课件17张PPT。第四篇 热点回扣9不等式选讲回扣必考知识栏目索引牢记常用结论精练易错考点回扣必考知识1.绝对值不等式的解法主要有哪些？答案 (1)整体法
对于可化为|ax＋b|＞c(c＞0)型的不等式，直接化为ax＋b＞c或ax＋b＜－c即可.
(2)零点取值分段讨论
①令每个绝对值符号里的一次式为0，求出相应的根；
②把这些根由小到大排序，它们把数轴分为若干个区间；
③在所分区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，讨论所得的不等式在这个区间上的解集；
④这些解集的并集就是原不等式的解集.
(3)数形结合法
(4)平方法
形如|x－a|≥|x－b|型不等式，也可以用平方法求解.2.绝对值不等式的性质
(1)如果a，b是实数，则||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
(2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立.3.常见的基本不等式有哪些形式？答案 (1)设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立.牢记常用结论(1)含绝对值的有解、恒成立问题的解法
①巧用“||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|”求最值.
②f(x)＜a恒成立?f(x)max＜a，
f(x)＞a恒成立?f(x)min＞a.
③f(x)＜a有解?f(x)min＜a，f(x)＞a有解?f(x)max＞a.(2)不等式证明过程中放缩法的常用技巧
放缩法证明不等式，变形技巧一般包括：
①缩小分母，扩大分子，分式值增大，缩小分子，扩大分母，分式值缩小；②增项、减项；③分子或分母有理化等.将分子或分母放大(缩小)：精练易错考点1.(解不等式方法选择不当易错)
解不等式|x－1|＋|x＋2|≥5.123解 方法一 如图，设数轴上与－2,1对应的点分别是A，B，123则不等式的解就是数轴上到A，B两点的距离之和不小于5的点所对应的实数.
点A，B之间的距离为3，显然，区间[－2,1]不是不等式的解集.
把点A向左移动一个单位长度到点A1，
此时|A1A|＋|A1B|＝1＋4＝5.
把点B向右移动一个单位长度到点B1，
此时|B1A|＋|B1B|＝5，
故原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞).方法二 由原不等式|x－1|＋|x＋2|≥5，解得x≤－3或x≥2，
所以原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞).
方法三 将原不等式转化为|x－1|＋|x＋2|－5≥0.作出函数的图象，如图所示，
由图象可知，当x∈(－∞，－3]∪[2，＋∞)时，f(x)≥0，
所以原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞).1232.(不能灵活变形易错)
(1)已知a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝3.123当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立.123证明 因为3|y|＝|3y|＝|2(x＋y)－(2x－y)|≤2|x＋y|＋|2x－y|，3.(2019·烟台模拟)已知函数f(x)＝|2x－1|－m|x＋2|.
(1)当m＝1时，求不等式f(x)≥2的解集；123解 当m＝1时，f(x)≥2?|2x－1|－|x＋2|≥2，
当x≤－2时，原不等式转化为1－2x＋x＋2≥2，解得x≤－2；综上，不等式的解集为{x|x≤－1或x≥5}.(2)若实数m使得不等式f(x－2)＞m在x∈[－1,1]恒成立，求m的取值范围.123123第四篇 本课结束 热点回扣9 不等式选讲
1．绝对值不等式的解法主要有哪些？
答案 (1)整体法
对于可化为|ax＋b|＞c(c＞0)型的不等式，直接化为ax＋b＞c或ax＋b＜－c即可．
(2)零点取值分段讨论
①令每个绝对值符号里的一次式为0，求出相应的根；
②把这些根由小到大排序，它们把数轴分为若干个区间；
③在所分区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，讨论所得的不等式在这个区间上的解集；
④这些解集的并集就是原不等式的解集．
(3)数形结合法
(4)平方法
形如|x－a|≥|x－b|型不等式，也可以用平方法求解．
2．绝对值不等式的性质
(1)如果a，b是实数，则||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
(2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．
3．常见的基本不等式有哪些形式？
答案 (1)设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
(2)如果a，b为正数，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立．
(3)如果a，b，c为正数，那么≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
(4)(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a1，a2，…，an为n个正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．
(1)含绝对值的有解、恒成立问题的解法
①巧用“||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|”求最值．
②f(x)＜a恒成立?f(x)max＜a，
f(x)＞a恒成立?f(x)min＞a.
③f(x)＜a有解?f(x)min＜a，f(x)＞a有解?f(x)max＞a.
(2)不等式证明过程中放缩法的常用技巧
放缩法证明不等式，变形技巧一般包括：
①缩小分母，扩大分子，分式值增大，缩小分子，扩大分母，分式值缩小；②增项、减项；③分子或分母有理化等．
例如：2＋＞2；
将分子或分母放大(缩小)：
＜，＞，
＜，
＞(k∈R，k＞1)等．
1．(解不等式方法选择不当易错)
解不等式|x－1|＋|x＋2|≥5.
解 方法一 如图，设数轴上与－2,1对应的点分别是A，B，则不等式的解就是数轴上到A，B两点的距离之和不小于5的点所对应的实数．
点A，B之间的距离为3，显然，区间[－2,1]不是不等式的解集．把点A向左移动一个单位长度到点A1，此时|A1A|＋|A1B|＝1＋4＝5.把点B向右移动一个单位长度到点B1，此时|B1A|＋|B1B|＝5，故原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．
方法二 由原不等式|x－1|＋|x＋2|≥5，
可得或
或解得x≤－3或x≥2，
所以原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．
方法三 将原不等式转化为|x－1|＋|x＋2|－5≥0.
令f(x)＝|x－1|＋|x＋2|－5，则f(x)＝
作出函数的图象，如图所示，
由图象可知，当x∈(－∞，－3]∪[2，＋∞)时，f(x)≥0，
所以原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．
2．(不能灵活变形易错)
(1)已知a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝3.证明：＋＋≥3；
(2)已知实数x，y满足：|x＋y|＜，|2x－y|＜，求证：|y|＜.
证明 (1)
＝1＋＋＋＋1＋＋＋＋1
≥3＋2＋2＋2＝9，
所以＋＋≥3，
当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立．
(2)因为3|y|＝|3y|＝|2(x＋y)－(2x－y)|≤2|x＋y|＋|2x－y|，
由题设知|x＋y|＜，|2x－y|＜，
从而3|y|＜＋＝，所以|y|＜.
3．(2019·烟台模拟)已知函数f(x)＝|2x－1|－m|x＋2|.
(1)当m＝1时，求不等式f(x)≥2的解集；
(2)若实数m使得不等式f(x－2)＞m在x∈[－1,1]恒成立，求m的取值范围．
解 (1)当m＝1时，f(x)≥2?|2x－1|－|x＋2|≥2，
当x≤－2时，原不等式转化为1－2x＋x＋2≥2，
解得x≤－2；
当－2＜x≤时，原不等式转化为1－2x－x－2≥2，
解得－2＜x≤－1；
当x＞时，原不等式转化为2x－1－x－2≥2，
解得x≥5.
综上，不等式的解集为{x|x≤－1或x≥5}．
(2)由已知得f(x－2)＝|2x－5|－m|x|＞m，
即m＜.
设g(x)＝，x∈[－1,1]，
由题意得m＜g(x)min.
当x∈[0,1]时，g(x)＝＝－2＋为减函数，
此时最小值为g(1)＝；
当x∈[－1,0)时，g(x)＝＝2－为增函数，
此时最小值为g(－1)＝.
又＜，所以g(x)min＝，
所以m的取值范围为.
