第29练 坐标系与参数方程[选考保分练]
[明晰考情] 坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，考查的重点是直线与圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用．直线、圆、椭圆的参数方程与普通方程的互化及应用．全国卷以解答题的形式考查，难度中档．
题组一 极坐标方程及其应用
要点重组 (1)进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：x＝ρcos
θ，y＝ρsin
θ，ρ2＝x2＋y2，tan
θ＝(x≠0)，要注意ρ，θ的取值范围及其影响，灵活运用代入法和平方法等技巧．
(2)由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解．
1．(2019·全国Ⅱ)在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C：ρ＝4sin
θ上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.
(1)当θ0＝时，求ρ0及l的极坐标方程；
(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．
解 (1)因为M(ρ0，θ0)在C上，
当θ0＝时，ρ0＝4sin
＝2.
由已知得|OP|＝|OA|cos
＝2.
设Q(ρ，θ)为l上除P点外的任意一点，连接OQ，
在Rt△OPQ中，ρcos＝|OP|＝2.
经检验，点P在曲线ρcos＝2上．
所以，l的极坐标方程为ρcos＝2.
(2)设P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cos
θ＝4cos
θ，即ρ＝4cos
θ.
因为P在线段OM上，且AP⊥OM，故θ的取值范围是.
所以，P点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos
θ，θ∈.
2．在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求C1，C2的极坐标方程；
(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．
解 (1)因为x＝ρcos
θ，y＝ρsin
θ，
所以C1的极坐标方程为ρcos
θ＝－2，
C2的极坐标方程为ρ2－2ρcos
θ－4ρsin
θ＋4＝0.
(2)将θ＝代入ρ2－2ρcos
θ－4ρsin
θ＋4＝0，
得ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝.
故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝.
由于C2的半径为1，所以△C2MN为等腰直角三角形，
所以△C2MN的面积为.
题组二 参数方程及其应用
要点重组 (1)利用直线的参数方程中参数的几何意义求解问题
经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：
①t0＝；
②|PM|＝|t0|＝；
③|AB|＝|t2－t1|；
④|PA|·|PB|＝|t1·t2|.
(2)利用圆的参数方程(r>0，α为参数)和椭圆的参数方程(a>0，b>0，α为参数)，可以将解析几何问题转化为三角函数问题，常用来求最值或取值范围问题．
3．(2018·全国Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．
(1)求C和l的直角坐标方程；
(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．
解 (1)曲线C的直角坐标方程为＋＝1.
当cos
α≠0时，l的直角坐标方程为y＝tan
α·x＋2－tan
α，
当cos
α＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.
(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cos
α＋sin
α)t－8＝0.①
因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，
所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0.
又由①得t1＋t2＝－，故2cos
α＋sin
α＝0，于是直线l的斜率k＝tan
α＝－2.
4．(2019·齐鲁名校协作体调研)已知直线l的参数方程为(t为参数)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos.
(1)求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；
(2)设直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|.
解 (1)直线l：(t为参数)，消去t得4x＋3y－2＝0，
曲线C：ρ＝2cos＝2cos
θ＋2sin
θ，
又ρ＝
，ρcos
θ＝x，ρsin
θ＝y，ρ2＝2ρcos
θ＋2ρsin
θ，
故曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
(2)直线l的参数方程为(t为参数)，其标准的参数方程为(t′为参数)，
代入曲线C得t′2＋4t′＋3＝0，解得t1′＝－3，t2′＝－1，
由参数t′的几何意义知，|AB|＝|t1′－t2′|＝2.
题组三 极坐标方程与参数方程的综合应用
要点重组 (1)解决极坐标与参数方程的综合问题的关键是掌握极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化．涉及圆、圆锥曲线上的点的最值问题，往往通过参数方程引入三角函数，利用三角函数的最值求解．
(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．
5．(2019·全国Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcos
θ＋ρsin
θ＋11＝0.
(1)求C和l的直角坐标方程；
(2)求C上的点到l距离的最小值．
解 (1)因为－1<≤1，
且x2＋2＝2＋＝1，
所以C的直角坐标方程为x2＋＝1(x≠－1)．
l的直角坐标方程为2x＋y＋11＝0.
(2)由(1)可设C的参数方程为(α为参数，－π<α<π)．
C上的点到l的距离为
＝.
当α＝－时，4cos＋11取得最小值7，
故C上的点到l距离的最小值为.
6．(2019·临沂模拟)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C1：ρ＝2cos
θ，曲线C2：ρ＝cos.
(1)求C2的直角坐标方程；
(2)若直线l与曲线C1，C2分别相交于异于原点的点M，N，求|MN|的最大值．
解 (1)极坐标方程ρ＝cos可化为ρ＝cos
θ＋sin
θ，等价于ρ2＝ρcos
θ＋ρsin
θ，
将x＝ρcos
θ，y＝ρsin
θ，x2＋y2＝ρ2代入，
所以曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－x－y＝0.
(2)不妨设0≤α<π，点M，N的极坐标分别为(ρ1，α)，(ρ2，α)，
所以|MN|＝|ρ1－ρ2|＝
＝＝，
所以当α＝时，|MN|取得最大值.
典例 (10分)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l与椭圆C的极坐标方程分别为cos
θ＋2sin
θ＝0和ρ2＝.
(1)求直线l与椭圆C的直角坐标方程；
(2)若Q是椭圆C上的动点，求点Q到直线l距离的最大值．
审题路线图
(1)―→
(2)
规范解答·评分标准
解 (1)由cos
θ＋2sin
θ＝0，得ρcos
θ＋2ρsin
θ＝0，即x＋2y＝0，
所以直线l的直角坐标方程为x＋2y＝0.………………………………………………………2分
由ρ2＝，得ρ2cos2θ＋4ρ2sin2θ＝4，即x2＋4y2＝4，所以＋y2＝1.
所以椭圆C的直角坐标方程为＋y2＝1.……………………………………………………4分
(2)因为椭圆C：＋y2＝1的参数方程为(α为参数)，………………………6分
可设Q(2cos
α，sin
α)，
因此点Q到直线l：x＋2y＝0的距离
d＝＝，………………………………………………………8分
所以当α＝kπ＋，k∈Z时，d取得最大值.
故点Q到直线l的距离的最大值为.……………………………………………………10分
构建答题模板
[第一步] 互化：将极坐标方程与直角坐标方程互化．
[第二步] 引参：引进参数，建立椭圆的参数方程．
[第三步] 列式：利用距离公式表示出点到直线的距离．
[第四步] 求最值：利用三角函数求出距离的最值．
1．在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin
θ＋2acos
θ(a>0)；直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与曲线C分别交于M，N两点．
(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
(2)若点P的极坐标为(2，π)，|PM|＋|PN|＝5，求a的值．
解 (1)由ρ＝2sin
θ＋2acos
θ(a>0)，
得ρ2＝2ρsin
θ＋2aρcos
θ(a>0)，
所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝2y＋2ax，
即(x－a)2＋(y－1)2＝a2＋1，
直线l的普通方程为x－y＋2＝0.
(2)将直线l的参数方程代入x2＋y2＝2y＋2ax，并化简、整理，
得t2－(3＋a)t＋4a＋4＝0.
因为直线l与曲线C交于M，N两点，
所以Δ＝(3＋a)2－4(4a＋4)>0，解得a≠1.
由根与系数的关系，得t1＋t2＝3＋a，t1t2＝4a＋4.
因为点P的直角坐标为(－2,0)，在直线l上，
所以|PM|＋|PN|＝|t1＋t2|＝3＋a＝5，
解得a＝2，此时满足a>0，且a≠1，故a＝2.
2．已知曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cos
θ，以极点O为直角坐标原点，以极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy，将曲线C1向左平移2个单位长度，再将得到的曲线上的每一个点的横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变，得到曲线C2.
(1)求曲线C2的直角坐标方程；
(2)已知直线l的参数方程为(t为参数)，点Q为曲线C2上的动点，求点Q到直线l距离的最大值．
解 (1)由ρ＝4cos
θ得ρ2＝4ρcos
θ，
所以曲线C1的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4，
设曲线C1上任意一点(x，y)，变换后对应的点为(x′，y′)，
则
即
代入曲线C1的直角坐标方程为x2＋＝1.
(2)设Q(cos
θ，2sin
θ)，则Q到直线l：3x－2y－8＝0的距离d＝＝
，
当cos(θ＋α)＝－1时，d取得最大值，
所以点Q到直线l距离的最大值为.(共34张PPT)
第三篇
[选考保分练]
第29练
坐标系与参数方程
[明晰考情]
坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，考查的重点是直线与圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用.直线、圆、椭圆的参数方程与普通方程的互化及应用.全国卷以解答题的形式考查，难度中档.
题组对点练
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模板规范练
题组一 极坐标方程及其应用
题组对点练
要点重组 (1)进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：x＝ρcos
θ，y＝ρsin
θ，ρ2＝x2＋y2，tan
θ＝
(x≠0)，要注意ρ，θ的取值范围及其影响，灵活运用代入法和平方法等技巧.
(2)由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解.
1.(2019·全国Ⅱ)在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C：ρ＝4sin
θ上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.
解 因为M(ρ0，θ0)在C上，
设Q(ρ，θ)为l上除P点外的任意一点，
(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.
解 设P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cos
θ＝4cos
θ，即ρ＝4cos
θ.
2.在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求C1，C2的极坐标方程；
解 因为x＝ρcos
θ，y＝ρsin
θ，
所以C1的极坐标方程为ρcos
θ＝－2，
C2的极坐标方程为ρ2－2ρcos
θ－4ρsin
θ＋4＝0.
由于C2的半径为1，所以△C2MN为等腰直角三角形，
题组二 参数方程及其应用
要点重组 (1)利用直线的参数方程中参数的几何意义求解问题
(1)求C和l的直角坐标方程；
当cos
α≠0时，l的直角坐标方程为y＝tan
α·x＋2－tan
α，
当cos
α＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.
(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率.
解 将l的参数方程代入C的直角坐标方程，
整理得关于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cos
α＋sin
α)t－8＝0.
①
因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，
所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0.
故2cos
α＋sin
α＝0，于是直线l的斜率k＝tan
α＝－2.
(1)求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；
故曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
(2)设直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|.
代入曲线C得t′2＋4t′＋3＝0，解得t1′＝－3，t2′＝－1，
由参数t′的几何意义知，|AB|＝|t1′－t2′|＝2.
题组三 极坐标方程与参数方程的综合应用
要点重组 (1)解决极坐标与参数方程的综合问题的关键是掌握极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化.涉及圆、圆锥曲线上的点的最值问题，往往通过参数方程引入三角函数，利用三角函数的最值求解.
(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的.
(1)求C和l的直角坐标方程；
(2)求C上的点到l距离的最小值.
C上的点到l的距离为
(1)求C2的直角坐标方程；
将x＝ρcos
θ，y＝ρsin
θ，x2＋y2＝ρ2代入，
(2)若直线l与曲线C1，C2分别相交于异于原点的点M，N，求|MN|的最大值.
解 不妨设0≤α<π，点M，N的极坐标分别为(ρ1，α)，(ρ2，α)，
模板规范练
模板体验
(1)求直线l与椭圆C的直角坐标方程；
(2)若Q是椭圆C上的动点，求点Q到直线l距离的最大值.
审题路线图
规范解答·评分标准
解 (1)由cos
θ＋2sin
θ＝0，得ρcos
θ＋2ρsin
θ＝0，即x＋2y＝0，
所以直线l的直角坐标方程为x＋2y＝0.………………………………………………2分
可设Q(2cos
α，sin
α)，
构建答题模板
[第一步] 互化：将极坐标方程与直角坐标方程互化.
[第二步] 引参：引进参数，建立椭圆的参数方程.
[第三步] 列式：利用距离公式表示出点到直线的距离.
[第四步] 求最值：利用三角函数求出距离的最值.
规范演练
(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
解 由ρ＝2sin
θ＋2acos
θ(a>0)，
得ρ2＝2ρsin
θ＋2aρcos
θ(a>0)，
所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝2y＋2ax，
即(x－a)2＋(y－1)2＝a2＋1，
直线l的普通方程为x－y＋2＝0.
因为直线l与曲线C交于M，N两点，
因为点P的直角坐标为(－2,0)，在直线l上，
解得a＝2，此时满足a>0，且a≠1，故a＝2.
2.已知曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cos
θ，以极点O为直角坐标原点，以极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy，将曲线C1向左平移2个单位长度，再将得到的曲线上的每一个点的横坐标缩短为原来的
，纵坐标保持不变，得到曲线C2.
(1)求曲线C2的直角坐标方程；
解 由ρ＝4cos
θ得ρ2＝4ρcos
θ，
所以曲线C1的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4，
设曲线C1上任意一点(x，y)，变换后对应的点为(x′，y′)，
解 设Q(cos
θ，2sin
θ)，则Q到直线l：3x－2y－8＝0的距离
第三篇
本课结束
