课件32张PPT。第三篇 [小题提速练]第12练数 列[明晰考情]
等差数列、等比数列基本量的计算、数列的通项与求和是高考的热点，常以小题形式出现，难度为中档偏下.题组对点练栏目索引易错易混练押题冲刺练题组一 等差数列、等比数列基本量的运算要点重组 (1)在等差数列中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.题组对点练(3)在等差数列{an}中，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等差数列.
(4)在等比数列中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq.
(5)在等比数列中，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列(n为偶数且q＝－1除外).1.(2018·全国Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5等于
A.－12 B.－10 C.10 D.12解析 设等差数列{an}的公差为d，由3S3＝S2＋S4，√将a1＝2代入上式，解得d＝－3，
故a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4×(－3)＝－10.2.(2019·衡水调研卷)已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，其中a2，a5，a14成等比数列，且log2a1＝0，则S2 020等于
A.2 017×2 018 B.2 018×2 019
C.2 0172 D.2 0202解析 设等差数列{an}的公差为d，
由log2a1＝0得a1＝1.√即(1＋4d)2＝(1＋d)(1＋13d)，整理得，d2＝2d.
又d≠0，所以d＝2，3.(2019·潍坊模拟)在等比数列{an}中，a1＝1，a5＝8a2，Sn为{an}的前n项和，若Sn＝1 023，则n＝______.解析 设等比数列的公比为q，10即2n＝1 024，解得n＝10.解析 由题意得数列{an}是等差数列，要点重组 (1)已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常利用累加法、累乘法、构造法求解.题组二 数列的通项与求和√6.(2018·全国Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn＝2an＋1，则S6＝_____.解析 ∵Sn＝2an＋1，当n≥2时，Sn－1＝2an－1＋1，
∴an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，
即an＝2an－1(n≥2).
当n＝1时，a1＝S1＝2a1＋1，得a1＝－1.
∴数列{an}是首项a1＝－1，公比q＝2的等比数列，－63∴S6＝1－26＝－63.解析 依题意得，16所以当n≥2时，所以当n≥2时，an＝2n－1，故a5＝16.解析 ∵a1·2a2·3a3·…·nan＝2n， ①
∴a1·2a2·3a3·…·(n－1)an－1＝2n－1，n≥2， ②8.(2019·潍坊模拟)设数列{an}满足a1·2a2·3a3·…·nan＝2n，则an＝____.题组三 数列的综合应用要点重组 (1)以函数为背景的数列问题，可以利用函数的性质来确定数列的通项an与前n项和Sn的关系.
(2)和不等式有关的数列问题，可以利用不等式的性质、基本不等式、函数的单调性等求最值来解决.√当n≥4时，k≤3n，所以k≤12，
当n＝1时，k≥3，
当n＝2时，k≥6，
以上三个同时成立，故取交集6≤k≤12.解析 因为f(x)＝x2＋ax，所以f′(x)＝2x＋a，
又函数f(x)＝x2＋ax的图象在点A(0，f(0))处的切线l与直线2x－y＋2＝0平行，
所以f′(0)＝a＝2，所以f(x)＝x2＋2x，√11.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，满足a2＋a8＝6，S5＝－5，则Sn的最小值为_____.－9∴当n＝3时，Sn的最小值为－9.解析 令m＝1，得an＋1＝an＋1，
所以{an}是首项为1，公差为1的等差数列，所以－t≤3，即t≥－3，易错易混练1.在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋S1)都成立，则S20等于
A.380 B.381 C.400 D.441解析 当n≥2时，Sn＋1－Sn＝Sn－Sn－1＋2，
∴an＋1＝an＋2，n≥2，∴an＋1－an＝2，n≥2，
∴数列{an}从第二项开始组成公差为2的等差数列，√解析 由题意，得a2－a1＝2，
a3－a2＝4，…，an－an－1＝2(n－1)，n≥2，
累加整理可得an＝n2－n＋33，n≥2，押题冲刺练1.已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S10＝100，则a7的值为
A.11 B.12 C.13 D.14√123456∴a7＝a1＋(7－1)d＝1＋6×2＝13.A.2 B.－2 C.1 D.－1123456√即an＝－an－1，∴{an}是公比为－1的等比数列，
又a1＝2，∴a5＝2·(－1)4＝2.3.设{an}为等差数列，a1＝22，Sn为其前n项和，若S10＝S13，则公差d等于
A.－2 B.－1 C.1 D.2解析 由S10＝S13得S13－S10＝a11＋a12＋a13＝3a12＝0，
∴a12－a1＝11d＝0－22，
∴d＝－2.√123456123456√解析 由a7＝a6＋2a5，得a1q6＝a1q5＋2a1q4，
整理得q2－q－2＝0，
解得q＝2或q＝－1(不合题意，舍去)，1234561234565.各项均为正数的等比数列{an}的首项为1，其前n项和为Sn，且a2＋S3＝16，则a4＝_____.27解析 设等比数列{an}的公比为q，
由a2＋S3＝16，得q2＋2q－15＝0，
解得q＝3(负值舍去)，
所以a4＝a1·q3＝33＝27.1234566.在数列{an}中，对任意的正整数n都有(an·an＋1)2＝1，那么当a1＝2时，数列{an}的前2 020项和的最大值和最小值的差为________.5 046123456解析 由题意知，当a1＝2时，若数列{an}的前2 020项的和取最大值，若数列{an}的前2 020项的和取最小值，那么数列{an}的前2 020项和的最大值和最小值的差为2 525－(－2 521)＝5 046.第三篇 本课结束 第12练 数 列[小题提速练]
[明晰考情] 等差数列、等比数列基本量的计算、数列的通项与求和是高考的热点，常以小题形式出现，难度为中档偏下．
题组一 等差数列、等比数列基本量的运算
要点重组 (1)在等差数列中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.
(2)若{an}是等差数列，则也是等差数列．
(3)在等差数列{an}中，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等差数列．
(4)在等比数列中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq.
(5)在等比数列中，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列(n为偶数且q＝－1除外)．
1．(2018·全国Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5等于( )
A．－12 B．－10
C．10 D．12
答案 B
解析 设等差数列{an}的公差为d，由3S3＝S2＋S4，
得3＝2a1＋×d＋4a1＋×d，
将a1＝2代入上式，解得d＝－3，
故a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4×(－3)＝－10.
2．(2019·衡水调研卷)已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，其中a2，a5，a14成等比数列，且log2a1＝0，则S2 020等于( )
A．2 017×2 018 B．2 018×2 019
C．2 0172 D．2 0202
答案 D
解析 设等差数列{an}的公差为d，
由log2a1＝0得a1＝1.
又因为a2，a5，a14成等比数列，
所以a＝a2a14.
即(1＋4d)2＝(1＋d)(1＋13d)，
整理得，d2＝2d.
又d≠0，所以d＝2，
所以S2 020＝2 020×1＋×2＝2 0202.
3．(2019·潍坊模拟)在等比数列{an}中，a1＝1，a5＝8a2，Sn为{an}的前n项和，若Sn＝1 023，则n＝________.
答案 10
解析 设等比数列的公比为q，
由a5＝8a2知＝q3＝8，∴q＝2.
又Sn＝＝＝1 023，
即2n＝1 024，解得n＝10.
4．(2019·衡水信息卷)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2an＝an＋1＋an－1(n≥2，n∈N*)，若a4＋a5＋a6＋a7＝，则tan S10＝________.
答案
解析 由题意得数列{an}是等差数列，
又a4＋a5＋a6＋a7＝2(a5＋a6)＝，
∴a5＋a6＝，
∴S10＝＝5(a5＋a6)＝.
∴tan S10＝tan ＝tan ＝tan ＝.
题组二 数列的通项与求和
要点重组 (1)已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常利用累加法、累乘法、构造法求解．
(2)利用an＝求通项时，要注意检验n＝1的情况．
5．数列{an}满足a1＝0，－＝1(n≥2，n∈N*)，则a2 020等于( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 ∵数列{an}满足a1＝0，∴＝1，
又－＝1(n≥2，n∈N*)，
∴数列是首项为1，公差为1的等差数列，
∴＝1＋(n－1)＝n，
∴＝2 020，解得a2 020＝.
6．(2018·全国Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则S6＝________.
答案 －63
解析 ∵Sn＝2an＋1，当n≥2时，Sn－1＝2an－1＋1，
∴an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，
即an＝2an－1(n≥2)．
当n＝1时，a1＝S1＝2a1＋1，得a1＝－1.
∴数列{an}是首项a1＝－1，公比q＝2的等比数列，
∴Sn＝＝＝1－2n，
∴S6＝1－26＝－63.
7．(2019·衡水联考)已知数列{an}，若数列{3n－1an}的前n项和Tn＝×6n－，则a5的值为________．
答案 16
解析 依题意得，
a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝×6n－.
所以当n≥2时，
a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝×6n－1－，
两式相减得3n－1an＝×6n－×6n－1＝6n－1.
所以当n≥2时，an＝2n－1，故a5＝16.
8．(2019·潍坊模拟)设数列{an}满足a1·2a2·3a3·…·nan＝2n，则an＝________.
答案
解析 ∵a1·2a2·3a3·…·nan＝2n，①
∴a1·2a2·3a3·…·(n－1)an－1＝2n－1，n≥2，②
①÷②得nan＝2，n≥2，∴an＝，n≥2，
当n＝1时，a1＝2也满足上式，∴an＝.
题组三 数列的综合应用
要点重组 (1)以函数为背景的数列问题，可以利用函数的性质来确定数列的通项an与前n项和Sn的关系．
(2)和不等式有关的数列问题，可以利用不等式的性质、基本不等式、函数的单调性等求最值来解决．
9．已知数列an的通项公式an＝n＋，若对任意的n∈N*，都有an≥a3，则实数k的取值范围为( )
A．[6,12] B．(6,12) C．[5,12] D．(5,12)
答案 A
解析 n＋≥3＋对任意的n∈N*恒成立，则k≥3－n，≥3－n，
当n≥4时，k≤3n，所以k≤12，
当n＝1时，k≥3，
当n＝2时，k≥6，
以上三个同时成立，故取交集6≤k≤12.
10．已知函数f(x)＝x2＋ax的图象在点A(0，f(0))处的切线l与直线2x－y＋2＝0平行，若数列的前n项和为Sn，则S20的值为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 因为f(x)＝x2＋ax，所以f′(x)＝2x＋a，又函数f(x)＝x2＋ax的图象在点A(0，f(0))处的切线l与直线2x－y＋2＝0平行，所以f′(0)＝a＝2，所以f(x)＝x2＋2x，
所以＝＝，
所以S20＝
＝×＝.
11．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，满足a2＋a8＝6，S5＝－5，则Sn的最小值为________．
答案 －9
解析 依题意得解得
∴Sn＝－5n＋×2＝n2－6n，
∴当n＝3时，Sn的最小值为－9.
12．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，对?m，n∈N*，均有am＋n＝am＋an.若不等式(－1)kt
答案
解析 令m＝1，得an＋1＝an＋1，
所以{an}是首项为1，公差为1的等差数列，
所以an＝n，则Sn＝.
当k为偶数时，原不等式化为t<3－，
当k＝2时，3－取得最小值，所以t<；
当k为奇数时，原不等式化为－t<3＋，
所以－t≤3，即t≥－3，
综上，实数t的取值范围是.
1．在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋S1)都成立，则S20等于( )
A．380 B．381 C．400 D．441
答案 B
解析 当n≥2时，Sn＋1－Sn＝Sn－Sn－1＋2，
∴an＋1＝an＋2，n≥2，
∴an＋1－an＝2，n≥2，
∴数列{an}从第二项开始组成公差为2的等差数列，
∴S20＝a1＋(a2＋…＋a20)＝1＋×19＝381.
易错提醒 式子Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋S1)成立的条件是n≥2，推出an＋1－an＝2成立的条件也是n≥2，数列{an}从第二项开始组成公差为2的等差数列，若忽视了n≥2，误认为数列{an}是等差数列，则会得到错误答案：S20＝20＋×2＝400.
2．已知数列{an}满足a1＝33，an＋1－an＝2n，则的最小值为________．
答案
解析 由题意，得a2－a1＝2，
a3－a2＝4，…，an－an－1＝2(n－1)，n≥2，
累加整理可得an＝n2－n＋33，n≥2，
当n＝1时，a1＝33也满足上式，
∴＝n＋－1(n∈N*)．
由函数f(x)＝x＋－1(x>0)的单调性可知，
的最小值为f(5)与f(6)中较小的一个．
又f(6)＝，f(5)＝，∴min＝.
易错提醒 有的同学推出＝n＋－1后直接利用基本不等式求解，即≥2－1，忽视了利用基本不等式求最值的条件：一正、二定、三相等．
1．已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S10＝100，则a7的值为( )
A．11 B．12 C．13 D．14
答案 C
解析 由S10＝10a1＋×2＝100得a1＝1，∴a7＝a1＋(7－1)d＝1＋6×2＝13.
2．设Sn为数列{an}的前n项和，若Sn＝an＋1，则a5等于( )
A．2 B．－2 C．1 D．－1
答案 A
解析 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an＋1－an－1－1，
即an＝－an－1，∴{an}是公比为－1的等比数列，
又a1＝2，∴a5＝2·(－1)4＝2.
3．设{an}为等差数列，a1＝22，Sn为其前n项和，若S10＝S13，则公差d等于( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
答案 A
解析 由S10＝S13得S13－S10＝a11＋a12＋a13＝3a12＝0，∴a12－a1＝11d＝0－22，∴d＝－2.
4．已知各项都为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，存在两项am，an使得 ＝4a1，则＋的最小值为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 由a7＝a6＋2a5，得a1q6＝a1q5＋2a1q4，
整理得q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(不合题意，舍去)，
又由＝4a1，得aman＝16a，
即a2m＋n－2＝16a，即有m＋n－2＝4，
亦即m＋n＝6，那么＋＝(m＋n)
＝≥＝，
当且仅当＝，即n＝2m＝4时取等号．
5．各项均为正数的等比数列{an}的首项为1，其前n项和为Sn，且a2＋S3＝16，则a4＝________.
答案 27
解析 设等比数列{an}的公比为q，
由a2＋S3＝16，得q2＋2q－15＝0，
解得q＝3(负值舍去)，
所以a4＝a1·q3＝33＝27.
6．在数列{an}中，对任意的正整数n都有(an·an＋1)2＝1，那么当a1＝2时，数列{an}的前2 020项和的最大值和最小值的差为________．
答案 5 046
解析 由题意知，当a1＝2时，若数列{an}的前2 020项的和取最大值，那么数列{an}的偶数项都为，奇数项都为2，那么前2 020项的和为S1＝×1 010＝2 525.若数列{an}的前2 020项的和取最小值，那么数列{an}的偶数项都为－，除去a1＝2外，其它奇数项都为－2，此时前2 020项的和为S2＝×1 010＋(－2)×1 009＋2＝－2 521.那么数列{an}的前2 020项和的最大值和最小值的差为2 525－(－2 521)＝5 046.
