第7练 不等式与线性规划[小题提速练]
[明晰考情] 1.选择、填空题中的考查以简单的线性规划与不等式性质为主，重点求目标函数的最值，有时也与其他知识交汇考查.2.基本不等式求最值及应用在课标卷考试中是低频点，很少考查.3.不等式的解法多与集合、函数、解析几何、导数交汇考查．
题组一 不等式的性质及解法
要点重组 (1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或<0)(a≠0，Δ＝b2－4ac>0)，如果a与ax2＋bx＋c同号，则其解集在两根之外；如果a与ax2＋bx＋c异号，则其解集在两根之间．简言之：同号两根之外，异号两根之间．
(2)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是利用相关知识转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解．
(3)解含参数不等式要正确分类讨论．
1．(2019·衡中信息卷)已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，则下列不等式一定成立的是( )
A．ab>bc
B．acC．|ab|>|bc|
D.＋>0
答案 B
解析 因为a>b>c，且a＋b＋c＝0，所以a>0，c<0，当b＝0时，显然A，C错误；因为a>b，c<0，所以ac2．(2018·全国Ⅰ)设函数f(x)＝则满足f(x＋1)A．(－∞，－1]
B．(0，＋∞)
C．(－1,0)
D．(－∞，0)
答案 D
解析 方法一 ①当即x≤－1时，f(x＋1)即－(x＋1)<－2x，
解得x<1.
因此不等式的解集为(－∞，－1]．
②当时，不等式组无解．
③当即－1④当即x>0时，f(x＋1)＝1，f(2x)＝1，不合题意．
综上，不等式f(x＋1)方法二 ∵f(x)＝
∴函数f(x)的图象如图所示．
由图可知，当x＋1≤0且2x≤0时，函数f(x)为减函数，
故f(x＋1)2x.
此时x≤－1.
当2x<0且x＋1>0时，f(2x)>1，f(x＋1)＝1，
满足f(x＋1)此时－1综上，不等式f(x＋1)3．(2019·天津)设x∈R，使不等式3x2＋x－2＜0成立的x的取值范围为________．
答案
解析 3x2＋x－2＜0变形为(x＋1)(3x－2)＜0，解得－1＜x＜，
故使不等式成立的x的取值范围为.
4．已知函数f(x)＝若对任意的x∈R，不等式f(x)≤m2－m恒成立，则实数m的取值范围为____________．
答案 ∪[1，＋∞)
解析 由题意知，m2－m≥f(x)max.
当x>1时，f(x)＝是减函数，
∴f(x)当x≤1时，f(x)＝－x2＋x，其图象的对称轴方程是x＝，且开口向下，
∴f(x)max＝f ＝－＋＝.
∴f(x)在R上的最大值为.
∴m2－m≥，即4m2－3m－1≥0，
∴m≤－或m≥1.
题组二 基本不等式
要点重组 (1)基本不等式：≥，a>0，b>0；变形：ab≤2；
适用条件：一正二定三相等．
(2)拼凑法求解最值，其实质就是先通过代数式变形拼凑出和或积为常数的两项，然后利用基本不等式求解最值．
(3)常数代换法求解条件最值
常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和或积为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值．应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商．
5．设x>0，y>0，若xlg
2，lg
，ylg
2成等差数列，则＋的最小值为( )
A．8
B．9
C．12
D．16
答案 D
解析 ∵xlg
2，lg
，ylg
2成等差数列，
∴2lg
＝(x＋y)lg
2，∴x＋y＝1，
∴＋＝·(x＋y)＝10＋
≥10＋2＝10＋6＝16.
当且仅当x＝，y＝时取等号．
6．(2018·天津)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋的最小值为________．
答案
解析 ∵a－3b＋6＝0，∴a－3b＝－6，
∴2a＋＝2a＋2－3b≥2
＝2＝2＝2×2－3＝，
当且仅当即时取到等号，
故最小值为.
7．设x>0，则y＝x＋－的最小值为________．
答案 0
解析 y＝x＋－＝＋－2
≥2－2＝0，
当且仅当x＝时取等号，
所以y＝x＋－的最小值为0.
8．(2019·天津)设x＞0，y＞0，x＋2y＝4，则的最小值为________．
答案
解析 ＝
＝＝2＋.
∵x＞0，y＞0且x＋2y＝4，
∴4≥2(当且仅当x＝2，y＝1时取等号)，
∴2xy≤4，∴≥，
∴2＋≥2＋＝.
题组三 简单的线性规划问题
要点重组 (1)截距型：形如z＝ax＋by，求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值．
(2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则z＝|PM|2.
(3)斜率型：形如z＝，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则z＝kPM.
9．(2019·浙江)若实数x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最大值是( )
A．－1
B．1
C．10
D．12
答案 C
解析 作出可行域如图中阴影部分(含边界)所示，数形结合可知，当直线z＝3x＋2y过点A(2,2)时，z取得最大值，zmax＝6＋4＝10.
10．(2019·衡中信息卷)已知实数x，y满足约束条件若z＝3x－2y的最大值为3，则m等于( )
A．1
B．2
C．3
D．4
答案 B
解析 如图，由z＝3x－2y得y＝x－z，
当截距－最小时，z取最大值．
此时最优解为C，
故3×－2×＝3，
解得m＝2.
11．记不等式组表示的平面区域为D，不等式(x－1)2＋(y＋1)2≤1表示的平面区域为Ω，若点P∈D，Q∈Ω，则P，Q两点间距离的最大值为( )
A．4
B.
C．3
D.＋1
答案 B
解析 分别作出平面区域D和Ω，如图所示．
由图可知P，Q两点间距离的最大值为点P到圆心E的最大值与圆的半径之和．
由得C.
由得A.
又E(1，－1)，所以|AE|＝，|CE|＝，
又|AE|>|CE|，
∴P，Q两点间距离的最大值为|AE|＋1＝.
12．(2019·全国Ⅱ)若变量x，y满足约束条件则z＝3x－y的最大值是________．
答案 9
解析 作出已知约束条件对应的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，
由图易知，当直线y＝3x－z过点C时，－z最小，即z最大．
由解得
即C点坐标为(3,0)，
故zmax＝3×3－0＝9.
1．已知集合A＝{y|y＝ln(x－1)}，B＝，则A∩( RB)等于( )
A．R
B．(1，＋∞)
C．[－2，＋∞)
D．(－2,2]
答案 D
解析 因为y＝ln(x－1)的值域为R，所以A＝R.
又≥1，即≥0，解得x≤－2或x>2.
∴B＝{x|x≤－2或x>2}．
∴ RB＝(－2,2]，∴A∩( RB)＝(－2,2]．
易错提醒 (1)因为集合A的代表元素是y，所以集合A表示函数y＝ln(x－1)的值域．因为集合B的代表元素是x，所以集合B表示分式不等式≥1的解集，此时易误将≥1变形为2x≥x－2.
(2)若分式的分母中含有未知数，切记分母不能为0，否则容易产生错解．
2．函数y＝ax＋1－3(a>0，a≠1)过定点A，若点A在直线mx＋ny＝－2(m>0，n>0)上，则＋的最小值为( )
A．3
B．2
C.
D.
答案 C
解析 函数y＝ax＋1－3过定点A(－1，－2)，
又点A在直线mx＋ny＝－2(m>0，n>0)上，
所以－m－2n＝－2，即＋n＝1，
所以＋＝
＝＋
≥＋2＝，
当且仅当＝，即m＝2－2，n＝2－时取等号．
易错提醒 应用基本不等式求最值时必须遵循“一正、二定、三相等”的要求．本题中求出＋n＝1后，若采用两次基本不等式，易错选B.
1．若logm2A．mB．1C．nD．1答案 C
解析 ∵logm2∴lg
nm<0，∴n2．已知函数f(x)＝则不等式|f(x)|≥1的解集为( )
A.
B．(－∞，0)∪[2，＋∞)
C.∪[2，＋∞)
D.∪[2，＋∞)
答案 D
解析 画出|f(x)|的图象，如图所示，
由图可知|f(x)|≥1的解集为∪[2，＋∞)．
3．已知log2(a－2)＋log2(b－1)≥1，则2a＋b取到最小值时ab等于( )
A．3
B．4
C．6
D．9
答案 D
解析 由log2(a－2)＋log2(b－1)≥1，
得(a－2)(b－1)≥2，即a＋2b≤ab，
又a>2，b>1，
∴同除以ab得＋≤1，
∴2a＋b≥(2a＋b)＝
≥5＋4＝9，
当且仅当＝，即a＝b＝3时取等号．
∴ab＝9.
4．(2019·全国100所名校示范卷)设x，y满足约束条件则z＝2y－x的最小值为________．
答案 1
解析 由不等式组画出可行域，如图阴影部分(含边界)所示．
目标函数z＝2y－x取得最小值 直线y＝x＋(z看作常数)的截距最小，由图可得，直线z＝2y－x过点A时z取得最小值，由得点A(－1,0)，
所以zmin＝2×0－(－1)＝1.
5．设实数x，y满足约束条件则z＝的最大值是________．
答案 1
解析 满足约束条件的可行域如图阴影部分(包括边界)所示．
z＝表示可行域内的点(x，y)与(0,0)连线的斜率，
由图可知，最大值为kOA＝＝1.
6．已知直线ax－2by＝2(a>0，b>0)过圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0的圆心，则＋的最小值为________．
答案
解析 圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0的圆心坐标为(2，－1)．
由于直线ax－2by＝2(a>0，b>0)过圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0的圆心，故有a＋b＝1.
所以＋＝·(a＋2＋b＋1)
＝≥＋×2＝，
当且仅当a＝2b，即a＝，b＝时，取等号，故＋的最小值为.(共36张PPT)
第二篇
[小题提速练]
第7练
不等式与线性规划
[明晰考情]
1.选择、填空题中的考查以简单的线性规划与不等式性质为主，重点求目标函数的最值，有时也与其他知识交汇考查.
2.基本不等式求最值及应用在课标卷考试中是低频点，很少考查.
3.不等式的解法多与集合、函数、解析几何、导数交汇考查.
题组对点练
栏目索引
易错易混练
押题冲刺练
题组一 不等式的性质及解法
要点重组 (1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或<0)(a≠0，Δ＝b2－4ac>0)，如果a与ax2＋bx＋c同号，则其解集在两根之外；如果a与ax2＋bx＋c异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.
(2)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是利用相关知识转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解.
(3)解含参数不等式要正确分类讨论.
题组对点练
1.(2019·衡中信息卷)已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，则下列不等式一定成立的是
A.ab>bc
B.ac解析 因为a>b>c，且a＋b＋c＝0，所以a>0，c<0，当b＝0时，显然A，C错误；
因为a>b，c<0，所以ac当a＝2，c＝－1时，显然D错误.
√
A.(－∞，－1]
B.(0，＋∞)
C.(－1,0)
D.(－∞，0)
√
即－(x＋1)<－2x，解得x<1.
因此不等式的解集为(－∞，－1].
因此不等式的解集为(－1,0).
综上，不等式f(x＋1)∴函数f(x)的图象如图所示.
由图可知，当x＋1≤0且2x≤0时，函数f(x)为减函数，
故f(x＋1)2x.
此时x≤－1.
当2x<0且x＋1>0时，f(2x)>1，f(x＋1)＝1，
满足f(x＋1)此时－1综上，不等式f(x＋1)3.(2019·天津)设x∈R，使不等式3x2＋x－2＜0成立的x的取值范围为________.
4.已知函数
若对任意的x∈R，不等式f(x)≤m2－
m恒成立，则
实数m的取值范围为______________________.
当x>1时，f(x)＝
是减函数，
∴f(x)题组二 基本不等式
适用条件：一正二定三相等.
(2)拼凑法求解最值，其实质就是先通过代数式变形拼凑出和或积为常数的两项，然后利用基本不等式求解最值.
(3)常数代换法求解条件最值
常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和或积为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值.应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商.
A.8
B.9
C.12
D.16
√
解析 ∵a－3b＋6＝0，∴a－3b＝－6，
0
∵x＞0，y＞0且x＋2y＝4，
题组三 简单的线性规划问题
(2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则z＝|PM|2.
A.－1
B.1
C.10
D.12
解析 作出可行域如图中阴影部分(含边界)所示，
√
数形结合可知，当直线z＝3x＋2y过点A(2,2)时，z取得最大值，zmax＝6＋4＝10.
A.1
B.2
C.3
D.4
√
解得m＝2.
√
解析 分别作出平面区域D和Ω，如图所示.
由图可知P，Q两点间距离的最大值为点P到圆心E的最大值与圆的半径之和.
又|AE|>|CE|，
9
解析 作出已知约束条件对应的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，
由图易知，当直线y＝3x－z过点C时，－z最小，即z最大.
即C点坐标为(3,0)，
故zmax＝3×3－0＝9.
A.R
B.(1，＋∞)
C.[－2，＋∞)
D.(－2,2]
易错易混练
解析 因为y＝ln(x－1)的值域为R，所以A＝R.
√
解得x≤－2或x>2.
∴B＝{x|x≤－2或x>2}.
∴ RB＝(－2,2]，
∴A∩( RB)＝(－2,2].
(2)若分式的分母中含有未知数，切记分母不能为0，否则容易产生错解.
√
解析 函数y＝ax＋1－3过定点A(－1，－2)，
又点A在直线mx＋ny＝－2(m>0，n>0)上，
易错提醒 应用基本不等式求最值时必须遵循“一正、二定、三相等”的要求.本题中求出
＋n＝1后，若采用两次基本不等式，易错选B.
押题冲刺练
1.若logm2A.mB.1C.nD.1√
1
2
3
4
5
6
∴lg
nm<0，∴n解析 画出|f(x)|的图象，如图所示，
√
1
2
3
4
5
6
3.已知log2(a－2)＋log2(b－1)≥1，则2a＋b取到最小值时ab等于
A.3
B.4
C.6
D.9
解析 由log2(a－2)＋log2(b－1)≥1，
得(a－2)(b－1)≥2，即a＋2b≤ab，
又a>2，b>1，
√
1
2
3
4
5
6
∴ab＝9.
1
解析 由不等式组画出可行域，如图阴影部分(含边界)所示.
由图可得，直线z＝2y－x过点A时z取得最小值，
所以zmin＝2×0－(－1)＝1.
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
1
1
2
3
4
5
6
解析 圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0的圆心坐标为(2，－1).
由于直线ax－2by＝2(a>0，b>0)过圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0的圆心，故有a＋b＝1.
第二篇
本课结束
