课件35张PPT。第二篇 [小题提速练]第6练复数与平面向量[明晰考情]
1.复数的四则运算是高考每年必考点，属送分题.
2.以平面图形为背景，考查平面向量的线性运算、平面向量的数量积，难度为中低档.题组对点练栏目索引易错易混练押题冲刺练题组一 复数的四则运算及几何意义题组对点练√√A.1＋2i B.－1＋2i C.1－2i D.－1－2i√解析 ∵z＝i(2＋i)＝－1＋2i，4.(2019·衡水联考)复数z＝(－3－4i)i在复平面内对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限解析 复数z＝(－3－4i)i＝4－3i，对应的点为(4，－3)，位于第四象限.√题组二 平面向量的线性运算解析 作出示意图如图所示.√√解析 如图，连接OB，OC，则由B，A，C恰好为圆O上3个相邻的六等分点可得四边形ABOC是菱形，√解析 方法一 如图以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，∵M，N分别为BC，CD的中点，A.27 B.41 C.66 D.81√解析 设M为BC的中点，题组三 平面向量的数量积要点重组 平面向量的数量积的运算的两种形式
(1)依据模和夹角计算，要注意确定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不可求，可通过选择易求夹角和模的基底进行转化.
(2)利用坐标来计算，向量的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式，从而应用方程思想解决问题，化形为数，使向量问题数字化.9.(2019·全国Ⅱ)已知向量a＝(2,3)，b＝(3,2)，则|a－b|等于√解析 ∵a－b＝(2,3)－(3,2)＝(－1,1)，10.(2019·全国Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为解析 设a与b的夹角为α，∵(a－b)⊥b，∴(a－b)·b＝0，
∴a·b＝b2，∴|a|·|b|cos α＝|b|2，√√解析 方法一 以点D为坐标原点，BC所在的直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系(图略)，不妨设B(－a,0)，C(a,0)，A(b，c)，a>0，c>0，化简得4ab＝b2＋c2＋a2，由平面向量基本定理可得易错易混练√易错提醒 对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，a为实部，b为虚部，而实部、虚部都为实数，易错认为“bi”为虚部.2.已知向量a＝(1,2)，b＝(1,1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是
___________________.解析 a＋λb＝(1＋λ，2＋λ)，押题冲刺练√1234562.(2019·潍坊模拟)若复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝1＋i，则 等于
A.i B.－i C.1 D.－1解析 由题意知z2＝－1＋i，123456√1234563.(2019·聊城模拟)已知向量a＝(1,1)，2a＋b＝(4,3)，c＝(x，－2)，若b∥c，则x的值为
A.4 B.－4 C.2 D.－2解析 b＝(2,1)，所以2×(－2)－1×x＝0，解得x＝－4.√√1234565.设向量a＝(3,2)，b＝(1，－1)，若(a＋λb)⊥a，则实数λ＝______.解析 a＋λb＝(3＋λ，2－λ)，
∵(a＋λb)⊥a，∴(a＋λb)·a＝0，
即3(3＋λ)＋2(2－λ)＝0，解得λ＝－13.123456－131234566.(2019·全国100所名校示范卷)已知向量e1，e2满足|e1|＝1，|e2|＝2，若(e1－2e2)·(e1＋e2)＝－8，则向量e1与e2的夹角为____.解析 因为(e1－2e2)·(e1＋e2)＝－8，又因为|e1|＝1，|e2|＝2，
所以1－1×2cos〈e1，e2〉－2×22＝－8，第二篇 本课结束 第6练 复数与平面向量[小题提速练]
[明晰考情] 1.复数的四则运算是高考每年必考点，属送分题.2.以平面图形为背景，考查平面向量的线性运算、平面向量的数量积，难度为中低档．
题组一 复数的四则运算及几何意义
要点重组 (1)z＝a＋bi(a，b∈R)特别地，a＝0且b≠0时，z是纯虚数．
(2)z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数是＝a－bi.
(3)z＝a＋bi(a，b∈R)的模为|z|＝.
(4)复数除法的关键是分子分母同乘分母的共轭复数．
(5)z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b)．
(6)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝i2＝－1，i4n＋3＝i3＝－i.
1．(2019·全国Ⅰ)设z＝，则|z|等于( )
A．2 B. C. D．1
答案 C
解析 ∵z＝＝＝，
∴|z|＝＝.
2．(2019·临沂模拟)设z＝i3＋，则z的虚部是( )
A．－1 B．－i C．－2i D．－2
答案 D
解析 z＝－i＋＝－i－i＝－2i，则z的虚部是－2.
3．(2019·全国Ⅱ)设z＝i(2＋i)，则等于( )
A．1＋2i B．－1＋2i
C．1－2i D．－1－2i
答案 D
解析 ∵z＝i(2＋i)＝－1＋2i，∴＝－1－2i.
4．(2019·衡水联考)复数z＝(－3－4i)i在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 D
解析 复数z＝(－3－4i)i＝4－3i，对应的点为(4，－3)，位于第四象限．
题组二 平面向量的线性运算
要点重组 (1)已知O为平面上任意一点，则A，B，C三点共线的充要条件是存在s，t，使得＝s＋t，且s＋t＝1，s，t∈R.
(2)△ABC中，AD是BC边上的中线，则＝(＋)．
(3)△ABC中，O是△ABC内一点，若＋＋＝0，则O是△ABC的重心．
5．(2018·全国Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则等于( )
A.－ B.－
C.＋ D.＋
答案 A
解析 作出示意图如图所示．
＝＋＝＋
＝×(＋)＋(－)
＝－.
6．(2019·衡水押题卷)如图，B，A，C恰好为圆O上3个相邻的六等分点，AD为圆O的一条直径．若＝a，＝b，则等于( )
A.a－b
B．－a＋b
C．－a＋b
D．a－b
答案 C
解析 如图，连接OB，OC，则由B，A，C恰好为圆O上3个相邻的六等分点可得四边形ABOC是菱形，
所以＝＝＋，
即a＝＋b，所以＝a－b，
所以＝－a＋b.
7．如图，在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于( )
A．2 B.
C. D.
答案 D
解析 方法一 如图以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，
设正方形边长为1，＝，＝，＝(1,1)．
∵＝λ＋μ＝λ＋μ
＝，
∴解得故λ＋μ＝.
方法二 以，作为基底，
∵M，N分别为BC，CD的中点，
∴＝＋＝＋，
＝＋＝－，
∴＝λ＋μ＝＋，
又＝＋，
∴解得∴λ＋μ＝.
8．在△ABC中，G为△ABC的重心，过G点的直线分别交线段AB，AC于P，Q两点，且＝h，＝k，则16h＋25k的最小值为( )
A．27 B．41 C．66 D．81
答案 A
解析 设M为BC的中点，
则＝＝(＋)＝，
又P，G，Q三点共线，所以＋＝1，
所以16h＋25k＝(16h＋25k)
＝≥＝27，
当且仅当4h＝5k，即h＝，k＝时取等号．
题组三 平面向量的数量积
要点重组 平面向量的数量积的运算的两种形式
(1)依据模和夹角计算，要注意确定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不可求，可通过选择易求夹角和模的基底进行转化．
(2)利用坐标来计算，向量的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式，从而应用方程思想解决问题，化形为数，使向量问题数字化．
9．(2019·全国Ⅱ)已知向量a＝(2,3)，b＝(3,2)，则|a－b|等于( )
A. B．2 C．5 D．50
答案 A
解析 ∵a－b＝(2,3)－(3,2)＝(－1,1)，
∴|a－b|＝＝.
10．(2019·全国Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 设a与b的夹角为α，
∵(a－b)⊥b，∴(a－b)·b＝0，
∴a·b＝b2，∴|a|·|b|cos α＝|b|2，
又|a|＝2|b|，∴cos α＝，
∵α∈[0，π]，∴α＝，故选B.
11．(2019·衡水中学调研)已知△ABC的外接圆的圆心为O，且满足·＝0，若实数λ满足＋＝λ，则λ等于( )
A．± B．1 C．±1 D．－
答案 A
解析 由题意得||＝||＝||，＋＝λ，
两边平方得||2＋||2＋2·＝λ2||2，
又·＝0，即||2＋||2＝λ2||2，
所以λ2＝2，故λ＝±.
12．(2019·江苏)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O.若·＝6·，则的值是________．
答案
解析 方法一 以点D为坐标原点，BC所在的直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系(图略)，不妨设B(－a,0)，C(a,0)，A(b，c)，a>0，c>0，
由BE＝2EA得E，
则直线OA：y＝x，直线CE：(b－2a)y＝c(x－a)，
联立可得O，
则·＝(－a－b，－c)·(a－b，－c)＝b2＋c2－a2，
·＝·＝，
由·＝6·得b2＋c2－a2＝2(b2＋c2－2ab)，
化简得4ab＝b2＋c2＋a2，
则＝＝＝.
方法二 由A，O，D三点共线，可设＝λ，
则＝(＋)，
由E，O，C三点共线可设＝μ，
则－＝μ(－)，
则＝(1－μ)＋μ＝(1－μ)＋μ，
由平面向量基本定理可得
解得μ＝，λ＝，
则＝(＋)，＝－＝－，
则6·
＝6×(＋)·
＝
＝·，
化简得32＝2，则＝.
1．若复数z＝，则z的实部与虚部之积为( )
A．－ B. C.i D．－i
答案 B
解析 z＝＝＝＋i，则z的实部为，虚部为，所以实部与虚部的积为.
易错提醒 对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，a为实部，b为虚部，而实部、虚部都为实数，易错认为“bi”为虚部．
2．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是__________．
答案 ∪
解析 a＋λb＝(1＋λ，2＋λ)，
由a·(a＋λb)>0，可得λ>－.
又a与a＋λb不共线，∴λ≠0.
故λ>－且λ≠0.
易错提醒 注意向量夹角的定义和范围．在△ABC中，和的夹角为π－B；向量a与b的夹角为锐角要和a·b>0区别开来(不要忽视向量共线情况，两向量夹角为钝角类似处理)．本题易漏解λ≠0，错解为.
1．已知z(1＋2i)＝5i，则复数z的共轭复数在复平面内所对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 D
解析 z＝＝＝2＋i，
∴＝2－i，复数所对应的点为(2，－1)，在第四象限．
2．(2019·潍坊模拟)若复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝1＋i，则等于( )
A．i B．－i C．1 D．－1
答案 B
解析 由题意知z2＝－1＋i，则＝＝－i.
3．(2019·聊城模拟)已知向量a＝(1,1)，2a＋b＝(4,3)，c＝(x，－2)，若b∥c，则x的值为( )
A．4 B．－4 C．2 D．－2
答案 B
解析 b＝(2,1)，所以2×(－2)－1×x＝0，解得x＝－4.
4．已知在△ABC中，＝＝＝，若·＝8，·＝20，则||等于( )
A．8 B．16 C．8 D．12
答案 A
解析 依题意，·＝(＋2)·(－2)＝2－42＝8，·＝(＋)·(－)＝2－2＝20，则||＝2，所以||＝8.
5.如图，在△ABC中，N是AC边上一点，且＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为( )
A. B. C．1 D．3
答案 B
解析 ∵＝，
∴＝，
∴＝m＋＝m＋.
又B，N，P三点共线，
∴m＋＝1，
∴m＝.
6．(2019·全国100所名校示范卷)已知向量e1，e2满足|e1|＝1，|e2|＝2，若(e1－2e2)·(e1＋e2)＝－8，则向量e1与e2的夹角为________．
答案
解析 因为(e1－2e2)·(e1＋e2)＝－8，
所以e－e1e2－2e＝－8，
又因为|e1|＝1，|e2|＝2，
所以1－1×2cos〈e1，e2〉－2×22＝－8，
解得cos〈e1，e2〉＝，
所以向量e1与e2的夹角为.
