第22练 圆锥曲线中的范围、最值、证明问题[大题规范练]
[明晰考情] 直线与圆锥曲线的位置关系是高考必考题．
题组一 直线与圆锥曲线
要点重组 对于直线与圆锥曲线的位置关系问题，一般要把圆锥曲线的方程与直线方程联立来处理．
(1)设直线方程，在直线的斜率不确定的情况下要分斜率存在和不存在两种情况进行讨论，或者将直线方程设成x＝my＋b(斜率不为0)的形式．
(2)联立直线方程与曲线方程并将其转化成一元二次方程，利用方程的判别式或根与系数的关系得到交点的横坐标或纵坐标的关系．
(3)一般涉及弦长的问题，要用到弦长公式|AB|＝·|x1－x2|或|AB|＝·|y1－y2|.
1．已知F是椭圆＋＝1的右焦点，过F的直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点．
(1)若x1＋x2＝3，求弦AB的长；
(2)O为坐标原点，∠AOB＝θ，满足3·tan
θ＝4，求直线l的方程．
解 (1)由题意可知过F的直线l斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－2)，
联立得(3k2＋1)x2－12k2x＋12k2－6＝0，
Δ>0显然成立．
∵x1＋x2＝3，∴＝3，
∴k2＝1，则x1x2＝＝，
∴|AB|＝|x1－x2|
＝·＝.
(2)∵3·tan
θ＝4，
∴||||sin
θ＝，
∴S△AOB＝|OA||OB|sin
θ＝，
即×2×|y1－y2|＝，
由题意知，l的斜率不为0，
故设直线l的方程为x＝my＋2，联立
得(m2＋3)y2＋4my－2＝0，Δ>0显然成立．
∴y1＋y2＝－，y1y2＝－，
∴(y1＋y2)2－4y1y2＝，即m4－3m2＝0，
∴m＝0或m＝±，
∴直线l的方程为x＝2或x±y－2＝0.
2．已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.
(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；
(2)若＝3，求|AB|.
解 设直线l：y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)由题设得F，
故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋，
由题设可得x1＋x2＝.
由可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，
令Δ>0，得t<，
则x1＋x2＝－.
从而－＝，得t＝－.
所以l的方程为y＝x－.
(2)由＝3可得y1＝－3y2，
由可得y2－2y＋2t＝0，
所以y1＋y2＝2，从而－3y2＋y2＝2，
故y2＝－1，y1＝3，
代入C的方程得x1＝3，x2＝，
即A(3,3)，B，
故|AB|＝.
题组二 圆锥曲线中的范围、最值问题
要点重组 (1)解决有关范围问题时，先要恰当地引入变量(如点的坐标、角、斜率等)，寻找不等关系，其方法有
①利用判别式来构造不等式，从而确定所求范围；
②利用已知参数的取值范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立相等关系；
③利用隐含的不等关系，从而求出所求范围；
④利用已知不等关系构造不等式，从而求出所求范围；
⑤利用函数值域的求法，确定所求范围；
⑥利用已知，将条件转化为n个不等关系，从而求出参数的范围．
(2)解决有关最值问题时，要建立求解目标关于某个(或两个)变量的函数，通过求解函数的最值解决问题(普通方法、基本不等式方法、导数方法等)．
3．(2019·全国Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．
(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；
(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．
解 (1)连接PF1.
由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，
∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝c，
于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(＋1)c，
故C的离心率为e＝＝－1.
(2)由题意可知，若满足条件的点P(x，y)存在，
则|y|·2c＝16，·＝－1，
即c|y|＝16，①
x2＋y2＝c2，②
又＋＝1.③
由②③及a2＝b2＋c2得y2＝.
又由①知y2＝，故b＝4.
由②③及a2＝b2＋c2得x2＝(c2－b2)，
所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故a≥4.
当b＝4，a≥4时，存在满足条件的点P.
所以b＝4，a的取值范围为[4，＋∞)．
4.如图所示，设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|－1.
(1)求p的值；
(2)若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围．
解 (1)由题意可得，抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线x＝－1的距离，
由抛物线的定义得＝1，即p＝2.
(2)由(1)得，抛物线方程为y2＝4x，F(1,0)，
可设A(t2，2t)，t≠0，t≠±1，B(xB，yB)．
∵AF不垂直于y轴，可设直线AF：x＝sy＋1(s≠0)，
由消去x得y2－4sy－4＝0，
Δ>0显然成立，
故2t·yB＝－4，∴yB＝－，
∴B.
又直线AB的斜率为，
故直线FN的斜率为－，
从而得直线FN：y＝－(x－1)，直线BN：y＝－，
∴N.
设M(m，0)，由A，M，N三点共线得＝，
于是m＝＝2＋，∴m<0或m>2.
经检验知，m<0或m>2满足题意．
综上，点M的横坐标的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)．
题组三 圆锥曲线中的证明问题
要点重组 (1)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系．
(2)解决证明问题时，主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明．
5．(2018·全国Ⅰ)
设椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2,0)．
(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；
(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB.
(1)解 由已知得F(1,0)，l的方程为x＝1.
由已知可得，点A的坐标为或.
又M(2,0)，
所以AM的方程为y＝－x＋或y＝x－.
即x＋y－2＝0或x－y－2＝0.
(2)证明 当l与x轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°.
当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，
所以∠OMA＝∠OMB.
当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为
y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1<，x2<，直线MA，MB的斜率之和
kMA＋kMB＝＋.
由y1＝kx1－k，y2＝kx2－k，得
kMA＋kMB＝.
将y＝k(x－1)代入＋y2＝1，得
(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0，由题意知Δ>0恒成立，
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
则2kx1x2－3k(x1＋x2)＋4k＝＝0，
从而kMA＋kMB＝0，
故MA，MB的倾斜角互补．
所以∠OMA＝∠OMB.
综上，∠OMA＝∠OMB.
6．(2019·驻马店模拟)已知抛物线P的顶点在坐标原点，其焦点F在y轴正半轴上，E为直线y＝x上一点，圆E与x轴相切(E为圆心)，且E，F关于点M(－2,0)对称．
(1)求圆E和抛物线P的标准方程；
(2)过M的直线l交圆E于A，B两点，交抛物线P于C，D两点，求证：|CD|>|AB|.
(1)解 设抛物线P的标准方程为x2＝2py(p>0)，
则焦点F的坐标为.
已知点E在直线y＝x上，故可设E(2a，a)，
因为E，F关于M(－2,0)对称，
所以解得
所以抛物线的标准方程为x2＝8y.
因为圆E与x轴相切，故半径r＝|a|＝2，
所以圆E的标准方程为(x＋4)2＋(y＋2)2＝4.
(2)证明 由题意知，直线l的斜率存在，设为k(k>0)，且方程为y＝k(x＋2)，则E(－4，－2)到直线l的距离为d＝，
所以|AB|＝2＝4(k>0)，
由消去y得x2－8kx－16k＝0，
Δ＝64k2＋64k>0，
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1＋x2＝8k，x1x2＝－16k，
所以|CD|＝|x1－x2|
＝＝8，
因为k>0，k2＋k>k，k2＋1>1，
所以＝>＝2，
所以|CD|2>2|AB|2，即|CD|>|AB|.
典例 (12分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆E：＋＝1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y＝kx＋m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q.
①求的值；
②求△ABQ面积的最大值．
审题路线图
(1)―→
(2)①―→
②→
→
规范解答·评分标准
解 (1)由题意知＋＝1.又＝，
解得a2＝4，b2＝1.所以椭圆C的方程为＋y2＝1.…………………………………………2分
(2)由(1)知椭圆E的方程为＋＝1.
①设P(x0，y0)，＝λ(λ>0)，由题意知Q(－λx0，－λy0)．
因为＋y＝1，又＋＝1，
即＝1，
所以λ＝2，即＝2.…………………………………………………………………………5分
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
将y＝kx＋m代入椭圆E的方程，
可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0，
由Δ>0，可得m2<4＋16k2，(
)
则有x1＋x2＝－，x1x2＝.
所以|x1－x2|＝.………………………………………………………………8分
因为直线y＝kx＋m与y轴交点的坐标为(0，m)，
所以△OAB的面积S＝|m||x1－x2|＝＝
＝2.……………………………………………………………………9分
设＝t，将y＝kx＋m代入椭圆C的方程，
可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
由Δ≥0，可得m2≤1＋4k2.(
)
由(
)和(
)可知0因此S＝2＝2，……………………………………………………………10分
故0由①知，△ABQ的面积为3S，所以△ABQ面积的最大值为6.…………………………12分
构建答题模板
[第一步] 求曲线方程：根据基本量法或定义法确定圆锥曲线的方程．
[第二步] 联立消元：将直线方程和圆锥曲线方程联立，得到方程Ax2＋Bx＋C＝0，然后研究判别式，得到根与系数的关系．
[第三步] 找关系：从题设中寻求变量的等量或不等关系．
[第四步] 建函数：对范围最值类问题，要建立关于目标变量的函数关系．
[第五步] 得范围：通过求解函数值域或解不等式得目标变量的范围或最值，要注意变量条件的制约，检查最值取得的条件．
1．(2019·全国100所名校冲刺卷)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，P(－，0)是它的一个顶点．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)已知点A(0，－1)，斜率为k的直线l与曲线E交于不同的两点C，D，且满足||＝||，试求k的取值范围．
解 (1)由题意可知a＝，离心率e＝＝＝，
解得c＝，所以b＝1，
所以椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2)当k＝0时，显然满足题意，
当k≠0时，设l：y＝kx＋m(k≠0)，
联立方程组可得
即(1＋3k2)x2＋6kmx＋3(m2－1)＝0，
由题意Δ>0，即1＋3k2－m2>0，①
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
由根与系数的关系可得
x1＋x2＝－，x1x2＝，
所以y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝，
则CD的中点F，
又因为||＝||，所以⊥，
所以k·kAF＝－1，即k·＝－1，
化简可得m＝，②
将②代入①可得1＋3k2－2>0，
化简可得k2<1，解得k∈(－1,0)∪(0,1)，
综上可得k的取值范围是(－1,1)．
2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为2，且C过点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设B1，B2分别是椭圆C的下顶点和上顶点，P是椭圆上异于B1，B2的任意一点，过点P作PM⊥y轴于M，N为线段PM的中点，直线B2N与直线y＝－1交于点D，E为线段B1D的中点，O为坐标原点，求证：ON⊥EN.
(1)解 由题设知焦距为2，所以c＝.
又因为椭圆过点，
所以代入椭圆方程得＋＝1，
因为a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝1,
故所求椭圆C的方程是＋y2＝1.
(2)证明 设P(x0，y0)，x0≠0，则M(0，y0)，N.
因为点P在椭圆C上，所以＋y＝1.
即x＝4－4y.
又B2(0,1)，所以直线B2N的方程为y－1＝x.
令y＝－1，得x＝，所以D.
又B1(0，－1)，E为线段B1D的中点，
所以E.
所以＝，＝.
因为·＝＋y0(y0＋1)
＝－＋y＋y0
＝1－y－＋y＋y0
＝1－y0－1＋y0＝0，
所以⊥，即ON⊥EN.(共45张PPT)
第三篇
[大题规范练]
第22练
圆锥曲线中的范围、最值、证明问题
[明晰考情]
直线与圆锥曲线的位置关系是高考必考题.
题组对点练
栏目索引
模板规范练
题组一 直线与圆锥曲线
要点重组 对于直线与圆锥曲线的位置关系问题，一般要把圆锥曲线的方程与直线方程联立来处理.
(1)设直线方程，在直线的斜率不确定的情况下要分斜率存在和不存在两种情况进行讨论，或者将直线方程设成x＝my＋b(斜率不为0)的形式.
(2)联立直线方程与曲线方程并将其转化成一元二次方程，利用方程的判别式或根与系数的关系得到交点的横坐标或纵坐标的关系.
题组对点练
(1)若x1＋x2＝3，求弦AB的长；
解 由题意可知过F的直线l斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－2)，
由题意知，l的斜率不为0，
得(m2＋3)y2＋4my－2＝0，Δ>0显然成立.
2.已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为
的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.
(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；
所以y1＋y2＝2，从而－3y2＋y2＝2，
故y2＝－1，y1＝3，
题组二 圆锥曲线中的范围、最值问题
要点重组 (1)解决有关范围问题时，先要恰当地引入变量(如点的坐标、角、斜率等)，寻找不等关系，其方法有
①利用判别式来构造不等式，从而确定所求范围；
②利用已知参数的取值范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立相等关系；
③利用隐含的不等关系，从而求出所求范围；
④利用已知不等关系构造不等式，从而求出所求范围；
⑤利用函数值域的求法，确定所求范围；
⑥利用已知，将条件转化为n个不等关系，从而求出参数的范围.
(2)解决有关最值问题时，要建立求解目标关于某个(或两个)变量的函数，通过求解函数的最值解决问题(普通方法、基本不等式方法、导数方法等).
(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；
解 连接PF1.
由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，
(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围.
解 由题意可知，若满足条件的点P(x，y)存在，
即c|y|＝16，
①
x2＋y2＝c2，
②
4.如图所示，设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|－1.
(1)求p的值；
解 由题意可得，抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线x＝－1的距离，
(2)若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围.
解 由(1)得，抛物线方程为y2＝4x，F(1,0)，
可设A(t2，2t)，t≠0，t≠±1，B(xB，yB).
∵AF不垂直于y轴，可设直线AF：x＝sy＋1(s≠0)，
Δ>0显然成立，
经检验知，m<0或m>2满足题意.
综上，点M的横坐标的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞).
题组三 圆锥曲线中的证明问题
要点重组 (1)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系.
(2)解决证明问题时，主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明.
(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；
解 由已知得F(1,0)，l的方程为x＝1.
(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB.
证明 当l与x轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°.
当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，
所以∠OMA＝∠OMB.
当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为
y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0，由题意知Δ>0恒成立，
从而kMA＋kMB＝0，
故MA，MB的倾斜角互补.所以∠OMA＝∠OMB.
综上，∠OMA＝∠OMB.
6.(2019·驻马店模拟)已知抛物线P的顶点在坐标原点，其焦点F在y轴正半轴上，E为直线y＝
x上一点，圆E与x轴相切(E为圆心)，且E，F关于点M(－2,0)对称.
(1)求圆E和抛物线P的标准方程；
解 设抛物线P的标准方程为x2＝2py(p>0)，
因为E，F关于M(－2,0)对称，
所以抛物线的标准方程为x2＝8y.
因为圆E与x轴相切，故半径r＝|a|＝2，
所以圆E的标准方程为(x＋4)2＋(y＋2)2＝4.
(2)过M的直线l交圆E于A，B两点，交抛物线P于C，D两点，求证：|CD|>
|AB|.
证明 由题意知，直线l的斜率存在，设为k(k>0)，且方程为y＝k(x＋2)，
Δ＝64k2＋64k>0，
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1＋x2＝8k，x1x2＝－16k，
因为k>0，k2＋k>k，k2＋1>1，
模板规范练
模板体验
(1)求椭圆C的方程；
②求△ABQ面积的最大值.
审题路线图
规范解答·评分标准
②设A(x1，y1)，B(x2，y2).
将y＝kx＋m代入椭圆E的方程，
可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0，
由Δ>0，可得m2<4＋16k2，
(
)
因为直线y＝kx＋m与y轴交点的坐标为(0，m)，
可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
由Δ≥0，可得m2≤1＋4k2.
(
)
由(
)和(
)可知0构建答题模板
[第一步] 求曲线方程：根据基本量法或定义法确定圆锥曲线的方程.
[第二步] 联立消元：将直线方程和圆锥曲线方程联立，得到方程Ax2＋Bx＋C＝0，然后研究判别式，得到根与系数的关系.
[第三步] 找关系：从题设中寻求变量的等量或不等关系.
[第四步] 建函数：对范围最值类问题，要建立关于目标变量的函数关系.
[第五步] 得范围：通过求解函数值域或解不等式得目标变量的范围或最值，要注意变量条件的制约，检查最值取得的条件.
规范演练
(1)求椭圆E的标准方程；
解 当k＝0时，显然满足题意，
当k≠0时，设l：y＝kx＋m(k≠0)，
即(1＋3k2)x2＋6kmx＋3(m2－1)＝0，
由题意Δ>0，即1＋3k2－m2>0，
①
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
由根与系数的关系可得
化简可得k2<1，解得k∈(－1,0)∪(0,1)，
综上可得k的取值范围是(－1,1).
(1)求椭圆C的方程；
因为a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝1,
(2)设B1，B2分别是椭圆C的下顶点和上顶点，P是椭圆上异于B1，B2的任意一点，过点P作PM⊥y轴于M，N为线段PM的中点，直线B2N与直线y＝－1交于点D，E为线段B1D的中点，O为坐标原点，求证：ON⊥EN.
＝1－y0－1＋y0＝0，
第三篇
本课结束
