课件40张PPT。第三篇 [大题规范练]第16练立体几何[明晰考情]
空间中线线、线面、面面的平行与垂直的证明问题、体积问题、平面图形的折叠问题以及点面距离问题，以解答题的形式考查学生的逻辑推理能力和计算能力，中档难度.题组对点练栏目索引模板规范练题组一 平行与垂直的证明问题要点重组 (1)平行关系的基础是线线平行，比较常见的是利用三角形中位线构造平行关系，利用平行四边形构造平行关系.
(2)证明线线垂直的常用方法
①利用特殊平面图形的性质，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到线线垂直；
②利用勾股定理的逆定理；
③利用线面垂直的性质.题组对点练(1)求证：BC⊥平面PDE；证明 ∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BC.
过E作EG⊥CD，垂足为G，∴DE2＋CE2＝2EG2＋DG2＋CG2＝8＝CD2，
∴CE⊥DE，即BC⊥DE.
∵PD∩DE＝D，PD，DE?平面PDE，
∴BC⊥平面PDE.(2)若F是PA的中点，求证：PC∥平面DEF.证明 连接AC，交DE于O，连接FO.
延长线段DE，交AB的延长线于H，
连接CH，即CD＝2BH，
又∵CD＝2AB，AH＝CD，
即四边形AHCD是平行四边形，
∴O是AC的中点.
∵F是PA的中点，∴PC∥FO，
∵FO?平面DEF，PC?平面DEF，∴PC∥平面DEF.2.(2019·江苏)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB＝BC.
求证：(1)A1B1∥平面DEC1；证明 因为D，E分别为BC，
AC的中点，
所以ED∥AB.
在直三棱柱ABC－A1B1C1中，
AB∥A1B1，
所以A1B1∥ED.
又因为ED?平面DEC1，A1B1?平面DEC1，
所以A1B1∥平面DEC1.(2)BE⊥C1E.证明 因为AB＝BC，E为AC的中点，所以BE⊥AC.
因为三棱柱ABC－A1B1C1是直棱柱，
所以C1C⊥平面ABC.
又因为BE?平面ABC，所以C1C⊥BE.
因为C1C?平面A1ACC1，AC?平面A1ACC1，C1C∩AC＝C，
所以BE⊥平面A1ACC1.
因为C1E?平面A1ACC1，所以BE⊥C1E.要点重组 对于规则体，熟记各种体积公式；对于不规则体则采用割、补法进行拼接，使之成为规则体.
三棱锥可以进行体积转换：
VA－BCD＝VB－ACD＝VC－ABD＝VD－ABC，
V多面体＝ ·S表·r内切球.题组二 点面距与体积3.(2019·全国Ⅰ)如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.(1)证明：MN∥平面C1DE；证明 连接B1C，ME.
因为M，E分别为BB1，BC的中点，又因为N为A1D的中点，由题设知A1B1∥DC且A1B1＝DC，
所以四边形A1B1CD是平行四边形，
可得B1C∥A1D且B1C＝A1D，
故ME∥ND且ME＝ND，
因此四边形MNDE为平行四边形，所以MN∥ED.
又MN?平面C1DE，ED?平面C1DE，所以MN∥平面C1DE.(2)求点C到平面C1DE的距离.解 过点C作CH⊥C1E交C1E于H.
由已知可得DE⊥BC，DE⊥C1C，且BC∩C1C＝C，
所以DE⊥平面C1CE，
故DE⊥CH.
又DE∩C1E＝E，DE，C1E?平面C1DE，
从而CH⊥平面C1DE，
故CH的长即为点C到平面C1DE的距离.
由已知可得CE＝1，C1C＝4，4.(2018·全国Ⅰ)如图，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°.以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA.(1)证明：平面ACD⊥平面ABC；证明 由已知可得，∠BAC＝90°，即BA⊥AC.
又BA⊥AD，AD∩AC＝A，AD，AC?平面ACD，
所以AB⊥平面ACD.
又AB?平面ABC，
所以平面ACD⊥平面ABC.如图，过点Q作QE⊥AC，垂足为E，由已知及(1)可得，DC⊥平面ABC，
所以QE⊥平面ABC.
因此，三棱锥Q－ABP的体积为要点重组 (1)和折叠有关的平行、垂直问题，关键是弄清折叠前后变与不变的关系，找出隐含的平行、垂直关系.
(2)立体几何中的探索性问题，可利用推理证明得出结论或利用特例得出结论，再针对一般情形给出证明.
(3)点面距离的求法一般分为两种
①直接法：根据题目的条件和有关定理做出点到平面的距离.这种方法常要借助于线面垂直的判定定理和面面垂直的性质定理.
②间接法：借助于三棱锥的换底法，转换顶点和底面，求出点面距离.题组三 立体几何的综合问题5.(2019·北京)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点.
(1)求证：BD⊥平面PAC；证明 因为PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
所以PA⊥BD.
因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC.
又PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，
所以BD⊥平面PAC.(2)若∠ABC＝60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；证明 因为PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，
所以PA⊥AE.
因为底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，且E为CD的中点，
所以AE⊥CD，所以AB⊥AE.
又AB∩PA＝A，AB，PA?平面PAB，
所以AE⊥平面PAB.
因为AE?平面PAE，
所以平面PAB⊥平面PAE.(3)棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由.解 棱PB上存在点F，使得CF∥平面PAE.
取PB的中点F，PA的中点G，连接CF，FG，EG，因为底面ABCD为菱形，且E为CD的中点，所以FG∥CE，且FG＝CE.
所以四边形CEGF为平行四边形.
所以CF∥EG.
因为CF?平面PAE，EG?平面PAE，
所以CF∥平面PAE.6.(2019·全国100所名校冲刺卷)如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M为棱A1C1的中点.(1)求证：BC1∥平面AB1M；证明 连接A1B交AB1于点D，连接DM，
则D为A1B的中点，
因为M为A1C1的中点，所以DM∥BC1，
因为DM?平面AB1M，BC1?平面AB1M，
所以BC1∥平面AB1M.(2)若AA1⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1＝2，求点B到平面AB1M的距离.解 因为BC1∥平面AB1M，
所以点B到平面AB1M的距离等于点C1到平面AB1M的距离，
设所求距离为h，由题意，AA1⊥平面A1B1C1，模板规范练模板体验(1)证明：直线BC∥平面PAD；审题路线图规范解答·评分标准
(1)证明 在平面ABCD内，
因为∠BAD＝∠ABC＝90°，
所以BC∥AD.……………………………………………………………………………1分
又BC?平面PAD，AD?平面PAD，
所以BC∥平面PAD.……………………………………………………………………3分解 如图，取AD的中点M，连接PM，CM.
因为侧面PAD为等边三角形，所以PM⊥AD，
又底面ABCD⊥平面PAD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，PM?平面PAD，
所以PM⊥底面ABCD.…………………………………………………………………4分则CM⊥AD.……………………………………………………………………………6分
因为CM?底面ABCD，所以PM⊥CM.………………………………………………8分取CD的中点N，连接PN，则PN⊥CD，解得x＝－2(舍去)或x＝2.………………………………………………………………10分所以四棱锥P－ABCD的体积构建答题模板
[第一步] 证关系：空间中的线面关系以线线关系为基础，先寻找图形中的线线平行
或线线垂直，再利用判定定理证线面平行或线面垂直.
[第二步] 找底面：计算几何体的体积，关键是确定几何体的底面和相应的高，理清
计算的思路.
[第三步] 巧计算：利用已知条件巧妙搭建和要求体积的关系，计算所求面积或体积.规范演练1.(2019·烟台测试)如图，四边形ABCD为矩形，A，E，B，F四点共面，且△ABE和△ABF均为等腰直角三角形，∠BAE＝∠AFB＝90°.(1)求证：平面BCE∥平面ADF；证明 ∵四边形ABCD为矩形，∴BC∥AD，
又BC?平面ADF，AD?平面ADF，
∴BC∥平面ADF，
∵△ABE和△ABF均为等腰直角三角形，且∠BAE＝∠AFB＝90°，
∴∠BAF＝∠ABE＝45°，∴AF∥BE，
又BE?平面ADF，AF?平面ADF，
∴BE∥平面ADF，
∵BC∥平面ADF，BE∥平面ADF，BC∩BE＝B，BC，BE?平面BCE，
∴平面BCE∥平面ADF.解 ∵ABCD为矩形，∴BC⊥AB，
又∵平面ABCD⊥平面AEBF，BC?平面ABCD，
平面ABCD∩平面AEBF＝AB，
∴BC⊥平面AEBF，(2)若平面ABCD⊥平面AEBF，AF＝1，BC＝2，求三棱锥A－CEF的体积.2.如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是梯形，AD∥BC，AD＝2DC＝2BC，E是A1B1的中点.(1)求证：CE∥平面BDA1；证明 连接EA，CA，分别交BA1和BD于M，N两点，连接MN.
∵AB∥A1B1，E是A1B1的中点，∴MN∥EC.
∵MN?平面BDA1，EC?平面BDA1，
∴CE∥平面BDA1.(2)已知AD⊥CD，AD＝AA1＝2.在DD1上是否存在点F，使得CF⊥平面B1C1F？若存在，求D到平面B1CF的距离；若不存在，请说明理由.解 当F为DD1的中点时，CF⊥平面B1C1F.
证明如下：
连接CF，B1C，
在矩形CC1D1D中，CD＝DF＝D1F＝C1D1＝1，
∴∠CFD＝∠C1FD1＝45°，
则∠CFC1＝90°，即CF⊥C1F，
∵AD⊥CD，∴BC⊥CD，
又BC⊥CC1，CC1∩CD＝C，CC1，CD?平面CC1D1D，
∴BC⊥平面CC1D1D，
又BC∥B1C1，∴B1C1⊥平面CC1D1D，
又CF?平面CC1D1D，∴CF⊥B1C1，
又C1F∩B1C1＝C1，C1F，B1C1?平面B1C1F，∴CF⊥平面B1C1F，设D到平面B1CF的距离为h，第三篇 本课结束 第16练 立体几何[大题规范练]
[明晰考情] 空间中线线、线面、面面的平行与垂直的证明问题、体积问题、平面图形的折叠问题以及点面距离问题，以解答题的形式考查学生的逻辑推理能力和计算能力，中档难度．
题组一 平行与垂直的证明问题
要点重组 (1)平行关系的基础是线线平行，比较常见的是利用三角形中位线构造平行关系，利用平行四边形构造平行关系．
(2)证明线线垂直的常用方法
①利用特殊平面图形的性质，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到线线垂直；
②利用勾股定理的逆定理；
③利用线面垂直的性质．
1.(2019·全国100所名校示范卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，∠BAD＝∠ADC＝90°，CD＝2AB＝2，AD＝2，E是BC上一点，且BC＝3BE.
(1)求证：BC⊥平面PDE；
(2)若F是PA的中点，求证：PC∥平面DEF.
证明 (1)∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BC.
过E作EG⊥CD，垂足为G，
∵CD＝2AB＝2，AD＝2，BC＝3BE，
∴EG＝AD＝，DG＝，CG＝，
∴DE2＋CE2＝2EG2＋DG2＋CG2＝8＝CD2，
∴CE⊥DE，即BC⊥DE.
∵PD∩DE＝D，PD，DE?平面PDE，
∴BC⊥平面PDE.
(2)连接AC，交DE于O，连接FO.
延长线段DE，交AB的延长线于H，
连接CH，
∵BC＝3BE，∴＝＝，
即CD＝2BH，
又∵CD＝2AB，AH＝CD，
即四边形AHCD是平行四边形，
∴O是AC的中点．
∵F是PA的中点，∴PC∥FO，
∵FO?平面DEF，PC?平面DEF，∴PC∥平面DEF.
2．(2019·江苏)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB＝BC.
求证：(1)A1B1∥平面DEC1；
(2)BE⊥C1E.
证明 (1)因为D，E分别为BC，
AC的中点，
所以ED∥AB.
在直三棱柱ABC－A1B1C1中，
AB∥A1B1，
所以A1B1∥ED.
又因为ED?平面DEC1，A1B1?平面DEC1，
所以A1B1∥平面DEC1.
(2)因为AB＝BC，E为AC的中点，所以BE⊥AC.
因为三棱柱ABC－A1B1C1是直棱柱，
所以C1C⊥平面ABC.
又因为BE?平面ABC，所以C1C⊥BE.
因为C1C?平面A1ACC1，AC?平面A1ACC1，C1C∩AC＝C，所以BE⊥平面A1ACC1.
因为C1E?平面A1ACC1，所以BE⊥C1E.
题组二 点面距与体积
要点重组 对于规则体，熟记各种体积公式；对于不规则体则采用割、补法进行拼接，使之成为规则体．
三棱锥可以进行体积转换：
VA－BCD＝VB－ACD＝VC－ABD＝VD－ABC，
V多面体＝·S表·r内切球．
3．(2019·全国Ⅰ)如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．
(1)证明：MN∥平面C1DE；
(2)求点C到平面C1DE的距离．
(1)证明 连接B1C，ME.
因为M，E分别为BB1，BC的中点，
所以ME∥B1C，且ME＝B1C.
又因为N为A1D的中点，
所以ND＝A1D.
由题设知A1B1∥DC且A1B1＝DC，
所以四边形A1B1CD是平行四边形，
可得B1C∥A1D且B1C＝A1D，
故ME∥ND且ME＝ND，
因此四边形MNDE为平行四边形，
所以MN∥ED.
又MN?平面C1DE，ED?平面C1DE，
所以MN∥平面C1DE.
(2)解 过点C作CH⊥C1E交C1E于H.
由已知可得DE⊥BC，DE⊥C1C，且BC∩C1C＝C，
所以DE⊥平面C1CE，
故DE⊥CH.
又DE∩C1E＝E，DE，C1E?平面C1DE，
从而CH⊥平面C1DE，
故CH的长即为点C到平面C1DE的距离．
由已知可得CE＝1，C1C＝4，
所以C1E＝，故CH＝.
从而点C到平面C1DE的距离为.
4．(2018·全国Ⅰ)如图，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°.以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA.
(1)证明：平面ACD⊥平面ABC；
(2)若Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP＝DQ＝DA，求三棱锥Q－ABP的体积．
(1)证明 由已知可得，∠BAC＝90°，
即BA⊥AC.
又BA⊥AD，AD∩AC＝A，AD，AC?平面ACD，
所以AB⊥平面ACD.
又AB?平面ABC，
所以平面ACD⊥平面ABC.
(2)解 由已知可得，DC＝CM＝AB＝3，DA＝3.
又BP＝DQ＝DA，
所以BP＝2.
如图，过点Q作QE⊥AC，垂足为E，
则QE∥DC且QE＝DC＝1.
由已知及(1)可得，DC⊥平面ABC，
所以QE⊥平面ABC.
因此，三棱锥Q－ABP的体积为
VQ－ABP＝×S△ABP×QE
＝××3×2sin 45°×1＝1.
题组三 立体几何的综合问题
要点重组 (1)和折叠有关的平行、垂直问题，关键是弄清折叠前后变与不变的关系，找出隐含的平行、垂直关系．
(2)立体几何中的探索性问题，可利用推理证明得出结论或利用特例得出结论，再针对一般情形给出证明．
(3)点面距离的求法一般分为两种
①直接法：根据题目的条件和有关定理做出点到平面的距离．这种方法常要借助于线面垂直的判定定理和面面垂直的性质定理．
②间接法：借助于三棱锥的换底法，转换顶点和底面，求出点面距离．
5．(2019·北京)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点．
(1)求证：BD⊥平面PAC；
(2)若∠ABC＝60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；
(3)棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由．
(1)证明 因为PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
所以PA⊥BD.
因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC.
又PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，
所以BD⊥平面PAC.
(2)证明 因为PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，
所以PA⊥AE.
因为底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，且E为CD的中点，
所以AE⊥CD，所以AB⊥AE.
又AB∩PA＝A，AB，PA?平面PAB，
所以AE⊥平面PAB.
因为AE?平面PAE，
所以平面PAB⊥平面PAE.
(3)解 棱PB上存在点F，使得CF∥平面PAE.
取PB的中点F，PA的中点G，连接CF，FG，EG，
则FG∥AB，且FG＝AB.
因为底面ABCD为菱形，且E为CD的中点，
所以CE∥AB，且CE＝AB.
所以FG∥CE，且FG＝CE.
所以四边形CEGF为平行四边形．
所以CF∥EG.
因为CF?平面PAE，EG?平面PAE，
所以CF∥平面PAE.
6.(2019·全国100所名校冲刺卷)如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M为棱A1C1的中点．
(1)求证：BC1∥平面AB1M；
(2)若AA1⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1＝2，求点B到平面AB1M的距离．
(1)证明 连接A1B交AB1于点D，连接DM，
则D为A1B的中点，
因为M为A1C1的中点，所以DM∥BC1，
因为DM?平面AB1M，BC1?平面AB1M，
所以BC1∥平面AB1M.
(2)解 因为BC1∥平面AB1M，
所以点B到平面AB1M的距离等于点C1到平面AB1M的距离，设所求距离为h，
由题意，AA1⊥平面A1B1C1，
则＝＝，
即×××AA1＝××h，
所以h＝，＝×2×2＝2，
由已知AM＝B1M＝＝，AB1＝2，
所以＝×2×＝，
所以h＝＝.
典例 (12分)如图，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°.
(1)证明：直线BC∥平面PAD；
(2)若△PCD的面积为2，求四棱锥P—ABCD的体积．
审题路线图
(1)―→―→
(2)―→―→
规范解答·评分标准
(1)证明 在平面ABCD内，
因为∠BAD＝∠ABC＝90°，
所以BC∥AD.……………………………………………………………………………………1分
又BC?平面PAD，AD?平面PAD，
所以BC∥平面PAD.……………………………………………………………………………3分
(2)解 如图，取AD的中点M，连接PM，CM.
因为侧面PAD为等边三角形，所以PM⊥AD，又底面ABCD⊥平面PAD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PM?平面PAD，
所以PM⊥底面ABCD.…………………………………………………………………………4分
由AB＝BC＝AD及BC∥AD，∠ABC＝90°得四边形ABCM为正方形，则CM⊥AD.……6分
因为CM?底面ABCD，所以PM⊥CM.………………………………………………………8分
设BC＝x，则CM＝x，CD＝x，PM＝x，PC＝PD＝2x，
取CD的中点N，连接PN，则PN⊥CD，
所以PN＝x.
因为△PCD的面积为2，
所以×x×x＝2.
解得x＝－2(舍去)或x＝2.……………………………………………………………………10分
于是AB＝BC＝2，AD＝4，PM＝2.
所以四棱锥P－ABCD的体积
V＝S四边形ABCD·PM＝××2＝4.……………………………………………12分
构建答题模板
[第一步] 证关系：空间中的线面关系以线线关系为基础，先寻找图形中的线线平行或线线垂直，再利用判定定理证线面平行或线面垂直．
[第二步] 找底面：计算几何体的体积，关键是确定几何体的底面和相应的高，理清计算的思路．
[第三步] 巧计算：利用已知条件巧妙搭建和要求体积的关系，计算所求面积或体积．
1.(2019·烟台测试)如图，四边形ABCD为矩形，A，E，B，F四点共面，且△ABE和△ABF均为等腰直角三角形，∠BAE＝∠AFB＝90°.
(1)求证：平面BCE∥平面ADF；
(2)若平面ABCD⊥平面AEBF，AF＝1，BC＝2，求三棱锥A－CEF的体积．
(1)证明 ∵四边形ABCD为矩形，∴BC∥AD，
又BC?平面ADF，AD?平面ADF，
∴BC∥平面ADF，
∵△ABE和△ABF均为等腰直角三角形，且∠BAE＝∠AFB＝90°，
∴∠BAF＝∠ABE＝45°，∴AF∥BE，
又BE?平面ADF，AF?平面ADF，
∴BE∥平面ADF，
∵BC∥平面ADF，BE∥平面ADF，BC∩BE＝B，BC，BE?平面BCE，∴平面BCE∥平面ADF.
(2)解 ∵ABCD为矩形，∴BC⊥AB，
又∵平面ABCD⊥平面AEBF，BC?平面ABCD，平面ABCD∩平面AEBF＝AB，
∴BC⊥平面AEBF，
在△AEF中，∵AF＝1，∴AE＝，
∴S△AEF＝AF·AE·sin 135°＝×1××＝.
∴V三棱锥A－CEF＝V三棱锥C－AEF＝S△AEF·BC＝××2＝.
2.如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是梯形，AD∥BC，AD＝2DC＝2BC，E是A1B1的中点．
(1)求证：CE∥平面BDA1；
(2)已知AD⊥CD，AD＝AA1＝2.在DD1上是否存在点F，使得CF⊥平面B1C1F？若存在，求D到平面B1CF的距离；若不存在，请说明理由．
(1)证明 连接EA，CA，分别交BA1和BD于M，N两点，连接MN.
∵AB∥A1B1，E是A1B1的中点，
∴＝＝2，
又在底面ABCD中，＝＝2，
∴在△ACE中，＝，
∴MN∥EC.
∵MN?平面BDA1，EC?平面BDA1，
∴CE∥平面BDA1.
(2)解 当F为DD1的中点时，CF⊥平面B1C1F.
证明如下：
连接CF，B1C，
在矩形CC1D1D中，CD＝DF＝D1F＝C1D1＝1，
∴∠CFD＝∠C1FD1＝45°，
则∠CFC1＝90°，即CF⊥C1F，
∵AD⊥CD，∴BC⊥CD，
又BC⊥CC1，CC1∩CD＝C，CC1，CD?平面CC1D1D，
∴BC⊥平面CC1D1D，
又BC∥B1C1，∴B1C1⊥平面CC1D1D，
又CF?平面CC1D1D，∴CF⊥B1C1，
又C1F∩B1C1＝C1，C1F，B1C1?平面B1C1F，
∴CF⊥平面B1C1F，设D到平面B1CF的距离为h，
由题意得CF＝C1F＝，则B1F＝，
∵＝，CF⊥B1F，
∴×××h＝××1×1×1，解得h＝.
∴D到平面B1CF的距离为.
