课件23张PPT。第四篇 热点回扣8坐标系与参数方程回扣必考知识栏目索引牢记常用结论精练易错考点回扣必考知识1.极坐标系下如何确定点的坐标？答案 对于平面上任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，用θ表示从Ox到OM的角度，ρ叫做M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对(ρ，θ)就叫做M的极坐标.特别强调：ρ表示线段OM的长度，即点M到极点O的距离；θ表示从Ox到OM的角度，即以Ox(极轴)为始边，OM为终边的角.2.常见曲线的极坐标方程.ρ＝r(0≤θ＜2π)ρ＝2rsin θ(0≤θ＜π)ρsin θ＝a(0＜θ＜π)3.什么是参数方程，参数方程和普通方程如何进行互化？答案 参数方程的概念：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐
标x，y都是某个变数t的函数 ①并且对于t的每一个允许值，由方程组①所确
定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程组①就叫做这条曲线的参数方程，联系变
数x，y的变数t叫做参变数，简称参数，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.
曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地可以通过消去参数而从参数方程中得到普通方程.在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致.4.常见曲线的参数方程.牢记常用结论(1)极坐标与直角坐标互化，前提条件下：①极点与原点重合；②极轴与x轴的正半轴重合；③取相同的单位长度.直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换.(注：记住常见的形式，P是定点，通常A，B是直线与曲线的交点，P，A，B三点在直线上)
特别提醒：直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且其几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离，即|M0M|＝|t|.直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t1，t2，则弦长l＝|t1－t2|.精练易错考点1.(参数方程化为普通方程易错)1234(1)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；解 消去参数t，得到圆C的普通方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9.1234得到ρsin θ－ρcos θ－m＝0.
所以直线l的直角坐标方程为x－y＋m＝0.(2)设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值.1234解 依题意知，圆心C到直线l的距离等于2，2.(极坐标意义不明易错)1234(1)求C1与C2交点的直角坐标；解 曲线C1的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，1234(2)若l与C1相交于点A，l与C2相交于点B，求|AB|的最大值.1234解 直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，
其中0≤α＜π.3.(不理解参数几何意义致错)(1)求曲线C的直角坐标方程；12341234解 过点P(1,0)且倾斜角为45°的直线l，则此方程的两实数根t1和t2为点A，B对应的参数，12344.(极坐标方程意义不清易错)1234(1)写出射线l的极坐标方程以及曲线C1的普通方程；1234(2)已知射线l与C2交于O，M，与C3交于O，N，求|MN|的值.1234解 曲线C2的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4，
转换为极坐标方程为ρ＝4sin θ，
曲线C3的极坐标方程为ρ＝8sin θ，第四篇 本课结束 热点回扣8 坐标系与参数方程
1．极坐标系下如何确定点的坐标？
答案 对于平面上任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，用θ表示从Ox到OM的角度，ρ叫做M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对(ρ，θ)就叫做M的极坐标．
特别强调：ρ表示线段OM的长度，即点M到极点O的距离；θ表示从Ox到OM的角度，即以Ox(极轴)为始边，OM为终边的角．
2．常见曲线的极坐标方程．
曲线
图形
极坐标方程
圆心在极点，半径为r的圆
ρ＝r(0≤θ＜2π)
圆心为(r,0)，半径为r的圆
ρ＝2rcos θ
圆心为，半径为r的圆
ρ＝2rsin θ(0≤θ＜π)
过极点，倾斜角为α的直线
(1)θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)
(2)θ＝α(ρ≥0)和θ＝π＋α(ρ≥0)
过点(a,0)，与极轴垂直的直线
ρcos θ＝a
过点，与极轴平行的直线
ρsin θ＝a(0＜θ＜π)
3.什么是参数方程，参数方程和普通方程如何进行互化？
答案 参数方程的概念：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数①并且对于t的每一个允许值，由方程组①所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程组①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．
曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地可以通过消去参数而从参数方程中得到普通方程．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．
4．常见曲线的参数方程．
曲线
普通方程
参数方程
直线
y－y0＝tan α(x－x0)
(t为参数)
圆
x2＋y2＝r2
(θ为参数)
椭圆
＋＝1(a＞b＞0)
(φ为参数)
抛物线
y2＝2px(p＞0)
(t为参数)
(1)极坐标与直角坐标互化，前提条件下：①极点与原点重合；②极轴与x轴的正半轴重合；③取相同的单位长度．直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．
(2)经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：
①t0＝；
②|PM|＝|t0|＝；
③|AB|＝|t2－t1|；
④|PA|·|PB|＝|t1·t2|；
⑤|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝
(注：记住常见的形式，P是定点，通常A，B是直线与曲线的交点，P，A，B三点在直线上)
特别提醒：直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且其几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离，即|M0M|＝|t|.直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t1，t2，则弦长l＝|t1－t2|.
1．(参数方程化为普通方程易错)
在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(t为参数)．在极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，直线l的方程为ρsin＝m(m∈R)．
(1)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；
(2)设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．
解 (1)消去参数t，得到圆C的普通方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9.
由ρsin＝m，
得到ρsin θ－ρcos θ－m＝0.
所以直线l的直角坐标方程为x－y＋m＝0.
(2)依题意知，圆心C到直线l的距离等于2，
即＝2，解得m＝－3±2.
2．(极坐标意义不明易错)
在平面直角坐标系xOy中，直线l：(t为参数，t≠0)，其中0≤α＜π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C1：ρ＝2sin θ，曲线C2：ρ＝2cos θ.
(1)求C1与C2交点的直角坐标；
(2)若l与C1相交于点A，l与C2相交于点B，求|AB|的最大值．
解 (1)曲线C1的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，
曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.
联立
解得或
所以C1与C2交点的直角坐标为(0,0)和.
(2)直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，
其中0≤α＜π.
因此A的极坐标为(2sin α，α)，B的极坐标为(2cos α，α)．
所以|AB|＝|2sin α－2cos α|
＝4.
所以当α＝时，|AB|取得最大值4.
3．(不理解参数几何意义致错)
(2019·咸阳模拟)以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2＝.
(1)求曲线C的直角坐标方程；
(2)设过点P(1,0)且倾斜角为45°的直线l和曲线C交于A，B两点，求＋的值．
解 (1)曲线C的极坐标方程为ρ2＝，转换为直角坐标方程为＋＝1.
(2)过点P(1,0)且倾斜角为45°的直线l，转换为参数方程为(t为参数)，
把直线的参数方程代入＋＝1，
得到t2＋3t－9＝0，
则此方程的两实数根t1和t2为点A，B对应的参数，
所以t1＋t2＝－，t1t2＝－，
所以＋＝＝＝.
4．(极坐标方程意义不清易错)
(2019·信阳模拟)在平面直角坐标系xOy中，射线l：y＝x(x≥0)，曲线C1的参数方程为(α为参数)，曲线C2的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为ρ＝8sin θ.
(1)写出射线l的极坐标方程以及曲线C1的普通方程；
(2)已知射线l与C2交于O，M，与C3交于O，N，求|MN|的值．
解 (1)射线l：y＝x(x≥0)，
转换为极坐标方程为θ＝(ρ≥0)．
曲线C1的参数方程为(α为参数)，转换为普通方程为＋＝1.
(2)曲线C2的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4，
转换为极坐标方程为ρ＝4sin θ，
曲线C3的极坐标方程为ρ＝8sin θ，
又由(1)知射线l的极坐标方程为θ＝(ρ≥0)，
所以M，N，
所以|MN|＝|ρ1－ρ2|＝＝2.
