的数据，并计算频率，频率/组距等．
[第二步] 画图表：根据所得的数据画出频率分布直方图．
[第三步] 估总体：根据频率分布直方图估计总体的分布或其他特征．
1．某教师为了了解本校高三学生一模考试的数学成绩情况，将所教两个班级的数学成绩(单位：分)绘制成如图所示的茎叶图．
(1)分别求出甲、乙两个班级数学成绩的中位数、众数；
(2)若规定成绩大于等于115分为优秀，分别求出两个班级数学成绩的优秀率．
解 (1)由所给的茎叶图知，甲班50名同学的成绩由小到大排序，排在第25,26位的是108,109，数量最多的是103，故甲班数学成绩的中位数是108.5，众数是103；
乙班48名同学的成绩由小到大排序，排在第24,25位的是106,107，数量最多的是92和101，故乙班数学成绩的中位数是106.5，众数为92和101.
(2)由茎叶图中的数据可知，甲班中数学成绩为优秀的人数为20，优秀率为＝40%；乙班中数学成绩为优秀的人数为18，优秀率为＝37.5%.
2．(2019·潍坊模拟)某公司甲、乙两个班组分别试生产同一种规格的产品，已知此种产品的质量指标检测分数不小于70时，该产品为合格品，否则为次品，现随机抽取两个班组生产的此种产品各100件进行检测，其结果如下表：
质量指标检测分数
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100]
甲班组生产的产品件数
7
18
40
29
6
乙班组生产的产品件数
8
12
40
32
8
(1)根据表中数据，估计甲、乙两个班组生产该种产品各自的不合格率；
(2)根据以上数据，完成下面的2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该种产品的质量与生产产品的班组有关？
甲班组
乙班组
总计
合格品
次品
总计
(3)若按合格与不合格的比例，从甲班组生产的产品中抽取4件产品，从乙班组生产的产品中抽取5件产品，记事件A：从上面4件甲班组生产的产品中随机抽取2件，且都是合格品；事件B：从上面5件乙班组生产的产品中随机抽取2件，一件是合格品，一件是次品，试估计这两个事件哪一个发生的可能性大．
附：K2＝，n＝a＋b＋c＋d.
P(K2≥k0)
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
解 (1)根据表中数据，甲班组生产该产品的不合格率为＝25%，乙班组生产该产品的不合格率为＝20%.
(2)列联表如下：
甲班组
乙班组
总计
合格品
75
80
155
次品
25
20
45
总计
100
100
200
k＝≈0.717<3.841.
所以没有95%的把握认为此种产品的产品质量与生产产品的班组有关．
(3)由题意，若按合格与不合格的比例，则抽取了4件甲班组产品，5件乙班组产品，其中甲、乙班组抽取的产品均含有1件次品，设这4件甲班组产品分别为A1，A2，A3，D，其中A1，A2，A3代表合格品，D代表次品，从中随机抽取2件，则所有可能的情况为A1A2，A1A3，A1D，A2A3，A2D，A3D，共6种，A事件包含3种，故P(A)＝.
设这5件乙班组产品分别为B1，B2，B3，B4，E，其中B1，B2，B3，B4代表合格品，E代表次品，从中随机抽取2件，则所有可能的情况为B1B2，B1B3，B1B4，B1E，B2B3，B2B4，B2E，B3B4，B3E，B4E，共10种，B事件包含4种，故P(B)＝.
因为P(A)>P(B)，所以事件A发生的可能性大一些．(共44张PPT)
第三篇
[大题突破练]
第19练
概率与统计的综合问题
[明晰考情]
概率与统计在高考中多以交汇性的形式考查，一是两图(频率分布直方图与茎叶图)择一与概率、方差相交汇来考查；二是两图择一与线性回归或独立性检验相交汇来考查，难度中等.
题组对点练
栏目索引
模板规范练
题组一 概率与频率分布直方图的综合应用
要点重组 (1)频率分布直方图中小矩形的面积表示频率，用各小矩形的底边中点值与频率乘积之和估算平均值，用最高小矩形的底边中点值估算众数，用直方图的面积等分线对应的值估算中位数.
(2)对频率分布直方图中的信息进行提取，并结合古典概型的概率计算公式等进行运算.
题组对点练
1.(2019·全国100所名校冲刺卷)某单位n名员工参加“社区低碳你我他”活动，他们的年龄在20岁至70岁之间，按年龄分组：第1组[20,30)，第2组[30,40)，第3组[40,50)，第4组[50,60)，第5组[60,70]，得到的频率分布直方图如图所示，下表是年龄的频数分布表.
区间
[20,30)
[30,40)
[40,50)
[50,60)
[60,70]
人数
a
b
c
d
14
(1)求a，b，c，d的值，并估计参加“社区低碳你我他”活动的人的年龄的平均数；
解 由频数分布表和频率分布直方图知：
参加“社区低碳你我他”活动的人中年龄在[60,70]内的人数为14，
所以第1组[20,30)的人数为0.005×10×140＝7(人)，即a＝7；
第2组[30,40)的人数为0.035×10×140＝49(人)，即b＝49；
第3组[40,50)的人数为0.03×10×140＝42(人)，即c＝42；
第4组[50,60)的人数为0.02×10×140＝28(人)，即d＝28.
所以参加“社区低碳你我他”活动的人的年龄的平均数为(0.005×25＋0.035×35＋0.03×45＋0.02×55＋0.01×65)×10＝44.5.
(2)从参加活动且年龄在[60,70]，[50,60)的人中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人接受采访，求抽取的2人中至少有1人年龄在[60,70]的概率？
解 由(1)知，参加活动且年龄在[60,70]的有14人，参加活动且年龄在[50,60)的有28人，由分层抽样的方法抽取6人，则年龄在[60,70]的应抽取2人，记为a，b，年龄在[50,60)的应抽取4人，记为A，B，C，D，这6人中随机抽取2人接受采访，共有15种情况，
即(a，b)，(a，A)，(a，B)，(a，C)，(a，D)，(b，A)，(b，B)，(b，C)，(b，D)，(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D).
抽取的2人中年龄在[60,70]的至少有1人的情况有9种，
即(a，b)，(a，A)，(a，B)，(a，C)，(a，D)，(b，A)，(b，B)，(b，C)，(b，D)，
2.某市为担任班主任的教师办理手机语音月卡套餐，为了解通话时长，采用随机抽样的方法，得到该校100位班主任每人的月平均通话时长T(单位：分钟)的数据，其频率分布直方图如图所示，将频率视为概率.
(1)求图中m的值；
解 依题意，50×(m＋0.004
0＋0.005
0＋0.006
6＋0.001
6＋0.000
8)＝1，
得m＝0.002
0.
(2)估计该校担任班主任的教师月平均通话时长的中位数；
解 设该校担任班主任的教师月平均通话时长的中位数为t.
因为前2组的频率之和为(0.002
0＋0.004
0)×50＝0.3<0.5，
前3组的频率之和为(0.002
0＋0.004
0＋0.005
0)×50＝0.55>0.5，
所以3500×(t－350)＝0.5，得t＝390.
所以该校担任班主任的教师月平均通话时长的中位数为390分钟.
(3)在[450,500)，[500,550]这两组中采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求抽取的2人恰在同一组的概率.
记为a，b，c，d，在[500,550]内抽取2人，记为e，f，则6人中抽取2人的取法有：{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，e}，{a，f}，{b，c}，{b，d}，{b，e}，{b，f}，{c，d}，{c，e}，{c，f}，{d，e}，{d，f}，{e，f}，共15种等可能的取法.
其中抽取的2人恰在同一组的有{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，{e，f}，共7种取法，
题组二 概率与茎叶图的综合应用
要点重组 破解茎叶图与概率问题需过“两关”
(1)“看图读数据关”，即看懂茎叶图，并能读出其中的数据.
(2)“公式应用关”，即会利用平均数、方差的计算公式求平均数与方差，能利用古典概型的概率计算公式求概率.
3.随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图所示.
(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；
解 由题中茎叶图可知：甲班身高集中于160～179
cm之间，
而乙班身高集中于170～179
cm之间，
因此乙班平均身高高于甲班.
(2)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173
cm的同学，求身高为176
cm的同学被抽中的概率.
解 设“身高为176
cm的同学被抽中”的事件为A，用(x，y)表示从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173
cm的同学的身高，
则所有的基本事件有：(181,173)，(181,176)，(181,178)，(181,179)，(179,173)，(179,176)，(179,178)，(178,173)，(178,176)，(176,173)，共10个基本事件，
而事件A含有(181,176)，(179,176)，(178,176)，(176,173)，共4个基本事件，
4.(2019·衡中信息卷)某机构为了解性别与物理成绩的关系，在某学校高一年级随机抽取了20名同学(其中男、女各10名)的物理成绩，制成茎叶图如图所示.
(1)记物理成绩不低于90分为“优秀”，在所有“优秀”的同学中随机抽取2名，求抽出的2名同学中有女同学的概率；
解 由题意知成绩“优秀”的同学有4名，其中男同学有3名，物理成绩分别为100,94,91，女同学有1名，物理成绩为93，随机抽取2名，
有(100,94)，(100,91)，(100,93)，(94,91)，(94,93)，(91,93)，共6个基本事件，
其中抽出的2名同学中有女同学的有(100,93)，(94,93)，(91,93)，共3个基本事件，
(2)根据茎叶图，分别求出抽取的男、女同学物理成绩的平均数，并判断男、女同学物理成绩的方差哪一个更小(不需计算)；
解 男同学物理成绩的平均数为
×(100＋94＋91＋88＋86＋85＋73＋71＋60＋52)＝80(分)，
女同学物理成绩的平均数为
×(93＋87＋84＋81＋79＋76＋75＋73＋70＋62)＝78(分).
由茎叶图知女同学的物理成绩分布比较集中，男同学的物理成绩分布比较分散，所以女同学物理成绩的方差小于男同学物理成绩的方差.
(3)根据以上统计结果，针对不同性别同学的物理成绩，写出你认为合理的结论.
解 根据以上统计结果，易知男同学物理成绩的平均数高于女同学物理成绩的平均数，但女同学的物理成绩更集中.
题组三 概率与统计案例的综合应用
要点重组 (1)回归分析和概率的交汇问题，要明确所给数据的作用，抽象出随机事件和古典概型；回归分析问题解决的关键是找到样本点，确定回归类型和回归方程.
(2)独立性检验与古典概型的综合问题，要明确所要研究的分类变量，根据已知数据正确编制列联表，然后通过K2公式计算并利用参考数据得到结论.
5.每年的寒冷天气都会带热“御寒经济”，以餐饮业为例，当外面太冷时，不少人都会选择叫外卖上门，外卖商家的订单就会增加，下表是某月5天的日平均气温(单位：℃)与某餐饮店这5天中的外卖订单数.
日平均气温
－2
－4
－6
－8
－10
外卖订单数
50
85
115
140
160
(1)经过数据分析，可知一天内平均气温x与该店外卖订单数y成线性相关关系，试求y关于x的线性回归方程，并预测日平均气温为－12
℃时该店的外卖订单数(结果保留整数)；
所以可预测日平均气温为－12
℃时，该店的外卖订单数为193.
(2)天气预报预测未来一周内(7天)有3天日平均气温不高于－10
℃，若把这7天日平均气温的预测数据当成真实数据，则从这7天中任选2天，求恰有1天的外卖订单数不低于160的概率.
解 由(1)知外卖订单数不低于160的概率就是日平均气温不高于－10
℃的概率.
将日平均气温不高于－10
℃的3天分别记作A，B，C，另外4天记作a，b，c，d.
从这7天中任选2天的不同结果有(A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(A，d)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(B，d)，(C，a)，(C，b)，(C，c)，(C，d)，(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)，共21种，其中恰有1天的日平均气温不高于－10
℃的结果有(A，a)，(A，b)，(A，c)，(A，d)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(B，d)，(C，a)，(C，b)，(C，c)，(C，d)，共12种.
6.某老师对全班50名学生的学习积极性和参加社团活动情况进行调查，得到的统计数据如下表所示.
参加社团活动
不参加社团活动
总计
学习积极性高
25
学习积极性一般
5
总计
28
50
(1)请把表格数据补充完整；
解 数据补充完整的表格如下：
参加社团活动
不参加社团活动
总计
学习积极性高
17
8
25
学习积极性一般
5
20
25
总计
22
28
50
解 从不参加社团活动的28人中按照分层抽样的方法选出的7人中，学习积极性高的有2人，记为A，B，学习积极性一般的有5人，记为a，b，c，d，e，从这7人中任选2人，共有以下21个等可能基本事件：AB，Aa，Ab，Ac，Ad，Ae，Ba，Bb，Bc，Bd，Be，ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de.
至少有1人学习积极性高的事件有11个：AB，Aa，Ab，Ac，Ad，Ae，Ba，Bb，Bc，Bd，Be.
(2)若从不参加社团活动的28人中按照分层抽样的方法选取7人，再从所选出的7人中随机选取2人作为代表发言，求至少有1人学习积极性高的概率；
(3)运用独立性检验的思想方法，判断是否有99.9%的把握认为学生的学习积极性与参加社团活动的情况有关系？
P(K2≥k0)
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
所以有99.9%的把握认为学生的学习积极性与参加社团活动的情况有关系.
模板规范练
典例 (12分)(2018·全国Ⅰ)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位：m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
模板体验
日用水量
[0,0.1)
[0.1，0.2)
[0.2，0.3)
[0.3，0.4)
[0.4，0.5)
[0.5，0.6)
[0.6，0.7]
频数
1
3
2
4
9
26
5
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量
[0,0.1)
[0.1，0.2)
[0.2，0.3)
[0.3，0.4)
[0.4，0.5)
[0.5，0.6]
频数
1
5
13
10
16
5
(1)在下图中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图；
(2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35
m3的概率；
(3)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？(一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)
审题路线图
规范解答·评分标准
解 (1)
……………………………………………………………………………………………4分
(2)根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35
m3的频率为
0.2×0.1＋1×0.1＋2.6×0.1＋2×0.05＝0.48，
因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35
m3的概率的估计值为0.48.…………8分
(3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为
……………………………………………………………………………………………9分
该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为
估计使用节水龙头后，一年可节省水(0.48－0.35)×365＝47.45(m3).……………12分
构建答题模板
[第一步] 审数据：根据题中图表确定统计中所需的数据，并计算频率，频率/组距等.
[第二步] 画图表：根据所得的数据画出频率分布直方图.
[第三步] 估总体：根据频率分布直方图估计总体的分布或其他特征.
规范演练
1.某教师为了了解本校高三学生一模考试的数学成绩情况，将所教两个班级的数学成绩(单位：分)绘制成如图所示的茎叶图.
(1)分别求出甲、乙两个班级数学成绩的中位数、众数；
解 由所给的茎叶图知，甲班50名同学的成绩由小到大排序，排在第25,26位的是108,109，数量最多的是103，故甲班数学成绩的中位数是108.5，众数是103；
乙班48名同学的成绩由小到大排序，排在第24,25位的是106,107，数量最多的是92和101，故乙班数学成绩的中位数是106.5，众数为92和101.
(2)若规定成绩大于等于115分为优秀，分别求出两个班级数学成绩的优秀率.
2.(2019·潍坊模拟)某公司甲、乙两个班组分别试生产同一种规格的产品，已知此种产品的质量指标检测分数不小于70时，该产品为合格品，否则为次品，现随机抽取两个班组生产的此种产品各100件进行检测，其结果如下表：
质量指标检测分数
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100]
甲班组生产的产品件数
7
18
40
29
6
乙班组生产的产品件数
8
12
40
32
8
(1)根据表中数据，估计甲、乙两个班组生产该种产品各自的不合格率；
(2)根据以上数据，完成下面的2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该种产品的质量与生产产品的班组有关？
甲班组
乙班组
总计
合格品
次品
总计
解 列联表如下：
甲班组
乙班组
总计
合格品
75
80
155
次品
25
20
45
总计
100
100
200
所以没有95%的把握认为此种产品的产品质量与生产产品的班组有关.
(3)若按合格与不合格的比例，从甲班组生产的产品中抽取4件产品，从乙班组生产的产品中抽取5件产品，记事件A：从上面4件甲班组生产的产品中随机抽取2件，且都是合格品；事件B：从上面5件乙班组生产的产品中随机抽取2件，一件是合格品，一件是次品，试估计这两个事件哪一个发生的可能性大.
P(K2≥k0)
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
解 由题意，若按合格与不合格的比例，则抽取了4件甲班组产品，5件乙班组产品，其中甲、乙班组抽取的产品均含有1件次品，
设这4件甲班组产品分别为A1，A2，A3，D，其中A1，A2，A3代表合格品，D代表次品，从中随机抽取2件，
则所有可能的情况为A1A2，A1A3，A1D，A2A3，A2D，A3D，共6种，A事件包含3种，
设这5件乙班组产品分别为B1，B2，B3，B4，E，其中B1，B2，B3，B4代表合格品，E代表次品，从中随机抽取2件，
则所有可能的情况为B1B2，B1B3，B1B4，B1E，B2B3，B2B4，B2E，B3B4，B3E，B4E，共10种，B事件包含4种，
因为P(A)>P(B)，所以事件A发生的可能性大一些.
第三篇
本课结束
