课件32张PPT。第三篇 [小题提速练]第17练概 率[明晰考情]
对概率的考查是高考考查的热点，一般一道小题和一道解答题，小题较易，大题中档.题组对点练栏目索引易错易混练押题冲刺练题组一 古典概型要点重组 定义法求解古典概型的关键是准确求解基本事件空间与所求事件包含的基本事件的个数，而求解事件个数的主要方法是列举法，列举时需注意两个方面，一是确定抽取是否有“序”，二是确定列举法写出所有基本事件的一个顺序.题组对点练1.(2019·全国Ⅱ)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为解析 设5只兔子中测量过某项指标的3只为a1,a2,a3,未测量过这项指标的2只为b1，b2，
则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10种可能.
其中恰有2只测量过该指标的情况为(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，共6种可能.√2.(2019·全国100所名校冲刺卷)若a是从1,2,5三个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，则a3>b3的概率是√解析 由题意知本题是一个古典概型，取得的数组(a，b)的基本事件共9个：(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(5,0)，(5,1)，(5,2)，满足a3>b3的有6个，3.有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为√解析 从5支彩笔中任取2支不同颜色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫、黄蓝、黄绿、黄紫、蓝绿、蓝紫、绿紫，共10种，
其中取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫，共4种，4.(2019·衡中信息卷)某电视台一档综艺节目的舞台上准备了三扇门，其中一扇门后藏有轿车，另外两扇门后藏有山羊.有两个游戏规则，规则一：参与者从三扇门中任意选择一扇，赢得门后的奖品；规则二：参与者先从三扇门中任意选择一扇，然后主持人(主持人事先知道门后有什么)从剩下的两扇门中打开一扇后面是山羊的门，参与者赢得最后一扇门后的奖品.则两种规则下，参与者得到轿车的概率分别为√按规则二：若参与者第一次选择的门后是山羊，主持人再打开另一扇后面是山羊的门，则最后一扇门后一定是轿车；
若参与者第一次选择的门后是轿车，主持人再打开一扇后面是山羊的门，题组二 几何概型要点重组 (1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解.
(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域.5.某单位试行上班刷卡制度，规定每天8：30上班，有15分钟的有效刷卡时间(即8：15
～8：30)，一名职工在7：50到8：30之间到达单位且到达单位的时刻是随机的，则他能有效刷卡上班的概率是√解析 该职工在7：50到8：30之间到达单位且到达单位的时刻是随机的，
设其构成的区域为线段AB，且AB＝40，职工的有效刷卡时间是8：15到8：30之间，
设其构成的区域为线段CB，且CB＝15，6.(2019·全国100所名校冲刺卷)独具特色的中国古建筑凝聚了历代工匠们的智慧，与其他艺术门类(如书法、水墨画等)不同的是，在中国古建筑体系中，突出运用了严谨的“数学方法”和精妙的“数学之美”.图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若钱币，寓意富贵吉祥，现向该圆形区域随机撒m(m∈N*)粒芝麻，则落在阴影区域(阴影部分由四条四分之一圆弧围成)的芝麻的粒数约为√故向圆形区域随机撒m粒芝麻，√解析 由题意知，如图，8.(2019·宣城调研)已知圆C：x2＋y2＝1，直线l：y＝k(x＋2)，在[－1,1]上随机选取一
个数k，则事件“直线l与圆C相交”发生的概率为_____.题组三 互斥事件与对立事件的概率要点重组 (1)解决此类问题，首先应根据互斥事件和对立事件的定义分析出是不是互斥事件或对立事件，再选择概率公式进行计算.
(2)求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：
①直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率加法公式计算.
②间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P( )求解，即运用正难则反的数学思想.特别是“至多”“至少”型问题，有时用间接法就显得较简便.9.从3名男生和3名女生中任选2人参加某项活动，则所选的2人中女生人数不超过1的概率是√解析 记3名男生分别为A，B，C,3名女生分别为1,2,3，从中任选2名学生有AB，AC，A1，A2，A3，BC，B1，B2，B3，C1，C2，C3,12,13,23，共15种情况，
则2人中女生超过1人的有12,13,23，共3种情况，10.为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是√解析 从4种颜色的花中任选两种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛，有((红黄)、(白紫))，((白紫)、(红黄))，((红白)、(黄紫))，((黄紫)、(红白))，((红紫)、(黄白))，((黄白)、(红紫))共6种种法，其中红色和紫色在一个花坛的种数有2种，11.如图是由1个圆、1个三角形和1个长方形构成的组合体，现用红、蓝2种颜色为其涂色，每个图形只能涂1种颜色，则3个图形颜色不全相同的概率为____.解析 根据题意，用红、蓝两种颜色为3个图形涂色，每个图形有2种选法，
共有2×2×2＝8(种)情况，其中颜色全部相同的有2种，即全部用红色或全部用蓝色，
则三个形状颜色不全相同的有8－2＝6(种)情况，12.已知盒中共有5个除颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和2个黑球，从袋中任取两球，两球颜色不同的概率为____.解析 从5个球里面任取两球，共有10个基本事件，颜色相同的情况，有2种，易错易混练1.一次数学考试中，4位同学各自在第22题和第23题中任选一题作答，则第22题和第23题都有同学选答的概率为√解析 4位同学各自在第22题和第23题中任选一题作答的全部可能结果有16种，而4位同学选择在同一道题作答的全部可能结果有2种，易错提醒 (1)互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，具体包括三种情形：①事件A发生且事件B不发生；②事件A不发生且事件B发生；③事件A与事件B同时不发生.
(2)对立事件是指事件A与事件B有且仅有一个发生，包括两种情形：①事件A发生，事件B不发生；②事件B发生，事件A不发生.对立事件是互斥事件的特殊情形.
(3)解此类题时需要特别注意：对立事件一定是互斥事件，并且其中一个一定要发生，但互斥事件不一定是对立事件，解题时一定要搞清这两种事件的关系.解析 如图，∵正六边形ABCDEF的边长为1，则M应落在区域CDEF内，易错提醒 (1)求解有关几何概型问题的关键在于弄清题中的考查对象和对象的活动范围.当考查对象为点且点在线段上(平面区域内、空间区域内)活动时，用线段长度比(面积比、体积比)计算.
(2)求解此类题的注意点：一是判断试验中所有可能出现的结果(基本事件)是否有无限多个；二是验证每个基本事件的发生是否具有等可能性，只有每个基本事件发生的可能性都相等时，才可以用几何概型的概率计算公式破解.押题冲刺练1.在《周易》中，长横“——”表示阳爻，两个短横“— —”表示阴爻，有放回地取出阳爻和阴爻三次合成一卦，共有23＝8种组合方法，这便是《系辞传》所说的“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”.有放回地取阳爻和阴爻一次，有2种情况，有放回地取阳爻和阴爻两次，有4种情况，有放回地取阳爻和阴爻三次，有8种情况，即为八卦.在一次卜卦中，恰好出现两个阳爻和一个阴爻的概率是√解析 有放回地取阳爻和阴爻三次，有8种情况，分别是三个阳爻1种，三个阴爻1种，两个阳爻和一个阴爻3种，两个阴爻和一个阳爻3种，1234562.(2019·衡中信息卷)中国古代钱币历史悠久，是中华民族传统文化中的瑰宝，其中方孔铜钱是我国使用时间最长的一种货币.已知某方孔铜钱的直径与方孔边长之比为5∶2，现在铜钱所在圆形区域内随机取一点，则该点取自含铜部分的概率为√解析 设该方孔铜钱的直径为5，则方孔边长为2，1234561234563.在区间[0,3]上随机取一个实数x，使得x2－3x＋2>0成立的概率为√4.老师计划在晚自习19：00～20：00解答同学甲、乙的问题，预计解答完一个学生的问题需要20分钟.若甲、乙两人在晚自习的任意时刻去问问题是互不影响的，则两人独自去时不需要等待的概率为√解析 设甲、乙两人分别在晚上19：00过x，y分钟后去问问题，1234561234565.从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则logab为整数的概率是_____.解析 从2,3,8,9中任取2个分别记为(a，b)，则有(2,3)，(3,2)，(2,8)，(8,2)，(2,9)，(9,2)，(3,8)，(8,3)，(3,9)，(9,3)，(8,9)，(9,8)，共有12种情况，
其中符合logab为整数的有log39和log28两种情况，1234566.沿田字形的路线从A往N走，且只能向右或向下走，随机地选一种走法，则经过点C的概率是_____.123456解析 方法一 按规定要求从A往N走只能向右或向下，
所有可能走法有：A→D→S→J→N，A→D→C→J→N，A→D→C→M→N，A→B→C→J→N，A→B→C→M→N，A→B→F→M→N，共6种，其中经过C点的走法有4种，方法二 由于从A点出发后只允许向右或向下走，记向右走为1，向下走为2，欲到达N点必须两次向右，两次向下，即有两个2两个1，
∴基本事件空间Ω＝{(1122)，(1212)，(1221)，(2112)，(2121)，(2211)}，共6种不同结果，而只有先右再下或先下再右两种情形经过C点，即前两个数字必须一个1一个2，
∴事件A＝“经过C点”含有的基本事件有(1212)，(1221)，(2112)，(2121)，共4个，第三篇 本课结束 第17练 概 率[小题提速练]
[明晰考情] 对概率的考查是高考考查的热点，一般一道小题和一道解答题，小题较易，大题中档．
题组一 古典概型
要点重组 定义法求解古典概型的关键是准确求解基本事件空间与所求事件包含的基本事件的个数，而求解事件个数的主要方法是列举法，列举时需注意两个方面，一是确定抽取是否有“序”，二是确定列举法写出所有基本事件的一个顺序．
1．(2019·全国Ⅱ)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 设5只兔子中测量过某项指标的3只为a1，a2，a3，未测量过这项指标的2只为b1，b2，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10种可能．其中恰有2只测量过该指标的情况为(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，共6种可能．
故恰有2只测量过该指标的概率为＝.
2．(2019·全国100所名校冲刺卷)若a是从1,2,5三个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，则a3>b3的概率是( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 由题意知本题是一个古典概型，取得的数组(a，b)的基本事件共9个：(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(5,0)，(5,1)，(5,2)，满足a3>b3的有6个，所以a3>b3的概率为P＝＝.
3．有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 从5支彩笔中任取2支不同颜色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫、黄蓝、黄绿、黄紫、蓝绿、蓝紫、绿紫，共10种，其中取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫，共4种，所以所求概率
P＝＝.
4．(2019·衡中信息卷)某电视台一档综艺节目的舞台上准备了三扇门，其中一扇门后藏有轿车，另外两扇门后藏有山羊．有两个游戏规则，规则一：参与者从三扇门中任意选择一扇，赢得门后的奖品；规则二：参与者先从三扇门中任意选择一扇，然后主持人(主持人事先知道门后有什么)从剩下的两扇门中打开一扇后面是山羊的门，参与者赢得最后一扇门后的奖品．则两种规则下，参与者得到轿车的概率分别为( )
A.， B.，
C.， D.，
答案 A
解析 按规则一：易知参与者选中轿车的概率是.按规则二：若参与者第一次选择的门后是山羊，主持人再打开另一扇后面是山羊的门，则最后一扇门后一定是轿车；若参与者第一次选择的门后是轿车，主持人再打开一扇后面是山羊的门，则最后一扇门后一定是山羊，所以参与者选中轿车的概率为.
题组二 几何概型
要点重组 (1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．
(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．
5．某单位试行上班刷卡制度，规定每天8：30上班，有15分钟的有效刷卡时间(即8：15～8：30)，一名职工在7：50到8：30之间到达单位且到达单位的时刻是随机的，则他能有效刷卡上班的概率是( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 该职工在7：50到8：30之间到达单位且到达单位的时刻是随机的，设其构成的区域为线段AB，且AB＝40，职工的有效刷卡时间是8：15到8：30之间，设其构成的区域为线段CB，且CB＝15，如图，所以该职工有效刷卡上班的概率P＝＝.
6.(2019·全国100所名校冲刺卷)独具特色的中国古建筑凝聚了历代工匠们的智慧，与其他艺术门类(如书法、水墨画等)不同的是，在中国古建筑体系中，突出运用了严谨的“数学方法”和精妙的“数学之美”．图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若钱币，寓意富贵吉祥，现向该圆形区域随机撒m(m∈N*)粒芝麻，则落在阴影区域(阴影部分由四条四分之一圆弧围成)的芝麻的粒数约为( )
A. B.
C.m D.m
答案 D
解析 设圆的半径为r，则S阴影＝πr2－2(πr2－r·r)＝4r2－πr2＝(4－π)r2，故向圆形区域随机撒m粒芝麻，落在阴影区域的芝麻的粒数约为m＝m.
7．(2019·聊城模拟)已知圆O的半径为1，在圆O内随机取一点M，则过点M的所有弦的长度都大于的概率为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 由题意知，如图，
过点M的所有弦的长度大于的点M落在以点O为圆心，半径为的圆内，
所以所求概率为P＝＝.
8．(2019·宣城调研)已知圆C：x2＋y2＝1，直线l：y＝k(x＋2)，在[－1,1]上随机选取一个数k，则事件“直线l与圆C相交”发生的概率为________．
答案
解析 圆心C到直线l：y＝k(x＋2)的距离为d＝<1，解得－故所求概率为P＝＝.
题组三 互斥事件与对立事件的概率
要点重组 (1)解决此类问题，首先应根据互斥事件和对立事件的定义分析出是不是互斥事件或对立事件，再选择概率公式进行计算．
(2)求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：
①直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率加法公式计算．
②间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P()求解，即运用正难则反的数学思想．特别是“至多”“至少”型问题，有时用间接法就显得较简便．
9．从3名男生和3名女生中任选2人参加某项活动，则所选的2人中女生人数不超过1的概率是( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 记3名男生分别为A，B，C,3名女生分别为1,2,3，从中任选2名学生有AB，AC，A1，A2，A3，BC，B1，B2，B3，C1，C2，C3,12,13,23，共15种情况，则2人中女生超过1人的有12,13,23，共3种情况，所以2人中女生不超过1人的概率为P＝1－＝1－＝.
10．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 从4种颜色的花中任选两种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛，有((红黄)、(白紫))，((白紫)、(红黄))，((红白)、(黄紫))，((黄紫)、(红白))，((红紫)、(黄白))，((黄白)、(红紫))共6种种法，其中红色和紫色在一个花坛的种数有2种，故所求概率为P＝1－＝，选C.
11.如图是由1个圆、1个三角形和1个长方形构成的组合体，现用红、蓝2种颜色为其涂色，每个图形只能涂1种颜色，则3个图形颜色不全相同的概率为________．
答案
解析 根据题意，用红、蓝两种颜色为3个图形涂色，每个图形有2种选法，共有2×2×2＝8(种)情况，其中颜色全部相同的有2种，即全部用红色或全部用蓝色，则三个形状颜色不全相同的有8－2＝6(种)情况，故所求概率为＝.
12．已知盒中共有5个除颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和2个黑球，从袋中任取两球，两球颜色不同的概率为________．
答案
解析 从5个球里面任取两球，共有10个基本事件，颜色相同的情况，有2种，所以颜色不同的概率为1－＝.
1．一次数学考试中，4位同学各自在第22题和第23题中任选一题作答，则第22题和第23题都有同学选答的概率为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 4位同学各自在第22题和第23题中任选一题作答的全部可能结果有16种，而4位同学选择在同一道题作答的全部可能结果有2种，从而4位同学选择同一道题作答的概率为，故第22题和第23题都有同学选答的概率为.
易错提醒 (1)互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，具体包括三种情形：①事件A发生且事件B不发生；②事件A不发生且事件B发生；③事件A与事件B同时不发生．
(2)对立事件是指事件A与事件B有且仅有一个发生，包括两种情形：①事件A发生，事件B不发生；②事件B发生，事件A不发生．对立事件是互斥事件的特殊情形．
(3)解此类题时需要特别注意：对立事件一定是互斥事件，并且其中一个一定要发生，但互斥事件不一定是对立事件，解题时一定要搞清这两种事件的关系．
2．已知正六边形ABCDEF的边长为1，若在其内部随机取一点M，则使△MAB的面积大于的概率为________．
答案
解析 如图，
∵正六边形ABCDEF的边长为1，∴正六边形的中心O到边AB的距离为，∴要使△MAB的面积大于，则M应落在区域CDEF内，
∴使△MAB的面积大于的概率为.
易错提醒 (1)求解有关几何概型问题的关键在于弄清题中的考查对象和对象的活动范围．当考查对象为点且点在线段上(平面区域内、空间区域内)活动时，用线段长度比(面积比、体积比)计算．
(2)求解此类题的注意点：一是判断试验中所有可能出现的结果(基本事件)是否有无限多个；二是验证每个基本事件的发生是否具有等可能性，只有每个基本事件发生的可能性都相等时，才可以用几何概型的概率计算公式破解．
1．在《周易》中，长横“——”表示阳爻，两个短横“— —”表示阴爻，有放回地取出阳爻和阴爻三次合成一卦，共有23＝8种组合方法，这便是《系辞传》所说的“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”．有放回地取阳爻和阴爻一次，有2种情况，有放回地取阳爻和阴爻两次，有4种情况，有放回地取阳爻和阴爻三次，有8种情况，即为八卦．在一次卜卦中，恰好出现两个阳爻和一个阴爻的概率是( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 有放回地取阳爻和阴爻三次，有8种情况，分别是三个阳爻1种，三个阴爻1种，两个阳爻和一个阴爻3种，两个阴爻和一个阳爻3种，所以，所求概率P＝.
2.(2019·衡中信息卷)中国古代钱币历史悠久，是中华民族传统文化中的瑰宝，其中方孔铜钱是我国使用时间最长的一种货币．已知某方孔铜钱的直径与方孔边长之比为5∶2，现在铜钱所在圆形区域内随机取一点，则该点取自含铜部分的概率为( )
A．1－ B. C．1－ D.
答案 C
解析 设该方孔铜钱的直径为5，则方孔边长为2，所以方孔铜钱所在圆的面积为，方孔的面积为4，故所求概率为P＝＝1－.
3．在区间[0,3]上随机取一个实数x，使得x2－3x＋2>0成立的概率为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 由得x∈[0,1)∪(2,3]．
根据几何概型公式得所求概率为.
4．老师计划在晚自习19：00～20：00解答同学甲、乙的问题，预计解答完一个学生的问题需要20分钟．若甲、乙两人在晚自习的任意时刻去问问题是互不影响的，则两人独自去时不需要等待的概率为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 设甲、乙两人分别在晚上19：00过x，y分钟后去问问题，
则依题意知，x，y应满足作出该不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，则所求概率P＝＝.
5．从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则logab为整数的概率是________．
答案
解析 从2,3,8,9中任取2个分别记为(a，b)，则有(2,3)，(3,2)，(2,8)，(8,2)，(2,9)，(9,2)，(3,8)，(8,3)，(3,9)，(9,3)，(8,9)，(9,8)，共有12种情况，其中符合logab为整数的有log39和log28两种情况，∴P＝＝.
6.沿田字形的路线从A往N走，且只能向右或向下走，随机地选一种走法，则经过点C的概率是________．
答案
解析 方法一 按规定要求从A往N走只能向右或向下，所有可能走法有：A→D→S→J→N，A→D→C→J→N，A→D→C→M→N，A→B→C→J→N，A→B→C→M→N，A→B→F→M→N，共6种，其中经过C点的走法有4种，∴所求概率P＝＝.
方法二 由于从A点出发后只允许向右或向下走，记向右走为1，向下走为2，欲到达N点必须两次向右，两次向下，即有两个2两个1，∴基本事件空间Ω＝{(1122)，(1212)，(1221)，(2112)，(2121)，(2211)}，共6种不同结果，而只有先右再下或先下再右两种情形经过C点，即前两个数字必须一个1一个2，∴事件A＝“经过C点”含有的基本事件有(1212)，(1221)，(2112)，(2121)，共4个，∴P(A)＝＝.
