课件38张PPT。第三篇 [小题提速练]第14练空间几何体的三视图、表面积与体积[明晰考情]
本内容是高考必考点，多以小题形式考查空间几何体的三视图、空间几何体的体积或表面积计算，难度为中等偏上.题组对点练栏目索引易错易混练押题冲刺练题组一 空间几何体的三视图要点重组 (1)三视图画法的基本原则：长对正，高平齐，宽相等；画图时看不到的线要画成虚线.
(2)由三视图还原几何体的步骤题组对点练(3)对于一些三视图题，可将几何体放到正方体或长方体中，利用正方体或长方体的线面、面面垂直关系分析几何体的三视图.1.(2019·衡水联考)某几何体的三视图如图所示，
则此几何体
A.有四个两两全等的面
B.有两对相互全等的面
C.只有一对相互全等的面
D.所有面均不全等√解析 几何体的直观图为四棱锥P－ABCD，如图，
因为AD＝AB，PA＝PA，∠BAP＝∠DAP＝90°，
所以△ABP≌△ADP，
因为BC⊥平面ABP，所以BC⊥BP，同理CD⊥DP，
又因为BP＝DP，CD＝BC，CP＝CP，
所以△BCP≌△DCP.
又△ABP与△BCP不全等，
所以该几何体有两对相互全等的面.2.(2019·唐山模拟)如图是一个空间几何体的正(主)视图和俯视图，则它的侧(左)视图为解析 由正(主)视图和俯视图可知，
该几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥构成的，
结合正(主)视图的宽及俯视图的直径可知侧(左)视图应为A.√3.已知某几何体的正(主)视图和侧(左)视图如图所示，则该几何体的俯视图不可能是解析 由题意知选项A，B，C对应的几何体的直观图依次为图①，图②，图③，√而选项D不符合题意.4.如图，在三棱锥A－BCD中，侧面ABD⊥底面BCD，BC⊥CD，AB＝AD＝4，BC＝6，BD＝ ，则该三棱锥三视图的正(主)视图为解析 由题意知，三棱锥三视图中的正(主)视图为等腰三角形，√题组二 空间几何体的表面积与体积要点重组 (1)已知几何体的三视图，可去判断几何体的形状和各个度量，然后求解表面积和体积.
(2)求三棱锥的体积时，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上.
(3)求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体.5.(2019·浙江)祖暅是我国南北朝时期的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体＝Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示(单位：cm)，则该柱体的体积(单位：cm3)是
A.158 B.162 C.182 D.324解析 由三视图可知，该几何体是一个直五棱柱，√6.(2019·衡中信息卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为√解析 由三视图可知，该几何体的直观图如图所示，底面ABCD为正方形，其面积S2＝4，7.(2019·北京)某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为_____.40解析 如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，
去掉四棱柱MQD1A1－NPC1B1(其底面是一个上底为2，下底为4，高为2的直角梯形)所得的几何体为题中三视图对应的几何体，解析 由题意可得，四棱锥底面对角线的长为2，题组三 多面体与球(2)当球内切于正方体时，球的直径等于正方体的棱长，当球外接于长方体时，长方体的体对角线长等于球的直径；当球与正方体各棱都相切时，球的直径等于正方体底面的对角线长.9.(2019·衡中调研)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为_____.3π解析 由三视图可知该几何体是一个底面为正方形，
一条侧棱垂直于底面的四棱锥，
其中正方形的边长为1，垂直于底面的侧棱长也为1，√解析 由三视图可知该几何体为四棱锥S－ABCD，由于俯视图为正三角形，
故将四棱锥S－ABCD补成正三棱柱，如图所示.
设四棱锥S－ABCD的外接球的球心为O，
过点O作OO′⊥平面ASD，垂足为O′，连接O′A，OA，解得AB＝2.A.4π B.12π C.16π D.64π√解析 在△ABC中，由余弦定理得，
BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 60°＝3，
∴AC2＝AB2＋BC2，即AB⊥BC.
又SA⊥平面ABC，
∴SA⊥AB，SA⊥BC，故球O的表面积为4π×22＝16π.√解析 易知△ABC是等边三角形.如图，作OM⊥平面ABC，则点O为三棱锥P－ABC外接球的球心.故该球的表面积S＝4πR2＝8π.易错易混练1.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中的圆弧是半径为2的半圆，则该几何体的表面积是
A.80＋8π B.80＋4π
C.80－8π D.80－4π解析 根据三视图可知几何体是棱长为4的正方体挖掉半个圆柱所得的组合体，且圆柱底面圆的半径是2，母线长是4.√易错提醒 解决此类问题一般分为两步：第一步，先确定几何体的大致轮廓，然后利用三视图中的实线和虚线，通过切割、挖空等手段逐步调整；第二步，先部分后整体，即先分别求出几何体中各部分的面积，然后用它们表示所求几何体的表面积，注意重叠部分的面积和挖空部分的面积的处理.2.已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点.若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为
A.36π B.64π C.144π D.256π解析 易知△AOB的面积确定，若三棱锥O－ABC的底面AOB上的高最大，
则其体积最大.
因为高最大为半径R，√故S球＝4πR2＝144π.易错提醒 多面体与球的切、接问题，要明确切点、接点的位置，利用合适的截面图确定两者的关系，要熟悉长方体与球的各种组合.押题冲刺练1.将正方体(如图①)截去三个三棱锥后，得到如图②所示的几何体，侧(左)视图的视线方向如图②所示，则该几何体的侧(左)视图为解析 将图②中的几何体放到正方体中如图所示，
从侧(左)视图的视线方向观察，
易知该几何体的侧(左)视图为选项D中的图形.123456√1234562.如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥P－BCD的正(主)视图与侧(左)视图的面积之比为
A.1∶1 B.2∶1
C.2∶3 D.3∶2√又底面ABCD是正方形，所以矩形ADD1A1与矩形CDD1C1的面积相等，
即正(主)视图与侧(左)视图的面积之比是1∶1.1234563.某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是
A.2 B.4 C.6 D.8解析 由几何体的三视图可知，
该几何体是一个底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，
直角梯形的上、下底边长分别为2,1，高为2，√1234564.(2019·全国100所名校冲刺卷)已知正四面体S－ABC内切球的表面积为2π，则它的外接球的表面积为
A.16π B.18π C.22π D.20π√123456解析 如图所示，
将四面体S－ABC放在如图所示的正方体中，设正方体的棱长为a，1234566π6.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BCD＝90°，∠ABC＝60°，PA＋AB＝6，AD＝3，则当四棱锥P－ABCD的体积最大时，AB＝________.123456解析 作AH⊥BC于点H，设BH＝x(0所以四棱锥P－ABCD的高PA＝6－2x，
所以四棱锥P－ABCD的体积设f(x)＝－x3－3x2＋18x，x∈(0,3)，
则f′(x)＝－3x2－6x＋18＝－3(x2＋2x－6).123456第三篇 本课结束 第14练 空间几何体的三视图、表面积与体积[小题提速练]
[明晰考情] 本内容是高考必考点，多以小题形式考查空间几何体的三视图、空间几何体的体积或表面积计算，难度为中等偏上．
题组一 空间几何体的三视图
要点重组 (1)三视图画法的基本原则：长对正，高平齐，宽相等；画图时看不到的线要画成虚线．
(2)由三视图还原几何体的步骤
(3)对于一些三视图题，可将几何体放到正方体或长方体中，利用正方体或长方体的线面、面面垂直关系分析几何体的三视图．
1．(2019·衡水联考)某几何体的三视图如图所示，则此几何体( )
A．有四个两两全等的面
B．有两对相互全等的面
C．只有一对相互全等的面
D．所有面均不全等
答案 B
解析 几何体的直观图为四棱锥P－ABCD，如图，
因为AD＝AB，PA＝PA，∠BAP＝∠DAP＝90°，
所以△ABP≌△ADP，
因为BC⊥平面ABP，所以BC⊥BP，
同理CD⊥DP，
又因为BP＝DP，CD＝BC，CP＝CP，
所以△BCP≌△DCP.
又△ABP与△BCP不全等，
所以该几何体有两对相互全等的面．
2．(2019·唐山模拟)如图是一个空间几何体的正(主)视图和俯视图，则它的侧(左)视图为( )
答案 A
解析 由正(主)视图和俯视图可知，该几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥构成的，结合正(主)视图的宽及俯视图的直径可知侧(左)视图应为A.
3．已知某几何体的正(主)视图和侧(左)视图如图所示，则该几何体的俯视图不可能是( )
答案 D
解析 由题意知选项A，B，C对应的几何体的直观图依次为图①，图②，图③，
而选项D不符合题意．
4．如图，在三棱锥A－BCD中，侧面ABD⊥底面BCD，BC⊥CD，AB＝AD＝4，BC＝6，BD＝4，则该三棱锥三视图的正(主)视图为( )
答案 C
解析 由题意知，三棱锥三视图中的正(主)视图为等腰三角形，在△BCD中，BC⊥CD，BC＝6，BD＝4，所以CD＝2，设C在BD上的投影为E，则12＝CE·4，所以CE＝3，DE＝＝.
题组二 空间几何体的表面积与体积
要点重组 (1)已知几何体的三视图，可去判断几何体的形状和各个度量，然后求解表面积和体积．
(2)求三棱锥的体积时，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上．
(3)求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体．
5．(2019·浙江)祖暅是我国南北朝时期的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体＝Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示(单位：cm)，则该柱体的体积(单位：cm3)是( )
A．158 B．162 C．182 D．324
答案 B
解析 由三视图可知，该几何体是一个直五棱柱，
所以其体积V＝×(4×3＋2×3＋6×6)×6＝162.
6．(2019·衡中信息卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )
A．20＋2 B．16
C．12＋ D．14＋2
答案 A
解析 由三视图可知，该几何体的直观图如图所示，
侧面ADGE与侧面CDGF为全等的直角梯形，其面积S1＝＝5，底面ABCD为正方形，其面积S2＝4，侧面EABH与侧面FCBH为全等的直角梯形，其面积S3＝＝3.由题意可知EF＝2，GH＝2，平面EHFG为菱形，其面积S4＝EF·GH＝×2×2＝2，所以该几何体的表面积S＝2S1＋S2＋2S3＋S4＝20＋2.
7．(2019·北京)某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为________．
答案 40
解析 如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，
去掉四棱柱MQD1A1－NPC1B1(其底面是一个上底为2，下底为4，高为2的直角梯形)所得的几何体为题中三视图对应的几何体，故所求几何体的体积为43－×(2＋4)×2×4＝40.
8．(2019·天津)已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为，若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为________．
答案
解析 由题意可得，四棱锥底面对角线的长为2，则圆柱底面的半径为，易知四棱锥的高为＝2，故圆柱的高为1，所以圆柱的体积为π×2×1＝.
题组三 多面体与球
要点重组 (1)设球的半径为R，球的截面圆半径为r，球心到球的截面的距离为d，则有r＝.
(2)当球内切于正方体时，球的直径等于正方体的棱长，当球外接于长方体时，长方体的体对角线长等于球的直径；当球与正方体各棱都相切时，球的直径等于正方体底面的对角线长．
(3)若正四面体的棱长为a，则正四面体的外接球半径为a，内切球半径为a.
9．(2019·衡中调研)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为________．
答案 3π
解析 由三视图可知该几何体是一个底面为正方形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥，其中正方形的边长为1，垂直于底面的侧棱长也为1，所以该几何体的外接球的直径为2R＝，所以R＝，所以外接球的表面积S＝4πR2＝4π×＝3π.
10．(2019·全国100所名校联考)已知某几何体的三视图如图所示，其俯视图是边长为2的等边三角形．若该几何体的外接球的表面积为π，则AB等于( )
A．3 B. C．2 D.
答案 C
解析 由三视图可知该几何体为四棱锥S－ABCD，由于俯视图为正三角形，故将四棱锥S－ABCD补成正三棱柱，如图所示．
设四棱锥S－ABCD的外接球的球心为O，过点O作OO′⊥平面ASD，垂足为O′，连接O′A，OA，则R＝OA＝＝，故该几何体的外接球的表面积为4πR2＝4π＝π，解得AB＝2.
11．已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA＝2，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，则球O的表面积为( )
A．4π B．12π C．16π D．64π
答案 C
解析 在△ABC中，由余弦定理得，
BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 60°＝3，
∴AC2＝AB2＋BC2，即AB⊥BC.
又SA⊥平面ABC，
∴SA⊥AB，SA⊥BC，
∴三棱锥S－ABC可补成分别以BC＝，AB＝1，SA＝2为长、宽、高的长方体，
∴球O的直径为＝4，
故球O的表面积为4π×22＝16π.
12．在三棱锥P－ABC中，已知PA⊥底面ABC，∠BAC＝60°，PA＝2，AB＝AC＝，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( )
A. B. C．8π D．12π
答案 C
解析 易知△ABC是等边三角形．如图，
作OM⊥平面ABC，其中M为△ABC的中心，且点O满足OM＝PA＝1，则点O为三棱锥P－ABC外接球的球心．于是，该外接球的半径R＝OA＝＝＝.故该球的表面积S＝4πR2＝8π.
1．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中的圆弧是半径为2的半圆，则该几何体的表面积是( )
A．80＋8π B．80＋4π C．80－8π D．80－4π
答案 B
解析 根据三视图可知几何体是棱长为4的正方体挖掉半个圆柱所得的组合体，且圆柱底面圆的半径是2，母线长是4.∴该几何体的表面积S＝2＋3×4×4＋π×2×4＝80＋4π.
易错提醒 解决此类问题一般分为两步：第一步，先确定几何体的大致轮廓，然后利用三视图中的实线和虚线，通过切割、挖空等手段逐步调整；第二步，先部分后整体，即先分别求出几何体中各部分的面积，然后用它们表示所求几何体的表面积，注意重叠部分的面积和挖空部分的面积的处理．
2．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( )
A．36π B．64π C．144π D．256π
答案 C
解析 易知△AOB的面积确定，若三棱锥O－ABC的底面AOB上的高最大，则其体积最大．因为高最大为半径R，所以(VO－ABC)max＝×R2×R＝36，解得R＝6.故S球＝4πR2＝144π.
易错提醒 多面体与球的切、接问题，要明确切点、接点的位置，利用合适的截面图确定两者的关系，要熟悉长方体与球的各种组合．
1．将正方体(如图①)截去三个三棱锥后，得到如图②所示的几何体，侧(左)视图的视线方向如图②所示，则该几何体的侧(左)视图为( )
答案 D
解析 将图②中的几何体放到正方体中如图所示，从侧(左)视图的视线方向观察，易知该几何体的侧(左)视图为选项D中的图形．
2．如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥P－BCD的正(主)视图与侧(左)视图的面积之比为( )
A．1∶1 B．2∶1 C．2∶3 D．3∶2
答案 A
解析 由题意可得正(主)视图的面积等于矩形ADD1A1面积的，侧(左)视图的面积等于矩形CDD1C1面积的.又底面ABCD是正方形，所以矩形ADD1A1与矩形CDD1C1的面积相等，即正(主)视图与侧(左)视图的面积之比是1∶1.
3．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是( )
A．2 B．4 C．6 D．8
答案 C
解析 由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，直角梯形的上、下底边长分别为2,1，高为2，
∴该几何体的体积为V＝2×＝6.
4．(2019·全国100所名校冲刺卷)已知正四面体S－ABC内切球的表面积为2π，则它的外接球的表面积为( )
A．16π B．18π C．22π D．20π
答案 B
解析 如图所示，
将四面体S－ABC放在如图所示的正方体中，设正方体的棱长为a，则该正四面体的棱长为a，设内切球的半径为r，
则r＝×a＝a.
由题意知4π×2＝2π，解得a＝，
故正四面体S－ABC的外接球的半径为××＝，
即外接球的表面积S＝4π×2＝18π.
5．(2019·宣城调研)已知A，B，C三点在球O的表面上，AB＝BC＝CA＝2，且球心O到平面ABC的距离等于球半径的，则球O的表面积为________．
答案 6π
解析 设球的半径为r，O′是△ABC的外心，△ABC的外接圆半径为R＝，∵球心O到平面ABC的距离等于球半径的，∴r2－r2＝，得r2＝，球的表面积S＝4πr2＝4π×＝6π.
6.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BCD＝90°，∠ABC＝60°，PA＋AB＝6，AD＝3，则当四棱锥P－ABCD的体积最大时，AB＝________.
答案 2－2
解析 作AH⊥BC于点H，设BH＝x(0则AB＝2x，AH＝x，
所以梯形ABCD的面积
S＝(x＋3＋3)×x＝x(x＋6)．
因为PA＋AB＝6，
所以四棱锥P－ABCD的高PA＝6－2x，
所以四棱锥P－ABCD的体积
V＝×x(x＋6)×(6－2x)＝(－x3－3x2＋18x)．
设f(x)＝－x3－3x2＋18x，x∈(0,3)，
则f′(x)＝－3x2－6x＋18＝－3(x2＋2x－6)．
令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝－－1(舍去)，
所以f(x)在区间(0，－1)内单调递增，在区间(－1,3)内单调递减，所以当x＝－1时，f(x)取得最大值，
即四棱锥P－ABCD的体积V取得最大值，此时AB＝2x＝2－2.
