课件33张PPT。第三篇 [小题提速练]第24练函数的概念、图象与性质[明晰考情]
以基本初等函数为载体，考查函数的定义域、最值、奇偶性、单调性、周期性，分段函数求值或分段函数中参数的求解，以及函数图象的判断.难度为中档.题组对点练栏目索引易错易混练押题冲刺练题组一 函数及其表示要点重组 (1)函数定义域的求法
求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可.
(2)分段函数问题常见类型及解题策略
①求函数值：弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算.
②求函数最值：分别求出每个区间上的最值，然后比较大小.
③解不等式：根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提.
④求参数：“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程.题组对点练A.(2,3) B.(2，＋∞)
C.(3，＋∞) D.(2,3)∪(3，＋∞)√所以函数的定义域为(2,3)∪(3，＋∞).A.－2 B.2 C.3 D.－3√解析 f(－2)＝a－2＋b＝5， ①
f(－1)＝a－1＋b＝3， ②∴f(f(－3))＝f(9)＝log39＝2.(－1，e－1)解析 当x<0时，由x2<1，解得－1
当x≥0时，由ln(x＋1)<1，解得0≤x故f(x)<1的解集为(－1,0)∪[0，e－1)＝(－1，e－1).(－2 019,2)因为ax>0，所以ax＋1>1，故函数f(x)的值域为(－2 019,2).题组二 函数的图象及应用要点重组 利用间接法排除(筛选)错误(正确)的选项，可以从如下几个方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置，从函数的值域，判断图象的上下位置.
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势.
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性：如奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反.
(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复.
(5)从特殊点出发，排除不符合要求的选项.
灵活应用上述方法，可以很快判断出函数的图象.解析 ∵y＝ex－e－x是奇函数，y＝x2是偶函数，√√所以f(x)的图象关于点(0,1)对称，故排除B选项；(－∞，0]∪[2，＋∞)解析 作出函数f(x)的图象如图所示，由图象可知，要使f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥2或a＋1≤1，
即a≤0或a≥2.8解析 如图，两个函数图象都关于点(1,0)成中心对称，
两个图象在[－2,4]上共8个交点，
每两个对应交点横坐标之和为2.
故所有交点的横坐标之和为8.题组三 函数的性质及应用要点重组 (1)比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.(3)若函数f(x)在定义域(或某一区间)上是增函数，则f(x1)(4)利用函数性质求值的关键是利用函数的奇偶性、对称性以及函数的周期性将自变量转化到指定区间内，然后代入函数解析式求值.有以下常用结论：
若对于函数f(x)定义域内的任意一个x都有：
①f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期.9.(2019·全国Ⅱ)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x<0时，f(x)等于
A.e－x－1 B.e－x＋1
C.－e－x－1 D.－e－x＋1解析 当x<0时，－x>0，
∵当x≥0时，f(x)＝ex－1，
∴f(－x)＝e－x－1.
又∵f(x)为奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1.√10.已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数.记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为
A.a得m＝0，则f(x)＝2|x|－1.
当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝2x－1单调递增，
又a＝f(log0.53)＝f(|log0.53|)＝f(log23)，c＝f(0)，
且0则f(0)即c即－(ae－1＋e)＝－(ae＋e－1)，解得a＝1.解析 ∵f(x＋2)＝－f(－x＋2)，
∴f(x)＝－f(－x＋4)，
又f(x)＝f(－x＋2)，∴－f(－x＋4)＝f(－x＋2)，
∴－f(－x＋2)＝f(－x)，∴f(－x＋4)＝f(－x)，
∴f(x)的周期为4，易错易混练1.已知函数f(x)为R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝－ex＋1－mcos x，记a＝－2f(－2)，b＝－f(－1)，c＝3f(3)，则a，b，c的大小关系是
A.b即当x≥0时，f(x)＝－ex＋1.构造函数g(x)＝xf(x)，满足g(－x)＝g(x)，
则函数g(x)是偶函数，则x≥0时，g′(x)＝1－ex(x＋1)，
当x≥0时，ex≥1，x＋1≥1，所以g′(x)≤0，
即函数g(x)在[0，＋∞)上单调递减，且a＝g(－2)＝g(2)，b＝g(－1)＝g(1)，c＝g(3)，
所以g(1)>g(2)>g(3)，即c①若f(1＋2x)＝f(1－2x)，则f(x)的图象关于直线x＝1对称；
②y＝f(x－2)与y＝f(2－x)的图象关于直线x＝2对称；
③若f(x)为偶函数，且f(x＋2)＝－f(x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称；
④若f(x)为奇函数，且f(x)＝f(－x－2)，则f(x)的图象关于直线x＝1对称.
其中正确命题的序号为__________.①②③④对于②，令t＝x－2，则问题等价于y＝f(t)与y＝f(－t)图象的对称问题，
显然这两个函数的图象关于直线t＝0对称，
即函数y＝f(x－2)与y＝f(2－x)的图象关于直线x－2＝0，即x＝2对称，故②正确；
对于③，由f(x＋2)＝－f(x)，可得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x)的周期为4.
又f(x)为偶函数，f(x)＝f(－x)＝f(－x＋4).
所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，故③正确；
对于④，由于函数f(x)为奇函数，且f(x)＝f(－x－2)，可得f(－x)＝f(x＋2)，易错提醒 在应用函数性质的结论时，避免因混淆而出错，例如：函数f(x)满足等式f(1－x)＝f(1＋x)与f(x－1)＝f(x＋1)，前者是f(x)图象关于x＝1对称，后者是f(x)的周期T＝2.押题冲刺练123456解析 ∵f(－7)＝|－7＋2|－4＝1，
∴f(f(－7))＝f(1)＝e－e＝0.√A.－1 B.0 C.1 D.2123456√1234563.已知y＝f(x)是定义在R上的函数，且f(x＋4)＝－f(x)，如果当x∈[－4,0)时，f(x)＝3－x，则f(985)等于
A.27 B.－27 C.9 D.－9√解析 由f(x＋4)＝－f(x)得，
f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，
所以y＝f(x)是周期为8的周期函数，
所以f(985)＝f(123×8＋1)＝f(1)，
f(1)＝f(－3＋4)＝－f(－3)＝－33＝－27.123456√所以f(x)的图象关于原点对称，排除C，D；
当x>0时，f(x)>0，排除B.5.已知偶函数y＝f(x)，当x∈(－1,0)时，f(x)＝2－x，若α，β为锐角三角形的两个内角，则
A.f(sin α)>f(sin β) B.f(sin α)>f(cos β)
C.f(cos α)>f(cos β) D.f(cos α)>f(sin β)解析 当x∈(－1,0)时，f(x)＝2－x为减函数，
又f(x)为偶函数，所以f(x)在(0,1)上为增函数，√所以f(sin α)>f(cos β).123456123456所以函数f(x)是以4为周期的周期函数，第三篇 本课结束 第24练 函数的概念、图象与性质[小题提速练]
[明晰考情] 以基本初等函数为载体，考查函数的定义域、最值、奇偶性、单调性、周期性，分段函数求值或分段函数中参数的求解，以及函数图象的判断．难度为中档．
题组一 函数及其表示
要点重组 (1)函数定义域的求法
求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．
(2)分段函数问题常见类型及解题策略
①求函数值：弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算．
②求函数最值：分别求出每个区间上的最值，然后比较大小．
③解不等式：根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提．
④求参数：“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程．
1．函数y＝log2(2x－4)＋的定义域是( )
A．(2,3) B．(2，＋∞)
C．(3，＋∞) D．(2,3)∪(3，＋∞)
答案 D
解析 由题意得
解得x>2且x≠3，
所以函数的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)．
2．(2019·石家庄模拟)已知f(x)＝且f(－2)＝5，f(－1)＝3，
则f(f(－3))等于( )
A．－2 B．2 C．3 D．－3
答案 B
解析 f(－2)＝a－2＋b＝5，①
f(－1)＝a－1＋b＝3，②
由①②得或(舍)．
∴f(x)＝
∴f(－3)＝－3＋1＝9，
∴f(f(－3))＝f(9)＝log39＝2.
3．(2019·唐山模拟)已知函数f(x)＝则不等式f(x)<1的解集为________．
答案 (－1，e－1)
解析 当x<0时，由x2<1，解得－1当x≥0时，由ln(x＋1)<1，解得0≤x故f(x)<1的解集为(－1,0)∪[0，e－1)＝(－1，e－1)．
4．函数f(x)＝(a>0且a≠1)的值域为________．
答案 (－2 019,2)
解析 f(x)＝＝＝2－，
因为ax>0，所以ax＋1>1，
所以0<<2 021，
所以－2 019<2－<2，
故函数f(x)的值域为(－2 019,2)．
题组二 函数的图象及应用
要点重组 利用间接法排除(筛选)错误(正确)的选项，可以从如下几个方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置，从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性：如奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反．
(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复．
(5)从特殊点出发，排除不符合要求的选项．
灵活应用上述方法，可以很快判断出函数的图象．
5．(2018·全国Ⅱ)函数f(x)＝的图象大致为( )
答案 B
解析 ∵y＝ex－e－x是奇函数，y＝x2是偶函数，
∴f(x)＝是奇函数，图象关于原点对称，排除A选项．
当x＝1时，f(1)＝＝e－>0，排除D选项．
又e>2，∴<，∴e－>，排除C选项．
6．(2019·衡中信息卷)函数f(x)＝的大致图象是( )
答案 C
解析 f(x)＝＝1＋，
设g(x)＝，则g(x)为奇函数，
所以f(x)的图象关于点(0,1)对称，故排除B选项；
f?＝1＋>0，故排除A选项；
f(－π)＝1－>0，故排除D选项．
7．设函数f(x)＝若函数f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是________．
答案 (－∞，0]∪[2，＋∞)
解析 作出函数f(x)的图象如图所示，
由图象可知，要使f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥2或a＋1≤1，即a≤0或a≥2.
8．函数y＝的图象与函数y＝2sin πx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于________．
答案 8
解析 如图，两个函数图象都关于点(1,0)成中心对称，两个图象在[－2,4]上共8个交点，每两个对应交点横坐标之和为2.故所有交点的横坐标之和为8.
题组三 函数的性质及应用
要点重组 (1)比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．
(2)对于x1，x2∈[a，b]，x1≠x2，若(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0或>0，则f(x)在闭区间[a，b]上是增函数．
(3)若函数f(x)在定义域(或某一区间)上是增函数，则f(x1)(4)利用函数性质求值的关键是利用函数的奇偶性、对称性以及函数的周期性将自变量转化到指定区间内，然后代入函数解析式求值．有以下常用结论：
若对于函数f(x)定义域内的任意一个x都有：
①f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期．
②f(x＋a)＝(a≠0，f(x)≠0)，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期．
③f(x＋a)＝－(a≠0，f(x)≠0)，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期．
9．(2019·全国Ⅱ)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x<0时，f(x)等于( )
A．e－x－1 B．e－x＋1
C．－e－x－1 D．－e－x＋1
答案 D
解析 当x<0时，－x>0，
∵当x≥0时，f(x)＝ex－1，
∴f(－x)＝e－x－1.
又∵f(x)为奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1.
10．已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数．记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为( )
A．aC．c答案 C
解析 由f(x)＝2|x－m|－1是偶函数，
得m＝0，则f(x)＝2|x|－1.
当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝2x－1单调递增，
又a＝f(log0.53)＝f(|log0.53|)＝f(log23)，c＝f(0)，
且0则f(0)即c11．(2019·齐鲁名校协作体)已知f(x)＝(aex＋e－x)x为奇函数，则a的值为________．
答案 1
解析 ∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)，
即－(ae－1＋e)＝－(ae＋e－1)，解得a＝1.
12．(2019·青岛模拟)已知函数f(x＋2)为奇函数，且函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x∈[－1,0]时，f(x)＝，则f(2 019)＝________.
答案 －
解析 ∵f(x＋2)＝－f(－x＋2)，
∴f(x)＝－f(－x＋4)，
又f(x)＝f(－x＋2)，∴－f(－x＋4)＝f(－x＋2)，
∴－f(－x＋2)＝f(－x)，∴f(－x＋4)＝f(－x)，
∴f(x)的周期为4，
故f(2 019)＝f(3)＝f(－1)＝－.
1．已知函数f(x)为R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝－ex＋1－mcos x，记a＝－2f(－2)，b＝－f(－1)，c＝3f(3)，则a，b，c的大小关系是( )
A．bC．c答案 D
解析 因为f(x)在R上是奇函数，所以f(0)＝－e0＋1－mcos 0＝0，所以m＝0，即当x≥0时，f(x)＝－ex＋1.构造函数g(x)＝xf(x)，满足g(－x)＝g(x)，则函数g(x)是偶函数，则x≥0时，g′(x)＝1－ex(x＋1)，当x≥0时，ex≥1，x＋1≥1，所以g′(x)≤0，即函数g(x)在[0，＋∞)上单调递减，且a＝g(－2)＝g(2)，b＝g(－1)＝g(1)，c＝g(3)，所以g(1)>g(2)>g(3)，即c易错提醒 若不能挖掘试题中隐藏的一些条件(如函数性质)，则很容易出错，甚至会出现不知如何下手的情况．注意本题中利用偶函数的性质来判断a，b，c的大小，可以避免分类讨论．另外，对于函数的奇偶性，除根据定义域利用函数的图象特征判断外，还可以根据性质(奇±奇＝奇，偶±偶＝偶；奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇)判断(在公共定义域内)．在平时的学习中多积累这样的解题小结论，可以简化解题步骤，快速解题，避免不必要的失误．
2．已知函数y＝f(x)，x∈R，有下列四个命题：
①若f(1＋2x)＝f(1－2x)，则f(x)的图象关于直线x＝1对称；
②y＝f(x－2)与y＝f(2－x)的图象关于直线x＝2对称；
③若f(x)为偶函数，且f(x＋2)＝－f(x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称；
④若f(x)为奇函数，且f(x)＝f(－x－2)，则f(x)的图象关于直线x＝1对称．
其中正确命题的序号为________．
答案 ①②③④
解析 对于①，＝1，故函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，故①正确；对于②，令t＝x－2，则问题等价于y＝f(t)与y＝f(－t)图象的对称问题，显然这两个函数的图象关于直线t＝0对称，即函数y＝f(x－2)与y＝f(2－x)的图象关于直线x－2＝0，即x＝2对称，故②正确；对于③，由f(x＋2)＝－f(x)，可得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x)的周期为4.又f(x)为偶函数，f(x)＝f(－x)＝f(－x＋4)．所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，故③正确；对于④，由于函数f(x)为奇函数，且f(x)＝f(－x－2)，可得f(－x)＝f(x＋2)，由于＝1，可得函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，故④正确．
易错提醒 在应用函数性质的结论时，避免因混淆而出错，例如：函数f(x)满足等式f(1－x)＝f(1＋x)与f(x－1)＝f(x＋1)，前者是f(x)图象关于x＝1对称，后者是f(x)的周期T＝2.
1．若函数f(x)＝则f(f(－7))等于( )
A．1 B. C．－1 D．0
答案 D
解析 ∵f(－7)＝|－7＋2|－4＝1，
∴f(f(－7))＝f(1)＝e－e＝0.
2．函数f(x)是定义在R上的奇函数，f＝1，当x<0时，f(x)＝log2(－x)＋m，则实数m等于( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
答案 C
解析 由题意知f＝－1，
所以f?＝log2＋m＝－1，解得m＝1.
3．已知y＝f(x)是定义在R上的函数，且f(x＋4)＝－f(x)，如果当x∈[－4,0)时，f(x)＝3－x，则f(985)等于( )
A．27 B．－27 C．9 D．－9
答案 B
解析 由f(x＋4)＝－f(x)得，
f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，
所以y＝f(x)是周期为8的周期函数，
所以f(985)＝f(123×8＋1)＝f(1)，
f(1)＝f(－3＋4)＝－f(－3)＝－33＝－27.
4．函数f(x)＝的部分图象大致为( )
答案 A
解析 由题意得f(－x)＝－＝－f(x)，
所以f(x)的图象关于原点对称，排除C，D；
当x>0时，f(x)>0，排除B.
5．已知偶函数y＝f(x)，当x∈(－1,0)时，f(x)＝2－x，若α，β为锐角三角形的两个内角，则( )
A．f(sin α)>f(sin β) B．f(sin α)>f(cos β)
C．f(cos α)>f(cos β) D．f(cos α)>f(sin β)
答案 B
解析 当x∈(－1,0)时，f(x)＝2－x为减函数，
又f(x)为偶函数，所以f(x)在(0,1)上为增函数，
又因为α＋β>，所以0<－β<α<，
所以0所以f(sin α)>f(cos β)．
6．已知函数f(x)满足f(x＋2)＝－，当f(1)＝2，且f(4)＝时，f(2 019)＋f(2 020)＝________.
答案 －
解析 由已知得f(x＋4)＝－＝f(x)，
所以函数f(x)是以4为周期的周期函数，
则f(2 019)＝f(3)＝f(1＋2)＝－＝－，
f(2 020)＝f(4)＝，所以f(2 019)＋f(2 020)＝－.
