课件31张PPT。第四篇 热点回扣6概率与统计回扣必考知识栏目索引牢记常用结论精练易错考点回扣必考知识1.随机事件之间的关系有哪些？答案 (1)必然事件Ω，P(Ω)＝1；
不可能事件?，P(?)＝0.
(2)包含关系：A?B，“如果事件A发生则事件B一定发生”称事件B包含事件A.
(3)事件的和(并)：A＋B或A∪B，“事件A与事件B至少有一个发生”叫做事件A与事件B的和(并)事件.
(4)事件的积(交)：AB或A∩B，“事件A与事件B同时发生”叫做事件A与事件B的积(交)事件.
(5)互斥事件：“事件A与事件B不能同时发生”叫做事件A，事件B互斥，P(AB)＝0.2.概率的计算公式
(1)古典概型的概率计算公式P(A)＝ .(2)几何概型的概率计算公式(3)若A，B互斥，则P(A＋B)＝ .P(A)＋P(B)3.常用的抽样方法有哪几种？答案 简单随机抽样、系统抽样、分层抽样.4.统计中有哪些数字特征？答案 众数、中位数、平均数、极差、方差(标准差).5.线性回归6.独立性检验牢记常用结论(1)古典概型中基本事件个数的确定方法(2)频率分布直方图中的众数、中位数、平均数
①最高的小长方形底边中点的横坐标为众数；
②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；
③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.(3)相关系数r可以表示两个变量间的相关性
当r＞0时，表明两个变量正相关；
当r＜0时，表明两个变量负相关.
r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强.
r的绝对值越接近于0时，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.精练易错考点1.(事件关系不清易错)
设命题甲：“事件A与事件B是对立事件”，命题乙：“概率满足P(A)＋P(B)＝1”，则甲是乙的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件√解析 若事件A与事件B是对立事件，则A∪B为必然事件，
再由概率的加法公式得P(A)＋P(B)＝1.
设掷一枚硬币3次，事件A：“至少出现一次正面”，事件B：“3次出现正面”，1234567891011121234567891011122.从两名男生和两名女生中任意选两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名女生、星期日安排一名男生的概率为√解析 两名男生分别记为A1，A2，两名女生分别记为B1，B2，
任意选两人在星期六、星期日参加公益活动有A1A2，A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，B1B2，A2A1，B1A1，B2A1，B1A2，B2A2，B2B1，共12种情况，
而星期六安排一名女生、星期日安排一名男生有B1A1，B2A1，B1A2，B2A2，共4种情况，3.(基本事件不明易错)
已知集合A＝{x|x2＋2x－3＜0}，B＝{x|(x＋2)(x－3)＜0}，设(a，b)为有序实数对，其中a是从集合A中任取的一个整数，b是从集合B中任取的一个整数，则“a－b∈A∪B”的概率为√123456789101112解析 由已知得A＝{x|－3＜x＜1}，B＝{x|－2＜x＜3}，
因为a，b∈Z，且a∈A，b∈B，
所以a∈{－2，－1,0}，b∈{－1,0,1,2}，a－b共有12个结果，
即12个基本事件：－1，－2，－3，－4,0，－1，－2，－3,1,0，－1，－2，
又A∪B＝(－3,3)，设事件E为“a－b∈A∪B”，
则事件E包含9个基本事件，123456789101112√即大圆的半径为3，设“此点投放到‘鱼眼’部分”为事件A，1234567891011125.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为
A.134石 B.169石 C.338石 D.1 365石√123456789101112A.出现过连续4天空气质量重度污染
B.空气重度污染的频率为0.5
C.空气质量指数的平均值小于200
D.相邻两天空气质量指数之差的最大值1956.(2019·湘赣十四校联考)如图是某市2019年3月1日至3月16日的空气质量指数折线统计图，空气质量指数(AQI)小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，则关于该市这16日的空气质量下列说法不正确的是123456789101112√解析 12日、13日、14日、15日连续4天空气重度污染，故A正确；123456789101112相邻两天空气质量指数之差的最大值为7日和8日之差260－83＝177，故D不正确.7.某中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则n－m的值是
A.5 B.6 C.7 D.8√123456789101112解析 由甲组学生成绩的平均数是88，由乙组学生成绩的中位数是89，可得n＝9，所以n－m＝6.8.(频率分布直方图意义不清易错)
有一个容量为200的样本，样本数据分组为[50,70)，[70,90)，[90,110)，[110,130)，[130,150]，其频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图可知样本数据落在区间[90,110)内的频数为123456789101112A.48 B.60 C.64 D.72√解析 由(0.005 0＋0.007 5＋0.010 0＋0.012 5＋a)×20＝1，
解得a＝0.015 0，
所以数据落在区间[90,110)内的频率为0.015 0×20＝0.3，
所以数据落在区间[90,110)内的频数为200×0.3＝60.123456789101112解析 因为M＝{(x，y)|(|x|－1)2＋(|y|－1)2＜4，x，y∈Z}，
所以M＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，
所以集合M中元素的个数为5×5＝25.
因为xy＝1的情况有2种，xy＝2的情况有4种，xy＝4的情况有2种，
其余情况均为xy≤0，212345678910111210.某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据如表所示.1234567891011125.25当x＝7时，估计y的值为0.7×7＋0.35＝5.25.11.某校对全校学生过马路方式进行调查.在所有参与调查的人中，“跟从别人闯红灯”“从不闯红灯”“带头闯红灯”人数如表所示.123456789101112(1)在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n人，已知在“跟从别人闯红灯”的人中抽取了45人，求n的值；123456789101112(2)在“带头闯红灯”的人中，将男生的200人编号为1,2，…，200；将女生的300人编号为201,202，…，500.用系统抽样的方法抽取4人参加“文明交通”宣传活动.若抽取的第一个人的编号为100，请指出抽取的另外三个号码；所以由系统抽样得到的号码分别为100,225,350,475.解 其中100号为男生，设为A，而225,350,475都为女生，分别设为B1，B2，B3.
从这4人中任选2人所有的基本事件为(A，B1)，(A，B2)，(A，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共有6个.
这2人均是女生的基本事件为(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共有3个，故从这4人中任选2人，123456789101112(3)在(2)的前提下，把抽取的4人看成一个总体，从这4人中任选2人，求这2人均是女生的概率.12.(2019·烟台模拟)2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设.某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间X(单位：小时)并绘制了如图所示的频率分布直方图.123456789101112解 该组数据的平均数123456789101112因为0.03＋0.1＋0.2＝0.33<0.5，
0.03＋0.1＋0.2＋0.35＝0.68＞0.5，
所以中位数a∈[8.5,9.5)，由0.03＋0.1＋0.2＋(a－8.5)×0.35＝0.5，(2)为查找影响学生阅读时间的因素，学校团委决定从每周阅读时间为[6.5,7,5)，[7.5,8.5)的学生中抽取9名参加座谈会.
①你认为这9个名额应该怎么分配？并说明理由；123456789101112解 从每周阅读时间为[6.5,7.5)的学生中抽取3名，从每周阅读时间为[7.5,8.5)的学生中抽取6名.
理由：每周阅读时间为[6.5,7.5)与每周阅读时间为[7.5,8.5)是差异明显的两层，为保持样本结构与总体结构的一致性，提高样本的代表性，宜采用分层抽样的方法抽取样本；因为两者频率分别为0.1,0.2，所以按照1∶2进行名额分配.②座谈中发现9名学生中理工类专业的较多，请根据200名学生的调研数据，填写下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为学生阅读时间不足(每周阅读时间不足8.5小时)与“是否为理工类专业”有关？123456789101112临界值表：123456789101112解 由频率分布直方图可知，阅读时间不足8.5小时的学生共有200×(0.03＋0.1＋0.2)＝66(人)，超过8.5小时的共有200－66＝134(人).
于是列联表为：所以有95%的把握认为学生阅读时间不足与“是否为理工类专业”有关.123456789101112第四篇 本课结束 热点回扣6 概率与统计
1．随机事件之间的关系有哪些？
答案 (1)必然事件Ω，P(Ω)＝1；
不可能事件?，P(?)＝0.
(2)包含关系：A?B，“如果事件A发生则事件B一定发生”称事件B包含事件A.
(3)事件的和(并)：A＋B或A∪B，“事件A与事件B至少有一个发生”叫做事件A与事件B的和(并)事件．
(4)事件的积(交)：AB或A∩B，“事件A与事件B同时发生”叫做事件A与事件B的积(交)事件．
(5)互斥事件：“事件A与事件B不能同时发生”叫做事件A，事件B互斥，P(AB)＝0.
(6)对立事件：A∪＝Ω，A∩＝?.
2．概率的计算公式
(1)古典概型的概率计算公式
P(A)＝＝.
(2)几何概型的概率计算公式
P(A)＝.
(3)若A，B互斥，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．
(4)P(A)＝1－P()．
3．常用的抽样方法有哪几种？
答案 简单随机抽样、系统抽样、分层抽样．
4．统计中有哪些数字特征？
答案 众数、中位数、平均数、极差、方差(标准差)．
5．线性回归
线性回归方程＝x＋一定过样本点的中心(，)．
6．独立性检验
利用随机变量K2＝来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．如果K2的观测值k越大，说明“两个分类变量有关系”的可能性越大．
(1)古典概型中基本事件个数的确定方法
方法
适用条件
列表法
此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验，也可看成是坐标法
树状图法
树状图是进行列举的一种常用方法，适合于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件数的探求
(2)频率分布直方图中的众数、中位数、平均数
①最高的小长方形底边中点的横坐标为众数；
②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；
③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．
(3)相关系数r可以表示两个变量间的相关性
当r＞0时，表明两个变量正相关；
当r＜0时，表明两个变量负相关．
r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．
r的绝对值越接近于0时，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．
1．(事件关系不清易错)
设命题甲：“事件A与事件B是对立事件”，命题乙：“概率满足P(A)＋P(B)＝1”，则甲是乙的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 若事件A与事件B是对立事件，则A∪B为必然事件，再由概率的加法公式得P(A)＋P(B)＝1.设掷一枚硬币3次，事件A：“至少出现一次正面”，事件B：“3次出现正面”，则P(A)＝，P(B)＝，满足P(A)＋P(B)＝1，但A，B不是对立事件．
2．从两名男生和两名女生中任意选两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名女生、星期日安排一名男生的概率为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 两名男生分别记为A1，A2，两名女生分别记为B1，B2，任意选两人在星期六、星期日参加公益活动有A1A2，A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，B1B2，A2A1，B1A1，B2A1，B1A2，B2A2，B2B1，共12种情况，而星期六安排一名女生、星期日安排一名男生有B1A1，B2A1，B1A2，B2A2，共4种情况，故所求概率P＝＝.
3．(基本事件不明易错)
已知集合A＝{x|x2＋2x－3＜0}，B＝{x|(x＋2)(x－3)＜0}，设(a，b)为有序实数对，其中a是从集合A中任取的一个整数，b是从集合B中任取的一个整数，则“a－b∈A∪B”的概率为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 由已知得A＝{x|－3＜x＜1}，B＝{x|－2＜x＜3}，因为a，b∈Z，且a∈A，b∈B，所以a∈{－2，－1,0}，b∈{－1,0,1,2}，a－b共有12个结果，即12个基本事件：－1，－2，－3，－4,0，－1，－2，－3,1,0，－1，－2，又A∪B＝(－3,3)，设事件E为“a－b∈A∪B”，则事件E包含9个基本事件，故事件E发生的概率P(E)＝＝.
4.(面积关系不清易错)
在平面直角坐标系中，圆O被y＝sin x的图象分割为两个对称的鱼形图案，图中的两个一黑一白的小圆称为“鱼眼”，已知小圆的半径均为1，现在大圆内随机投放一点，则此点投放到“鱼眼”部分的概率为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 由函数y＝sinx的图象可得函数的周期为＝6，即大圆的半径为3，设“此点投放到‘鱼眼’部分”为事件A，由几何概型的概率计算公式可得P(A)＝＝＝.
5．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为( )
A．134石 B．169石 C．338石 D．1 365石
答案 B
解析 这批米内夹谷约为×1 534≈169(石)．
6．(2019·湘赣十四校联考)如图是某市2019年3月1日至3月16日的空气质量指数折线统计图，空气质量指数(AQI)小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，则关于该市这16日的空气质量下列说法不正确的是( )
A．出现过连续4天空气质量重度污染
B．空气重度污染的频率为0.5
C．空气质量指数的平均值小于200
D．相邻两天空气质量指数之差的最大值195
答案 D
解析 12日、13日、14日、15日连续4天空气重度污染，故A正确；这16日空气重度污染的频率为＝0.5，故B正确；＝200＋[14＋75＋43＋(－43)＋(－120)＋(－48)＋60＋(－117)＋(－40)＋(－21)＋(－62)＋14＋21＋63＋23＋(－8)]＜200(也可根据图形判断，8个数据大于200,8个数据小于200，小于200的8个数据整体与200相差较大)，故C正确；相邻两天空气质量指数之差的最大值为7日和8日之差260－83＝177，故D不正确．
7.某中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则n－m的值是( )
A．5 B．6 C．7 D．8
答案 B
解析 由甲组学生成绩的平均数是88，可得[70＋80×3＋90×3＋(8＋4＋6＋8＋2＋m＋5)]＝88，解得m＝3.由乙组学生成绩的中位数是89，可得n＝9，所以n－m＝6.
8．(频率分布直方图意义不清易错)
有一个容量为200的样本，样本数据分组为[50,70)，[70,90)，[90,110)，[110,130)，[130,150]，其频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图可知样本数据落在区间[90,110)内的频数为( )
A．48 B．60 C．64 D．72
答案 B
解析 由(0.005 0＋0.007 5＋0.010 0＋0.012 5＋a)×20＝1，
解得a＝0.015 0，
所以数据落在区间[90,110)内的频率为0.015 0×20＝0.3，
所以数据落在区间[90,110)内的频数为200×0.3＝60.
9．(概型理解错误)
从集合M＝{(x，y)|(|x|－1)2＋(|y|－1)2＜4，x，y∈Z}中随机取一个点P(x，y)，若xy≥k(k＞0)的概率为，则k的最大值是________．
答案 2
解析 因为M＝{(x，y)|(|x|－1)2＋(|y|－1)2＜4，x，y∈Z}，所以M＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，所以集合M中元素的个数为5×5＝25.因为xy＝1的情况有2种，xy＝2的情况有4种，xy＝4的情况有2种，其余情况均为xy≤0，所以要使xy≥k(k＞0)的概率为，需1＜k≤2，所以k的最大值为2.
10．某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据如表所示．
x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
根据表中数据得出y关于x的线性回归方程为＝0.7x＋.若生产7吨产品，预计相应的生产能耗为______吨．
答案 5.25
解析 本题考查线性回归方程．由题意得＝4.5，＝3.5，代入线性回归方程得3.5＝0.7×4.5＋，解得＝0.35，则线性回归方程为＝0.7x＋0.35.当x＝7时，估计y的值为0.7×7＋0.35＝5.25.
11．某校对全校学生过马路方式进行调查．在所有参与调查的人中，“跟从别人闯红灯”“从不闯红灯”“带头闯红灯”人数如表所示.
跟从别人闯红灯
从不闯红灯
带头闯红灯
男生
800
450
200
女生
100
150
300
(1)在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n人，已知在“跟从别人闯红灯”的人中抽取了45人，求n的值；
(2)在“带头闯红灯”的人中，将男生的200人编号为1,2，…，200；将女生的300人编号为201,202，…，500.用系统抽样的方法抽取4人参加“文明交通”宣传活动．若抽取的第一个人的编号为100，请指出抽取的另外三个号码；
(3)在(2)的前提下，把抽取的4人看成一个总体，从这4人中任选2人，求这2人均是女生的概率．
解 (1)由题意得＝，解得n＝100.
(2)＝125，所以系统抽样抽取4人，需分成4组，每组125人，所以由系统抽样得到的号码分别为100,225,350,475.
(3)其中100号为男生，设为A，而225,350,475都为女生，分别设为B1，B2，B3.从这4人中任选2人所有的基本事件为(A，B1)，(A，B2)，(A，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共有6个．
这2人均是女生的基本事件为(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共有3个，故从这4人中任选2人，这2人均是女生的概率P＝＝.
12．(2019·烟台模拟)2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间X(单位：小时)并绘制了如图所示的频率分布直方图．
(1)求这200名学生每周阅读时间的平均数和中位数a(a的值精确到0.01)；
(2)为查找影响学生阅读时间的因素，学校团委决定从每周阅读时间为[6.5,7,5)，[7.5,8.5)的学生中抽取9名参加座谈会．
①你认为这9个名额应该怎么分配？并说明理由；
②座谈中发现9名学生中理工类专业的较多，请根据200名学生的调研数据，填写下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为学生阅读时间不足(每周阅读时间不足8.5小时)与“是否为理工类专业”有关？
阅读时间不足8.5小时
阅读时间超过8.5小时
总计
理工类专业
40
60
非理工类专业
总计
附：K2＝(n＝a＋b＋c＋d)．
临界值表：
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
解 (1)该组数据的平均数
＝6×0.03＋7×0.1＋8×0.2＋9×0.35＋10×0.19＋11×0.09＋12×0.04＝9.
因为0.03＋0.1＋0.2＝0.33<0.5，
0．03＋0.1＋0.2＋0.35＝0.68＞0.5，
所以中位数a∈[8.5,9.5)，
由0.03＋0.1＋0.2＋(a－8.5)×0.35＝0.5，解得a＝＋8.5≈8.99.
(2)①从每周阅读时间为[6.5,7.5)的学生中抽取3名，从每周阅读时间为[7.5,8.5)的学生中抽取6名．
理由：每周阅读时间为[6.5,7.5)与每周阅读时间为[7.5,8.5)是差异明显的两层，为保持样本结构与总体结构的一致性，提高样本的代表性，宜采用分层抽样的方法抽取样本；因为两者频率分别为0.1,0.2，所以按照1∶2进行名额分配．
②由频率分布直方图可知，阅读时间不足8.5小时的学生共有200×(0.03＋0.1＋0.2)＝66(人)，超过8.5小时的共有200－66＝134(人)．
于是列联表为：
阅读时间不足8.5小时
阅读时间超过8.5小时
总计
理工类专业
40
60
100
非理工类专业
26
74
100
总计
66
134
200
K2的观测值k＝≈4.432＞3.841，
所以有95%的把握认为学生阅读时间不足与“是否为理工类专业”有关．
