第4练 走进数学文化
教育部考试中心函件《关于2017年普通高考考试大纲修订内容的通知》要求“增加中华优秀传统文化的考核内容，积极培育和践行社会主义核心价值观，充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用.比如，在数学中增加数学文化的内容”.近几年的高考题也证明的确有这样的题目，因此，我们特别策划了本专题，能够为广大师生二轮复习备考提供帮助.
题组一 算法、数列中的数学文化
方法技巧 (1)和算法结合的数学文化，要读懂程序框图，按程序框图依次执行．
(2)数学文化中蕴含的数列问题，要寻找数列前几项，寻找规律，抽象出数列模型．
1．(2019·齐鲁名校协作体)角谷猜想是日本著名学者角谷静夫提出的极简单规则：对任何一个正整数进行变换，最终会陷入“4－2－1”的死循环，如下程序框图示意了角谷猜想，则输出的i等于( )
A．6
B．7
C．8
D．5
答案 B
解析 由程序框图可知，角谷猜想为：正整数按照如下规则变化：若为偶数，则除以2，若为奇数，则3倍加1，如此循环，若干步后为1.则有：3→10→5→16→8→4→2→1，则输出的i＝7.
2．如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14,18，则输出的a为( )
A．4
B．2
C．0
D．14
答案 B
解析 由题意可知输出的a是18,14的最大公约数2.
3．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题的大意为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”则该问题中第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为( )
A.升
B.升
C.升
D.升
答案 A
解析 自上而下依次设各节容积为a1，a2，…，a9，
则即
得
所以a2＋a3＋a8＝＋＝(升)．
4．我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”上述问题中，两鼠在第几天相逢( )
A．3
B．4
C．5
D．6
答案 B
解析 由题意可知，大老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以2为公比的等比数列，
前n天打洞的距离之和为＝2n－1；
同理，小老鼠前n天打洞的距离之和为＝2－，
∴2n－1＋2－＝10，解得n∈(3,4)，取n＝4.
即两鼠在第4天相逢．
题组二 三角函数、几何中的数学文化
方法技巧 从题目叙述中分析蕴含的图形及数量关系，通过分析图形特征建立数学模型，转化为三角函数或几何问题．
5.如图是我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，直角三角形中较小的锐角为α，则tan
α等于( )
A.
B.
C．5
D.
答案 A
解析 由题意得，大正方形的边长为10，小正方形的边长为
2，∴2＝10cos
α－10sin
α，
∴cos
α－sin
α＝，
又α为锐角，易求得tan
α＝.
6．(2019·衡中同卷)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有仓，广三丈，袤四丈五尺，容粟一万斛．”翻译过来就是：有一个长方体的粮仓，宽三丈，长四丈五尺，可装粟一万斛，已知1斛粟的体积为2.7立方尺，一丈为十尺，则该粮仓的表面积为( )
A．28.5平方丈
B．57平方丈
C．29平方丈
D．58平方丈
答案 B
解析 长方体粮仓如图所示，以丈为单位，
则AD＝3，AB＝4.5，
又V＝10
000×2.7×10－3＝27，
所以AA1＝＝＝2.
故所求表面积S＝2×(3×4.5＋3×2＋2×4.5)＝57(平方丈)．
7．古希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三边长求三角形的面积．若三角形的三边分别为a，b，c，则其面积S＝，这里p＝.已知在△ABC中，BC＝6，AB＝2AC，则当△ABC的面积最大时，sin
A＝________.
答案
解析 设AC＝x，AB＝2x，则由海伦公式得
S＝
＝
＝
≤·＝12，
当且仅当x2－4＝36－x2，即x＝2，即AC＝2，AB＝4时不等式取等号．
所以△ABC的面积的最大值为12，此时由余弦定理得
cos
A＝＝，
故sin
A＝＝.
8．(2019·全国Ⅱ)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．
答案 26 －1
解析 依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后6个面都在正方体的表面上，且该半正多面体的表面由18个正方形，8个正三角形组成，因此题中的半正多面体共有26个面．注意到该半正多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形，设题中的半正多面体的棱长为x，则x＋x＋x＝1，解得x＝－1，故题中的半正多面体的棱长为－1.
题组三 概率、推理证明中的数学文化
方法技巧 (1)概率与数学文化的结合，特别是几何概型与数学文化的结合是常考的内容，关键是掌握几何概型的求解方法．
(2)推理证明与数学文化结合，要根据已知条件进行逻辑推理，得到相应的结论．
9．(2017·全国Ⅰ)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 不妨设正方形ABCD的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S正方形＝4.
由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S黑＝S白＝S圆＝，
所以由几何概型知，所求概率P＝＝＝.
10．(2019·潍坊模拟)七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，是由七块板组成的．而这七块板可拼成许多图形，例如：三角形、不规则多边形、各种人物、动物、建筑物．清陆以湉《冷庐杂识》写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．在18世纪，七巧板流传到了国外，至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部《七巧新谱》．若用七巧板拼成一只雄鸡，在雄鸡平面图形中随机取一点，则恰好取自雄鸡鸡尾(阴影部分)的概率为( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 设图(1)正方形的边长为2，则图6部分的面积为S6＝1×＝，
故阴影部分的概率为P＝＝.
11．(2019·全国100所名校示范卷)据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、侯、公，共五级．若给有巨大贡献的2人进行封侯，每个人被封的等级是等可能的，则两人不被封同一等级的概率为( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 由题意知，基本事件的总数有25种情形，两人被封同一等级的方法种数有5种情形，故所求事件的概率为1－＝.
12.我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1,2，…，9填入3×3的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15
(如图)．一般地，将连续的正整数1,2,3，…，
n2填入n×n的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n阶幻方．记n阶幻方的一条对角线上数的和为Nn
(如：在3阶幻方中，N3＝15)，则N10等于( )
A．1
020
B．1
010
C．510
D．505
答案 D
解析 n阶幻方共有n2个数，其和为1＋2＋…＋n2＝，
∵n阶幻方共有n行，∴每行的和为＝，
即Nn＝，
∴N10＝＝505.(共21张PPT)
第一篇
第4练
走进数学文化
教育部考试中心函件《关于2017年普通高考考试大纲修订内容的通知》要求“增加中华优秀传统文化的考核内容，积极培育和践行社会主义核心价值观，充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用.比如，在数学中增加数学文化的内容”.近几年的高考题也证明的确有这样的题目，因此，我们特别策划了本专题，能够为广大师生二轮复习备考提供帮助.
方法技巧 (1)和算法结合的数学文化，要读懂程序框图，按程序框图依次执行.
(2)数学文化中蕴含的数列问题，要寻找数列前几项，寻找规律，抽象出数列模型.
题组一 算法、数列中的数学文化
1.(2019·齐鲁名校协作体)角谷猜想是日本著名学者角谷静夫提出的极简单规则：对任何一个正整数进行变换，最终会陷入“4－2－1”的死循环，如右程序框图示意了角谷猜想，则输出的i等于
A.6
B.7
C.8
D.5
√
解析 由程序框图可知，角谷猜想为：正整数按照如下规则变化：
若为偶数，则除以2，若为奇数，则3倍加1，如此循环，若干步后为1.
则有：3→10→5→16→8→4→2→1，则输出的i＝7.
2.如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14,18，则输出的a为
A.4
B.2
C.0
D.14
√
解析 由题意可知输出的a是18,14的最大公约数2.
3.《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题的大意为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”则该问题中第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为
解析 自上而下依次设各节容积为a1，a2，…，a9，
√
4.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”上述问题中，两鼠在第几天相逢
A.3
B.4
C.5
D.6
解析 由题意可知，大老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以2为公比的等比数列，
√
即两鼠在第4天相逢.
方法技巧 从题目叙述中分析蕴含的图形及数量关系，通过分析图形特征建立数学模型，转化为三角函数或几何问题.
题组二 三角函数、几何中的数学文化
5.如图是我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，直角三角形中较小的锐角为α，则tan
α等于
解析 由题意得，大正方形的边长为10，小正方形的边长为
2，
∴2＝10cos
α－10sin
α，
√
6.(2019·衡中同卷)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有仓，广三丈，袤四丈五尺，容粟一万斛.”翻译过来就是：有一个长方体的粮仓，宽三丈，长四丈五尺，可装粟一万斛，已知1斛粟的体积为2.7立方尺，一丈为十尺，则该粮仓的表面积为
A.28.5平方丈
B.57平方丈
C.29平方丈
D.58平方丈
√
解析 长方体粮仓如图所示，以丈为单位，
则AD＝3，AB＝4.5，
又V＝10
000×2.7×10－3＝27，
故所求表面积S＝2×(3×4.5＋3×2＋2×4.5)＝57(平方丈).
解析 设AC＝x，AB＝2x，则由海伦公式得
所以△ABC的面积的最大值为12，此时由余弦定理得
8.(2019·全国Ⅱ)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有____个面，其棱长为________.
26
解析 依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后6个面都在正方体的表面上，且该半正多面体的表面由18个正方形，8个正三角形组成，
因此题中的半正多面体共有26个面.
注意到该半正多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形，
设题中的半正多面体的棱长为x，
方法技巧 (1)概率与数学文化的结合，特别是几何概型与数学文化的结合是常考的内容，关键是掌握几何概型的求解方法.
(2)推理证明与数学文化结合，要根据已知条件进行逻辑推理，得到相应的结论.
题组三 概率、推理证明中的数学文化
9.(2017·全国Ⅰ)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是
√
解析 不妨设正方形ABCD的边长为2，
则正方形内切圆的半径为1，可得S正方形＝4.
由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，
10.(2019·潍坊模拟)七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，是由七块板组成的.而这七块板可拼成许多图形，例如：三角形、不规则多边形、各种人物、动物、建筑物.清陆以湉《冷庐杂识》写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余.在18世纪，七巧板流传到了国外，至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部《七巧新谱》.若用七巧板拼成一只雄鸡，在雄鸡平面图形中随机取一点，则恰好取自雄鸡鸡尾(阴影部分)的概率为
√
11.(2019·全国100所名校示范卷)据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、侯、公，共五级.若给有巨大贡献的2人进行封侯，每个人被封的等级是等可能的，则两人不被封同一等级的概率为
√
解析 由题意知，基本事件的总数有25种情形，
两人被封同一等级的方法种数有5种情形，
12.我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1,2，…，9填入3×3的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15
(如图).一般地，将连续的正整数1,2,3，…，n2填入n×n的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n阶幻方.记n阶幻方的一条对角线上数的和为Nn
(如：在3阶幻方中，N3＝15)，则N10等于
A.1
020
B.1
010
C.510
D.505
√
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