(共33张PPT)
第三篇
[小题提速练]
第25练
基本初等函数、函数的应用
[明晰考情]
考查二次函数、分段函数、幂函数、指数函数、对数函数的图象与性质；以基本初等函数为载体考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理；尤其是对方程的根的个数判定考查的较多，并且常与函数的图象和性质结合起来考查，难度较大.
题组对点练
栏目索引
易错易混练
押题冲刺练
题组一 基本初等函数的图象与性质
要点重组 (1)指数函数的图象过定点(0,1)，对数函数的图象过定点(1,0).
(2)应用指数函数、对数函数的单调性，要注意底数的范围，底数不同的尽量化成相同的底数.
(3)解题时要注意把握函数的图象，利用图象研究函数的性质.
题组对点练
解析 因为ln
a＝ln
2·ln
3，ln
b＝ln
2·ln
3，
所以a＝b，
1.(2019·衡水中学调研)已知a＝3ln
2，b＝2ln
3，c＝
，则a，b，c的大小关系是
A.a
B.cC.cD.a＝b√
又c＝
＝2<2ln
3＝b，所以c√
3.若a，b，c均为正数，且4a＝7b＝14c，则
解析 令4a＝7b＝14c＝t，则a＝log4t，b＝log7t，c＝log14t，
√
若f(t)<1，由f(f(t))＝2f(t)，可知f(t)＝－1，
题组二 判断函数零点的个数或所在区间
要点重组 (1)函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的类型有：
①函数零点值大致所在区间的确定.
②零点个数的确定.
③两函数图象有几个交点或交点的横坐标的确定.
(2)判断函数零点个数的主要方法：
①解方程f(x)＝0，直接求零点.
②利用零点存在性定理.
③数形结合法：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常通过分解转化为两个能画出的函数图象交点的问题.
解析 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数.
√
∴
f(1)·f(2)<0，
6.设函数f(x)＝ln
x－2x＋6，则f(x)零点的个数为
A.3
B.2
C.1
D.0
解析 令f(x)＝0，
则ln
x＝2x－6，
令g(x)＝ln
x，h(x)＝2x－6(x>0)，
在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，如图所示，
由图象易知函数f(x)零点的个数为2.
√
A.0
B.1
C.2
D.3
√
解析 ∵f′(x)＝(ex－1)(x＋1)，
∴当－1当x<－1或x>0时，f′(x)>0，
∴f(x)在(－1,0)上单调递减，在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，
∴f(x)的极小值为f(0)＝2>0，即当x>－1时，函数f(x)无零点，
又f(－4)＝－4e－4－2<0，f(－1)>0，
∴当x<－1时，函数f(x)只有一个零点.
∴函数f(x)零点的个数为1.
8.已知函数f(x)满足：①定义域为R；② x∈R，都有f(x＋2)＝f(x)；③当x∈[－1,1]时，f(x)＝－|x|＋1，则方程f(x)＝
log2|x|在区间[－3,5]内解的个数是
A.5
B.6
C.7
D.8
解析 ∵ x∈R，都有f(x＋2)＝f(x)，
∴函数f(x)的周期为2，
√
题组三 根据函数的零点求参数的范围
要点重组 根据函数的零点求参数范围的基本方法
(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.
(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解.
(3)转化为两熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解.
A.(0,1]
B.[1，＋∞)
C.(0,1)∪(1,2)
D.(－∞，1)
√
且方程2x－a＝0在(－∞，0]上有一个解，
再根据当x∈(－∞，0]时，0<2x≤20＝1，可得0A.[－1,0)
B.[0，＋∞)
C.[－1，＋∞)
D.[1，＋∞)
√
解析 令h(x)＝－x－a，则g(x)＝f(x)－h(x).
在同一坐标系中画出y＝f(x)，y＝h(x)图象的示意图，如图所示.
若g(x)存在2个零点，则y＝f(x)的图象与y＝h(x)的图象有2个交点，
平移y＝h(x)的图象可知，当直线y＝－x－a过点(0,1)时，有2个交点，
此时1＝－0－a，a＝－1.
当y＝－x－a在y＝－x＋1上方，即a＜－1时，仅有1个交点，不符合题意；
当y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a＞－1时，有2个交点，符合题意.
综上，a的取值范围为[－1，＋∞).
A.a＜－1，b＜0
B.a＜－1，b＞0
C.a＞－1，b＜0
D.a＞－1，b＞0
√
因为对任意的x∈R，f(x)－ax－b＝0有3个不同的实数根，所以要使满足条件，
解析 函数g(x)＝f(x)－a有三个不同的零点，即方程f(x)－a＝0有三个不同的实数根，
作出y＝f(x)与y＝a的图象如图，
(1,2]
由图可知，要使函数g(x)＝f(x)－a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是(1,2].
A.(0,1]
B.[1,3)
C.(0,3)
D.(2,3)
易错易混练
解析 当x∈(0,1)时，f(x)＝loga＋1x为增函数，则a＋1>1，即a>0.
当x∈(1，＋∞)时，f(x)＝(3－a)x2－2x为增函数，
√
又当x＝1时，(3－a)－2≥loga＋11，
即3－a－2≥0，解得a≤1.
综上，实数a的取值范围为(0,1].
易错提醒 对于分段函数在某个区间内单调递增(或单调递减)，除了满足各段内的单调性之外，一定不要忘记分段函数在定义域内的单调性，本题中当x＝1时，3－a－2≥0，即a≤1.
2.如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0且a≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，则a的值为
√
解析 令ax＝t(t>0)，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.
所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3(负值舍去)；
易错提醒 与指数函数、对数函数有关的复合函数的性质，可使用换元法，在应用换元法解题时，一定要注意挖掘隐含条件，确定新元的取值范围.
押题冲刺练
1.已知命题p：函数y＝loga(x－1)＋1的图象恒过定点(2,2)；命题q：若函数y＝f(x－1)为偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称.则下列命题为真命题的是
A.p∨q
B.p∨(綈q)
C.(綈p)∧q
D.p∧q
解析 函数y＝loga(x－1)＋1的图象恒过定点(2,1)而不是(2,2)，所以命题p错；
函数y＝f(x－1)为偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－1对称，所以命题q错误，
故B正确.
√
1
2
3
4
5
6
2.函数y＝ln|x|－x2的图象大致为
解析 f(x)＝y＝ln|x|－x2，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f(－x)＝ln|－x|－(－x)2
＝ln|x|－x2＝f(x)，故函数y＝ln|x|－x2为偶函数，排除B，D；
√
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
3.设a＝log23，b＝log35，c＝log54，则
A.bc<2B.ab<2C.2D.bc<2√
解析 ac＝log23×log54＝log59<2，
ab＝log23×log35＝log25>2，
bc＝log35×log54＝log34<2，
所以bc<21
2
3
4
5
6
4.已知正实数x，y，z满足2x＝3y＝6z，给出下列不等式：
①x＋y>4z；②xy>4z2；③x>2z.
其中正确的个数是
A.0
B.1
C.2
D.3
√
1
2
3
4
5
6
解析 令2x＝3y＝6z＝k，则
所以x＋y>4z，故①正确；
对于③，2x＝6z>4z＝22z，故x>2z，故③正确.
5.函数f(x)＝|x－2|－ln
x在定义域内零点的个数为
A.0
B.1
C.2
D.3
解析 由题意得，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
由函数零点的定义，f(x)在(0，＋∞)内的零点即是方程|x－2|－ln
x＝0的根.
在同一坐标系中画出函数y＝|x－2|和y＝ln
x(x＞0)的图象如图所示.
√
由图得两函数图象有两个交点，
故方程有两个根，即对应函数有两个零点.
1
2
3
4
5
6
6.已知函数f(x)＝ex－1－e1－x＋4.若方程f(x)＝kx＋4－k(k>0)有三个不同的根x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3＝____.
解析 因为y＝ex－e－x为奇函数，而f(x)的图象可由函数y＝ex－e－x的图象向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到，
所以f(x)的图象关于点(1,4)对称，而y＝kx＋4－k＝k(x－1)＋4所表示的直线也关于点(1,4)对称，
所以方程f(x)＝kx＋4－k的三个根x1，x2，x3中有一个为1，且另外两个之和为2，
所以x1＋x2＋x3＝3.
1
2
3
4
5
6
3
第三篇
本课结束第25练 基本初等函数、函数的应用[小题提速练]
[明晰考情] 考查二次函数、分段函数、幂函数、指数函数、对数函数的图象与性质；以基本初等函数为载体考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理；尤其是对方程的根的个数判定考查的较多，并且常与函数的图象和性质结合起来考查，难度较大．
题组一 基本初等函数的图象与性质
要点重组 (1)指数函数的图象过定点(0,1)，对数函数的图象过定点(1,0)．
(2)应用指数函数、对数函数的单调性，要注意底数的范围，底数不同的尽量化成相同的底数．
(3)解题时要注意把握函数的图象，利用图象研究函数的性质．
1．(2019·衡水中学调研)已知a＝3ln
2，b＝2ln
3，c＝，则a，b，c的大小关系是( )
A．aB．cC．cD．a＝b答案 C
解析 因为ln
a＝ln
2·ln
3，ln
b＝ln
2·ln
3，
所以a＝b，又c＝＝2<2ln
3＝b，所以c2．(2019·浙江)在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝loga(a＞0，且a≠1)的图象可能是( )
答案 D
解析 若0＜a＜1，则函数y＝是增函数，y＝loga是减函数且其图象过点，结合选项可知，选项D可能成立；若a＞1，则y＝是减函数，而y＝loga是增函数且其图象过点，结合选项可知，没有符合的图象．
3．若a，b，c均为正数，且4a＝7b＝14c，则( )
A.－＝
B.－＝
C.－＝
D.－＝
答案 D
解析 令4a＝7b＝14c＝t，则a＝log4t，b＝log7t，c＝log14t，
所以＝2logt2，＝logt7，＝logt14，
所以－＝logt14－logt7＝logt2＝.
4．设函数f(x)＝则满足f(f(t))＝2f(t)的t的取值范围是____________________．
答案
解析 若f(t)≥1，显然成立，则有
或解得t≥－.
若f(t)<1，由f(f(t))＝2f(t)，可知f(t)＝－1，
所以t＋＝－1，解得t＝－3.
综上，实数t的取值范围是.
题组二 判断函数零点的个数或所在区间
要点重组 (1)函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的类型有：
①函数零点值大致所在区间的确定．
②零点个数的确定．
③两函数图象有几个交点或交点的横坐标的确定．
(2)判断函数零点个数的主要方法：
①解方程f(x)＝0，直接求零点．
②利用零点存在性定理．
③数形结合法：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常通过分解转化为两个能画出的函数图象交点的问题．
5．函数f(x)＝log2x－的零点所在的区间为( )
A.
B.
C．(1,2)
D．(2,3)
答案 C
解析 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数．
f(1)＝log21－＝0－1<0,
f(2)＝log22－＝1－＝>0，
∴
f(1)·f(2)<0，
∴函数f(x)＝log2x－的零点在区间(1,2)内．
6．设函数f(x)＝ln
x－2x＋6，则f(x)零点的个数为( )
A．3
B．2
C．1
D．0
答案 B
解析 令f(x)＝0，
则ln
x＝2x－6，
令g(x)＝ln
x，h(x)＝2x－6(x>0)，
在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，如图所示，
由图象易知函数f(x)零点的个数为2.
7．函数f(x)＝xex－x2－x＋2零点的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
答案 B
解析 ∵f′(x)＝(ex－1)(x＋1)，
∴当－1当x<－1或x>0时，f′(x)>0，
∴f(x)在(－1,0)上单调递减，在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，
∴f(x)的极小值为f(0)＝2>0，即当x>－1时，函数f(x)无零点，
又f(－4)＝－4e－4－2<0，f(－1)>0，
∴当x<－1时，函数f(x)只有一个零点．
∴函数f(x)零点的个数为1.
8．已知函数f(x)满足：①定义域为R；② x∈R，都有f(x＋2)＝f(x)；③当x∈[－1,1]时，f(x)＝－|x|＋1，则方程f(x)＝log2|x|在区间[－3,5]内解的个数是( )
A．5
B．6
C．7
D．8
答案 A
解析 ∵ x∈R，都有f(x＋2)＝f(x)，
∴函数f(x)的周期为2，
又y＝log2|x|的图象关于y轴对称，在同一坐标系内画出两函数图象如图所示，
由图可知，共有5个交点，故方程f(x)＝log2|x|在区间[－3,5]内解的个数为5.
题组三 根据函数的零点求参数的范围
要点重组 根据函数的零点求参数范围的基本方法
(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解．
(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．
(3)转化为两熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．
9．已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是( )
A．(0,1]
B．[1，＋∞)
C．(0,1)∪(1,2)
D．(－∞，1)
答案 A
解析 ∵函数f(x)＝(a∈R)在R上有两个零点，
∴x＝是函数f(x)的一个零点，
且方程2x－a＝0在(－∞，0]上有一个解，
再根据当x∈(－∞，0]时，0<2x≤20＝1，可得010．(2018·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是( )
A．[－1,0)
B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞)
D．[1，＋∞)
答案 C
解析 令h(x)＝－x－a，
则g(x)＝f(x)－h(x)．
在同一坐标系中画出y＝f(x)，y＝h(x)图象的示意图，如图所示．
若g(x)存在2个零点，则y＝f(x)的图象与y＝h(x)的图象有2个交点，平移y＝h(x)的图象可知，当直线y＝－x－a过点(0,1)时，有2个交点，
此时1＝－0－a，a＝－1.
当y＝－x－a在y＝－x＋1上方，即a＜－1时，仅有1个交点，不符合题意；
当y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a＞－1时，有2个交点，符合题意．
综上，a的取值范围为[－1，＋∞)．
11．(2019·浙江)设a，b∈R，函数f(x)＝若函数y＝f(x)－ax－b恰有3个零点，则( )
A．a＜－1，b＜0
B．a＜－1，b＞0
C．a＞－1，b＜0
D．a＞－1，b＞0
答案 C
解析 由题意可得，当x≥0时，f(x)－ax－b＝x3－(a＋1)x2－b，令f(x)－ax－b＝0，则b＝x3－(a＋1)x2＝x2[2x－3(a＋1)]．因为对任意的x∈R，f(x)－ax－b＝0有3个不同的实数根，所以要使满足条件，则当x≥0时，b＝x2[2x－3(a＋1)]必须有2个零点，所以＞0，解得a＞－1.所以b＜0.
12．(2019·南通模拟)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________．
答案 (1,2]
解析 函数g(x)＝f(x)－a有三个不同的零点，即方程f(x)－a＝0有三个不同的实数根，作出y＝f(x)与y＝a的图象如图，
由图可知，要使函数g(x)＝f(x)－a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是(1,2]．
1．已知f(x)＝是区间(0，＋∞)内的增函数，则实数a的取值范围为( )
A．(0,1]
B．[1,3)
C．(0,3)
D．(2,3)
答案 A
解析 当x∈(0,1)时，f(x)＝loga＋1x为增函数，
则a＋1>1，即a>0.
当x∈(1，＋∞)时，f(x)＝(3－a)x2－2x为增函数，
则解得a≤2.
又当x＝1时，(3－a)－2≥loga＋11，
即3－a－2≥0，解得a≤1.
综上，实数a的取值范围为(0,1]．
易错提醒 对于分段函数在某个区间内单调递增(或单调递减)，除了满足各段内的单调性之外，一定不要忘记分段函数在定义域内的单调性，本题中当x＝1时，3－a－2≥0，即a≤1.
2．如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0且a≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，则a的值为( )
A.
B．1
C．3
D.或3
答案 D
解析 令ax＝t(t>0)，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.
当a>1时，因为x∈[－1,1]，所以t∈，
又函数y＝(t＋1)2－2在上单调递增，
所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，
解得a＝3(负值舍去)；
当0所以t∈，
又函数y＝(t＋1)2－2在上单调递增，
则ymax＝2－2＝14，
解得a＝(负值舍去)．
综上知a＝3或a＝.
易错提醒 与指数函数、对数函数有关的复合函数的性质，可使用换元法，在应用换元法解题时，一定要注意挖掘隐含条件，确定新元的取值范围．
1．已知命题p：函数y＝loga(x－1)＋1的图象恒过定点(2,2)；命题q：若函数y＝f(x－1)为偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．则下列命题为真命题的是( )
A．p∨q
B．p∨(綈q)
C．(綈p)∧q
D．p∧q
答案 B
解析 函数y＝loga(x－1)＋1的图象恒过定点(2,1)而不是(2,2)，所以命题p错；
函数y＝f(x－1)为偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－1对称，所以命题q错误，故B正确．
2．函数y＝ln|x|－x2的图象大致为( )
答案 A
解析 f(x)＝y＝ln|x|－x2，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f(－x)＝ln|－x|－(－x)2＝ln|x|－x2＝f(x)，故函数y＝ln|x|－x2为偶函数，排除B，D；当x>0时，y＝ln
x－x2，则y′＝－2x，当x∈时，y′＝－2x>0，y＝ln
x－x2单调递增，排除C.
3．设a＝log23，b＝log35，c＝log54，则( )
A．bc<2B．ab<2C．2D．bc<2答案 D
解析 ac＝log23×log54＝log59<2，
ab＝log23×log35＝log25>2，
bc＝log35×log54＝log34<2，
所以bc<24．已知正实数x，y，z满足2x＝3y＝6z，给出下列不等式：
①x＋y>4z；②xy>4z2；③x>2z.
其中正确的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
答案 D
解析 令2x＝3y＝6z＝k，则＝2，＝3，＝6，
故·＝，即＋＝，
对于①，由＝＋得，
z＝<，
所以x＋y>4z，故①正确；
对于②，＝＋>2，
则xy>4z2，故②正确；
对于③，2x＝6z>4z＝22z，故x>2z，故③正确．
5．函数f(x)＝|x－2|－ln
x在定义域内零点的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
答案 C
解析 由题意得，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，由函数零点的定义，f(x)在(0，＋∞)内的零点即是方程|x－2|－ln
x＝0的根．
在同一坐标系中画出函数y＝|x－2|和y＝ln
x(x＞0)的图象如图所示．
由图得两函数图象有两个交点，
故方程有两个根，即对应函数有两个零点．
6．已知函数f(x)＝ex－1－e1－x＋4.若方程f(x)＝kx＋4－k(k>0)有三个不同的根x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3＝________.
答案 3
解析 因为y＝ex－e－x为奇函数，而f(x)的图象可由函数y＝ex－e－x的图象向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到，所以f(x)的图象关于点(1,4)对称，而y＝kx＋4－k＝k(x－1)＋4所表示的直线也关于点(1,4)对称，所以方程f(x)＝kx＋4－k的三个根x1，x2，x3中有一个为1，且另外两个之和为2，所以x1＋x2＋x3＝3.