课件28张PPT。第四篇 热点回扣7函数与导数回扣必考知识栏目索引牢记常用结论精练易错考点回扣必考知识1.判断函数单调性，有哪些常用方法？答案 判断函数单调性的常用方法：
(1)能画出图象的，一般用数形结合法去观察.
(2)由基本初等函数通过加减运算或复合而成的函数，常转化为基本初等函数的单调性判断问题.
(3)对于解析式较复杂的，一般用导数.
(4)对于抽象函数，一般用定义法.2.求函数最值(值域)，有哪些常用方法？答案 求函数最值(值域)的常用方法：
(1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数.
(2)图象法：适合于已知或易作出图象的函数.
(3)基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数.
(4)导数法：适合于可求导数的函数.3.判断函数零点个数有哪些方法？答案 (1)解方程法：若对应方程f(x)＝0可解，通过解方程，则方程有几个解就对应有几个零点.
(2)函数零点的存在性定理法：利用定理不仅要判断函数图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数的零点个数.
(3)数形结合法：合理转化为两个函数的图象(易画出图象)的交点个数问题.先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数.4.指数函数与对数函数的基本性质
(1)过定点：y＝ax(a＞0，且a≠1)恒过点 ，y＝logax(a＞0，且a≠1)恒过点 .
(2)单调性：当a＞1时，y＝ax在R上单调 ；y＝logax在 上单调递增；
当0＜a＜1时，y＝ax在R上单调 ；y＝logax在 上单调递减.
5.导数的几何意义
f′(x0)的几何意义：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，该切线的方程为
.(0,1)(1,0)(0，＋∞)递增递减(0，＋∞)y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)6.用导数研究函数单调性的基本步骤是什么？答案 (1)确定函数y＝f(x)的定义域.
(2)求导数y′＝f′(x).
(3)解方程f′(x)＝0在定义域内的所有实根.
(4)将函数y＝f(x)的间断点(即函数无定义点)的横坐标和使f′(x)＝0的实数根按从小到大的顺序排列起来，将定义域分成若干个小区间.
(5)确定f′(x)在各个小区间内的符号，由此确定每个区间的单调性.牢记常用结论(1)函数图象的变换：
①作函数y＝f(x)的图象关于x轴对称的图形，得到函数y＝－f(x)的图象.
②作函数y＝f(x)的图象关于y轴对称的图形，得到函数y＝f(－x)的图象.
③作函数y＝f(x)的图象关于原点对称的图形，得到函数y＝－f(－x)的图象.
④将函数y＝f(x)在x轴及上方的图象保留，下方的图象折上去，得到函数y＝|f(x)|的图象.
⑤将函数y＝f(x)在y轴及右侧的图象保留，去掉y轴左侧的图象，再把右侧图象复制并翻折到左侧去，得到函数y＝f(|x|)的图象.(3)函数图象的对称性：(4)函数的周期性：
①若函数y＝f(x)在x∈R上有f(x＋a)＝f(x－a)恒成立，则f(x)的周期为2|a|.(5)证明不等式
①两个经典不等式
ex≥x＋1，
ln x≤x－1.
②证明f(x)＜g(x)，即f(x)的图象恒在g(x)的图象的下方，应构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，再证明h(x)最大值＜0成立.精练易错考点1.(定义域考虑不周全易错)√1234567891011122.(分段函数意义不明易错)A.－2 B.4 C.2 D.－4√123456789101112123456789101112√即a>b>c.A.(－1,0) B.(0,1) C.(－∞，0) D.(－∞，0)∪(1，＋∞)√解析 因为f(x)为奇函数，且f(x)在x＝0处有意义，
所以f(0)＝ln(2＋a)＝0，即a＝－1.1234567891011125.(导数计算思路不清易错)
已知函数f(x)＝(x2＋2)(ax2＋b)，且f′(1)＝2，则f′(－1)等于
A.－1 B.－2 C.2 D.0√123456789101112解析 f(x)＝(x2＋2)(ax2＋b)＝ax4＋(2a＋b)x2＋2b，
则f′(x)＝4ax3＋2(2a＋b)x为奇函数，
所以f′(－1)＝－f′(1)＝－2.6.函数y＝f(x)的图象在点P(5，f(5))处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)等于
A.1 B.2 C.3 D.4√解析 由切线斜率可知f′(5)＝－1，
又P(5，f(5))在切线上，∴f(5)＝－5＋8＝3，
∴f(5)＋f′(5)＝3－1＝2.1234567891011127.(函数单调性条件不清易错)
若函数f(x)＝ln x－kx在(1，＋∞)上单调递减，则k的最小值是
A.1 B.－1 C.2 D.－2√123456789101112又f(x)在(1，＋∞)上单调递减，故k≥1，所以k的最小值为1.8.若f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围是
A.(－1,2) B.(－∞，－1)∪(2，＋∞)
C.(－3,6) D.(－∞，－3)∪(6，＋∞)√123456789101112解析 f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1，
则f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6).
因为f(x)有极大值和极小值，
所以f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)＝0有两个不等的实数根.
所以Δ＝4a2－12(a＋6)>0，
即a2－3a－18>0，解得a<－3或a>6.
所以所求a的取值范围是(－∞，－3)∪(6，＋∞).9.(函数零点思路不明致误)123456789101112(0,1)由于函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，
结合图象得0＜m＜1，即m∈(0,1).10.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋2)＝f(x).当0＜x≤1时，f(x)＝x3－ax＋1，则实数a的值为____.1234567891011122解析 ∵f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋2)＝f(x)，
∴当x＝－1时，f(－1＋2)＝f(－1)＝f(1)，即－f(1)＝f(1)，则f(1)＝0，
∵当0＜x≤1时，f(x)＝x3－ax＋1，
∴f(1)＝1－a＋1＝0，得a＝2.123456789101112(1)当a＝0时，求函数f(x)的单调区间；解 f(x)的定义域为(0，＋∞)，令f′(x)＞0得x＞1，令f′(x)＜0得0＜x＜1.
所以f(x)的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1).(2)若函数f(x)在x＝1处取得极大值，求实数a的取值范围.123456789101112①当a≤e时，x∈(1，＋∞)，则ex－a≥ex－e＞0.函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，函数f(x)在x＝1处不可能取得极大值.
②当a＞e时，ln a＞1.
在x∈(0，ln a)上，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况列表如下：123456789101112函数f(x)在x＝1处取得极大值.
综上可知，a的取值范围是(e，＋∞).12345678910111212.已知函数f(x)＝axln x－x＋1，a∈R.
(1)讨论f(x)的单调区间；解 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝aln x＋a－1.
①当a＝0时，f′(x)＝－1＜0，此时f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)；123456789101112(2)当p＞q＞1时，证明：qln p＋ln q＜pln q＋ln p.123456789101112由(1)知，f(x)＝xln x－x＋1在(1，＋∞)内单调递增，
又f(1)＝0，所以当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0，
所以xln x－x＋1＞0，即x－1－xln x<0，从而，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＜0，
因此g(x)在(1，＋∞)内单调递减.故当p＞q＞1时，qln p＋ln q＜pln q＋ln p.123456789101112第四篇 本课结束 热点回扣7 函数与导数
1．判断函数单调性，有哪些常用方法？
答案 判断函数单调性的常用方法：
(1)能画出图象的，一般用数形结合法去观察．
(2)由基本初等函数通过加减运算或复合而成的函数，常转化为基本初等函数的单调性判断问题．
(3)对于解析式较复杂的，一般用导数．
(4)对于抽象函数，一般用定义法．
2．求函数最值(值域)，有哪些常用方法？
答案 求函数最值(值域)的常用方法：
(1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数．
(2)图象法：适合于已知或易作出图象的函数．
(3)基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数．
(4)导数法：适合于可求导数的函数．
3．判断函数零点个数有哪些方法？
答案 (1)解方程法：若对应方程f(x)＝0可解，通过解方程，则方程有几个解就对应有几个零点．
(2)函数零点的存在性定理法：利用定理不仅要判断函数图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数的零点个数．
(3)数形结合法：合理转化为两个函数的图象(易画出图象)的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数．
4．指数函数与对数函数的基本性质
(1)过定点：y＝ax(a＞0，且a≠1)恒过点(0,1)，
y＝logax(a＞0，且a≠1)恒过点(1,0)．
(2)单调性：当a＞1时，y＝ax在R上单调递增；y＝logax在(0，＋∞)上单调递增；
当0＜a＜1时，y＝ax在R上单调递减；y＝logax在(0，＋∞)上单调递减．
5．导数的几何意义
f′(x0)的几何意义：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，该切线的方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．
6．用导数研究函数单调性的基本步骤是什么？
答案 (1)确定函数y＝f(x)的定义域．
(2)求导数y′＝f′(x)．
(3)解方程f′(x)＝0在定义域内的所有实根．
(4)将函数y＝f(x)的间断点(即函数无定义点)的横坐标和使f′(x)＝0的实数根按从小到大的顺序排列起来，将定义域分成若干个小区间．
(5)确定f′(x)在各个小区间内的符号，由此确定每个区间的单调性．
(1)函数图象的变换：
①作函数y＝f(x)的图象关于x轴对称的图形，得到函数y＝－f(x)的图象．
②作函数y＝f(x)的图象关于y轴对称的图形，得到函数y＝f(－x)的图象．
③作函数y＝f(x)的图象关于原点对称的图形，得到函数y＝－f(－x)的图象．
④将函数y＝f(x)在x轴及上方的图象保留，下方的图象折上去，得到函数y＝|f(x)|的图象．
⑤将函数y＝f(x)在y轴及右侧的图象保留，去掉y轴左侧的图象，再把右侧图象复制并翻折到左侧去，得到函数y＝f(|x|)的图象．
(2)对勾函数y＝x＋(m＞0)的单调性：
函数y＝x＋(m＞0)在区间(0，)上是减函数，在[，＋∞)上为增函数．
(3)函数图象的对称性：
若函数f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝对称；
若函数f(x)满足f(a＋x)＝－f(b－x)，则函数f(x)的图象关于点对称．
(4)函数的周期性：
①若函数y＝f(x)在x∈R上有f(x＋a)＝f(x－a)恒成立，则f(x)的周期为2|a|.
②若函数y＝f(x)在x∈R上有f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝±，则f(x)的周期为2|a|.
(5)证明不等式
①两个经典不等式
ex≥x＋1，
ln x≤x－1.
②证明f(x)＜g(x)，即f(x)的图象恒在g(x)的图象的下方，应构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，再证明h(x)最大值＜0成立．
1．(定义域考虑不周全易错)
函数f(x)＝log2(1－2x)＋的定义域为( )
A. B.
C．(－1,0)∪ D．(－∞，－1)∪
答案 D
解析 由1－2x＞0，且x＋1≠0，得x＜且x≠－1，所以函数f(x)＝log2(1－2x)＋的定义域为(－∞，－1)∪.
2．(分段函数意义不明易错)
已知f(x)＝则f＋f的值等于( )
A．－2 B．4 C．2 D．－4
答案 B
解析 由题意得f?＝2×＝，
f?＝f?＝f?＝2×＝，
所以f?＋f?＝4.
3．(基本初等函数单调性不清易错)
已知a＝，b＝－0.5，c＝，则a，b，c的大小关系是( )
A．c>b>a B．b>a>c
C．a>b>c D．b>c>a
答案 C
解析 幂函数y＝在上是减函数，
又0.2<<2，∴>－0.5>，
即a>b>c.
4．设f(x)＝ln是奇函数，且在x＝0处有意义，则使f(x)＜0的x的取值范围是( )
A．(－1,0) B．(0,1)
C．(－∞，0) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
答案 A
解析 因为f(x)为奇函数，且f(x)在x＝0处有意义，
所以f(0)＝ln(2＋a)＝0，即a＝－1.
所以f(x)＝ln＝ln，
令f(x)＝ln ＜0，
即0＜＜1，解得－1＜x＜0.
5．(导数计算思路不清易错)
已知函数f(x)＝(x2＋2)(ax2＋b)，且f′(1)＝2，则f′(－1)等于( )
A．－1 B．－2 C．2 D．0
答案 B
解析 f(x)＝(x2＋2)(ax2＋b)＝ax4＋(2a＋b)x2＋2b，则f′(x)＝4ax3＋2(2a＋b)x为奇函数，所以f′(－1)＝－f′(1)＝－2.
6．函数y＝f(x)的图象在点P(5，f(5))处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 由切线斜率可知f′(5)＝－1，
又P(5，f(5))在切线上，∴f(5)＝－5＋8＝3，
∴f(5)＋f′(5)＝3－1＝2.
7．(函数单调性条件不清易错)
若函数f(x)＝ln x－kx在(1，＋∞)上单调递减，则k的最小值是( )
A．1 B．－1 C．2 D．－2
答案 A
解析 由f′(x)＝－k(x>0)，
又f(x)在(1，＋∞)上单调递减，
则f′(x)≤0在(1，＋∞)上恒成立，即k≥在(1，＋∞)上恒成立．
又当x∈(1，＋∞)时，0<<1，
故k≥1，所以k的最小值为1.
8．若f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围是( )
A．(－1,2) B．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
C．(－3,6) D．(－∞，－3)∪(6，＋∞)
答案 D
解析 f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1，
则f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)．
因为f(x)有极大值和极小值，
所以f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)＝0有两个不等的实数根．
所以Δ＝4a2－12(a＋6)>0，
即a2－3a－18>0，解得a<－3或a>6.
所以所求a的取值范围是(－∞，－3)∪(6，＋∞)．
9．(函数零点思路不明致误)
已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．
答案 (0,1)
解析 作出f(x)＝的图象如图所示．
由于函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，结合图象得0＜m＜1，即m∈(0,1)．
10．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋2)＝f(x)．当0＜x≤1时，f(x)＝x3－ax＋1，则实数a的值为________．
答案 2
解析 ∵f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋2)＝f(x)，
∴当x＝－1时，f(－1＋2)＝f(－1)＝f(1)，即－f(1)＝f(1)，则f(1)＝0，
∵当0＜x≤1时，f(x)＝x3－ax＋1，
∴f(1)＝1－a＋1＝0，得a＝2.
11．(2019·北京丰台区模拟)已知函数f(x)＝－－aln x.
(1)当a＝0时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在x＝1处取得极大值，求实数a的取值范围．
解 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
当a＝0时，f(x)＝，f′(x)＝，
令f′(x)＞0得x＞1，令f′(x)＜0得0＜x＜1.
所以f(x)的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1)．
(2)f′(x)＝.
①当a≤e时，x∈(1，＋∞)，则ex－a≥ex－e＞0.
此时f′(x)＝>0，
函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，
函数f(x)在x＝1处不可能取得极大值．
②当a＞e时，ln a＞1.
在x∈(0，ln a)上，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况列表如下：
x
(0,1)
1
(1，ln a)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
↗
极大值
↘
函数f(x)在x＝1处取得极大值．
综上可知，a的取值范围是(e，＋∞)．
12．已知函数f(x)＝axln x－x＋1，a∈R.
(1)讨论f(x)的单调区间；
(2)当p＞q＞1时，证明：qln p＋ln q＜pln q＋ln p.
(1)解 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝aln x＋a－1.
①当a＝0时，f′(x)＝－1＜0，此时f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)；
②当a＞0时，由f′(x)＞0得x＞，由f′(x)＜0得0＜x＜，
此时f(x)的单调递增区间为(，＋∞)，单调递减区间为(0，)；
③当a＜0时，由f′(x)＜0得x＞，由f′(x)＞0得0＜x＜，
此时f(x)的单调递减区间为(，＋∞)，单调递增区间为(0，)．
(2)证明 设g(x)＝(x＞1)，
则g′(x)＝，
由(1)知，f(x)＝xln x－x＋1在(1，＋∞)内单调递增，
又f(1)＝0，所以当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0，
所以xln x－x＋1＞0，即x－1－xln x<0，
所以g′(x)＝＜0.
从而，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＜0，
因此g(x)在(1，＋∞)内单调递减．
所以当p＞q＞1时，g(p)故当p＞q＞1时，qln p＋ln q＜pln q＋ln p.
