课件30张PPT。第四篇 热点回扣4立体几何回扣必考知识栏目索引牢记常用结论精练易错考点回扣必考知识1.画几何体的三视图有什么要求,已知三视图如何还原几何体?答案 画几何体三视图的要求:长对正,高平齐,宽相等.
已知三视图还原几何体注意以下几点:
(1)还原后的几何体一般为较熟悉的柱、锥、台、球的组合体.
(2)可利用长方体来还原几何体.
(3)注意图中实线、虚线实际是原几何体中的可视线与被遮挡线.
(4)想象原形,并画出草图,进行三视图还原,把握三视图和几何体之间的关系与所给三视图比较,通过调整,准确画出原几何体.2.柱、锥、台、球体的表面积和体积2πr2+2πrhπr2·hπr2+πrl4πr23.平行、垂直关系的转化
(1)平行问题的转化关系(2)垂直问题的转化关系(3)两个结论:4.如何求点到平面的距离?答案 (1)定义法:可用利用两个平面垂直作出点到平面的垂线段.
(2)等积法:可以通过换底法把距离问题转化为体积和面积的计算.牢记常用结论(1)棱锥的平行截面的性质:如果棱锥被平行于底面的平面所截,那么所得的截面与底面相似,截面面积与底面面积的比等于顶点到截面的距离与棱锥高的比的平方.
(2)长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(4)球与旋转体的组合通常作轴截面解题.如图所示,设球O的半径为R,截面圆O′的半径为r,M为截面圆上任一点,球心O到截面圆O′的距离为d,则在Rt△OO′M中,OM2=OO′2+O′M2,即R2=d2+r2.(5)构造平行的常见形式:三角形的中位线、平行四边形、利用比例关系证明两直线平行等.
(6)构造垂直的常见形式:等腰三角形底边上的中线,满足勾股定理的三角形,利用线面垂直的定义;利用结论:若a∥b,b⊥c,则a⊥c.精练易错考点1.(三视图理解不准易错)
一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为√解析 由三视图知该几何体的直观图如图所示.
该几何体是底面为等腰梯形的直四棱柱,1234567891011122.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是线段BC,CD1的中点,则直线A1B与直线EF的位置关系是
A.相交 B.异面 C.平行 D.垂直√123456789101112解析 因为在正方体中,BC∥A1D1且BC=A1D1,
所以四边形A1BCD1是平行四边形,所以A1B∥CD1,
又EF?平面A1BCD1,EF∩D1C=F,则A1B与EF相交.3.(线面关系认识不清易错)
如图,在四面体ABCD中,若截面PQMN是正方形,则下列结论中错误的是
A.AC⊥BD
B.AC∥截面PQMN
C.AC=BD
D.异面直线PM与BD所成的角为45°123456789101112√解析 ∵MN∥PQ,MN?平面ACD,PQ?平面ACD,∴PQ∥平面ACD.
又平面ACD∩平面ABC=AC,∴PQ∥AC,
从而AC∥截面PQMN,B正确;
同理可得MQ∥BD,∵MQ⊥PQ,PQ∥AC,
∵MQ⊥AC,∴AC⊥BD,A正确;
∵MQ∥BD,∠PMQ=45°,
∴异面直线PM与BD所成的角为45°,故D正确;
根据已知条件无法得到AC,BD长度之间的关系,故C错误.123456789101112√123456789101112解析 如图,∵PB⊥平面ABC,∴PB⊥AB,123456789101112又AB⊥BC,故把三棱锥P-ABC补形为长方体(图略),1234567891011125.封闭的直三棱柱ABC—A1B1C1内有一个体积为V的球,若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是√解析 由题意知,底面三角形的内切圆直径为4,三棱柱的高为3,6.过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A作直线l,使l与棱AB,AD,AA1所成的角都相等,这样的直线l可以作
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条√解析 如图,连接体对角线AC1,显然AC1与棱AB,AD,AA1所成的角都相等,联想正方体的其他体对角线,如连接BD1,
则BD1与棱BC,BA,BB1所成的角都相等,
∵BB1∥AA1,BC∥AD,
∴体对角线BD1与棱AB,AD,AA1所成的角都相等,
同理,体对角线A1C,DB1也与棱AB,AD,AA1所成的角都相等,
过A点分别作BD1,A1C,DB1的平行线都满足题意,故这样的直线l可以作4条.1234567891011127.(线面关系理解不清易错)
(2019·咸阳模拟)设a,b为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,则下列命题正确的是
A.若a∥α,b∥α,则a∥b B.若a?α,b?β,α∥β,则a∥b
C.若a∥α,a∥β,则α∥β D.若a⊥α,b⊥β,a⊥b,则α⊥β√123456789101112解析 在A中,若a∥α,b∥α,则a与b相交、平行或异面,故A错误;
在B中,若a?α,b?β,α∥β,则a与b平行或异面,故B错误;
在C中,若a∥α,a∥β,则α与β相交或平行,故C错误;
在D中,若a⊥α,b⊥β,a⊥b,则由面面垂直的判定定理得α⊥β,故D正确.8.如图所示,在四面体ABCD中,点M,N分别是△ACD,△BCD的重心,则四面体的四个面中与MN平行的是___________________.123456789101112平面ABC,平面ABD解析 连接AM并延长,交CD于点E,
连接BN,并延长交CD于F,由重心性质可知,
E,F重合为一点,且该点为CD的中点E,连接MN,所以MN∥平面ABC,且MN∥平面ABD.9.(线线角概念不清易错)
如图,平面ABCD⊥平面ADEF,其中,四边形ABCD为矩形,四边形ADEF为梯形,AF∥DE,AF⊥FE,AF=AD=2,DE=1.则异面直线EF与BC所成角的大小为_____.12345678910111230°解析 延长AD,FE交于Q,如图.
因为四边形ABCD是矩形,所以BC∥AD,
所以∠AQF是异面直线EF与BC所成的角.
在梯形ADEF中,
因为DE∥AF,AF⊥FE,AF=AD=2,DE=1,
所以DQ=AD=2,所以∠AQF=30°.
故异面直线EF与BC所成的角为30°.12345678910111210π解析 设圆锥的母线长为l,底面半径为r,则S=πrl+πr2=10π.123456789101112123456789101112①③④解析 作出折叠后的几何体的直观图如图所示:∵AD⊥平面BCDE,∴AD⊥BC,
又BC⊥CD,CD∩AD=D,CD,AD?平面ADC,
∴BC⊥平面ADC,∵BC∥DE,
∴∠ABC是异面直线AB,DE所成的角,123456789101112连接BD,CE,则CE⊥BD,
又AD⊥平面BCDE,CE?平面BCDE,∴CE⊥AD,
又BD∩AD=D,BD?平面ABD,AD?平面ABD,
∴CE⊥平面ABD,
又AB?平面ABD,∴CE⊥AB,故②错误;123456789101112由①知,BC⊥平面ADC,
又BC?平面ABC,∴平面ABC⊥平面ADC,故④正确.123456789101112(1)求证:BD⊥PA;证明 ∵翻折前,E,F分别是边CD,CB的中点,
∴BD∥EF,
∵菱形ABCD的对角线互相垂直,∴BD⊥AC,
∴EF⊥AC,∴翻折后,EF⊥AO,EF⊥PO,
∵AO?平面POA,PO?平面POA,AO∩PO=O,
∴EF⊥平面POA,∴BD⊥平面POA,
又PA?平面POA,∴BD⊥PA.123456789101112123456789101112(2)求四棱锥P—BFED的体积.123456789101112解 设AO∩BD=H.连接BO,
∵∠DAB=60°,∴△ABD为等边三角形,在△PBO中,BO2+PO2=10=PB2,∴PO⊥BO.
∵PO⊥EF,EF∩BO=O,EF?平面BFED,BO?平面BFED,∴PO⊥平面BFED,第四篇 本课结束 热点回扣4 立体几何
1.画几何体的三视图有什么要求,已知三视图如何还原几何体?
答案 画几何体三视图的要求:长对正,高平齐,宽相等.
已知三视图还原几何体注意以下几点:
(1)还原后的几何体一般为较熟悉的柱、锥、台、球的组合体.
(2)可利用长方体来还原几何体.
(3)注意图中实线、虚线实际是原几何体中的可视线与被遮挡线.
(4)想象原形,并画出草图,进行三视图还原,把握三视图和几何体之间的关系与所给三视图比较,通过调整,准确画出原几何体.
2.柱、锥、台、球体的表面积和体积
侧面展开图
表面积
体积
直棱柱
长方形
S=2S底+S侧
V=S底·h
圆柱
长方形
S=2πr2+2πrh
V=πr2·h
棱锥
由若干三角形构成
S=S底+S侧
V=S底·h
圆锥
扇形
S=πr2+πrl
V=πr2·h
棱台
由若干个梯形构成
S=S+S′+S侧
V=(S++S′)·h
圆台
扇环
S=πr′2+π·(r+r′)l+πr2
V=π(r2+rr′+r′2)·h
球
S=4πr2
V=πr3
3.平行、垂直关系的转化
(1)平行问题的转化关系
(2)垂直问题的转化关系
(3)两个结论:
对于直线a,b和平面α,?a∥b;?b⊥α .
4.如何求点到平面的距离?
答案 (1)定义法:可用利用两个平面垂直作出点到平面的垂线段.
(2)等积法:可以通过换底法把距离问题转化为体积和面积的计算.
(1)棱锥的平行截面的性质:如果棱锥被平行于底面的平面所截,那么所得的截面与底面相似,截面面积与底面面积的比等于顶点到截面的距离与棱锥高的比的平方.
(2)长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.
(3)正四面体的性质:设棱长为a,则正四面体的高h=a,内切球半径为a,外接球半径为a.
(4)球与旋转体的组合通常作轴截面解题.如图所示,设球O的半径为R,截面圆O′的半径为r,M为截面圆上任一点,球心O到截面圆O′的距离为d,则在Rt△OO′M中,OM2=OO′2+O′M2,即R2=d2+r2.
(5)构造平行的常见形式:三角形的中位线、平行四边形、利用比例关系证明两直线平行等.
(6)构造垂直的常见形式:等腰三角形底边上的中线,满足勾股定理的三角形,利用线面垂直的定义;利用结论:若a∥b,b⊥c,则a⊥c.
1.(三视图理解不准易错)
一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )
A.48 B.32+8
C.48+8 D.80
答案 C
解析 由三视图知该几何体的直观图如图所示.
该几何体是底面为等腰梯形的直四棱柱,底面腰长为=.
所以S表=42+2×4+×(2+4)×4×2+4××2=48+8.
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是线段BC,CD1的中点,则直线A1B与直线EF的位置关系是( )
A.相交 B.异面 C.平行 D.垂直
答案 A
解析 因为在正方体中,BC∥A1D1且BC=A1D1,
所以四边形A1BCD1是平行四边形,所以A1B∥CD1,
又EF?平面A1BCD1,EF∩D1C=F,则A1B与EF相交.
3.(线面关系认识不清易错)
如图,在四面体ABCD中,若截面PQMN是正方形,则下列结论中错误的是( )
A.AC⊥BD
B.AC∥截面PQMN
C.AC=BD
D.异面直线PM与BD所成的角为45°
答案 C
解析 ∵MN∥PQ,MN?平面ACD,PQ?平面ACD,∴PQ∥平面ACD.又平面ACD∩平面ABC=AC,∴PQ∥AC,从而AC∥截面PQMN,B正确;同理可得MQ∥BD,∵MQ⊥PQ,PQ∥AC,∵MQ⊥AC,∴AC⊥BD,A正确;∵MQ∥BD,∠PMQ=45°,∴异面直线PM与BD所成的角为45°,故D正确;根据已知条件无法得到AC,BD长度之间的关系,故C错误.
4.(球切接问题关系混乱易错)
(2019·呼和浩特模拟)已知三棱锥P-ABC中,PB⊥平面ABC,∠ABC=90°,PA=,AB=BC=1,则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为( )
A.12π B.6π C.24π D.
答案 B
解析 如图,
∵PB⊥平面ABC,∴PB⊥AB,∵AB=1,PA=,∴PB=2,又AB⊥BC,故把三棱锥P-ABC补形为长方体(图略),
则长方体体对角线长为=,
则三棱锥P-ABC外接球的半径为,
∴三棱锥P-ABC的外接球的表面积为4π×2=6π.
5.封闭的直三棱柱ABC—A1B1C1内有一个体积为V的球,若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是( )
A.4π B. C.6π D.
答案 B
解析 由题意知,底面三角形的内切圆直径为4,三棱柱的高为3,所以球的最大直径为3,V的最大值为.
6.过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A作直线l,使l与棱AB,AD,AA1所成的角都相等,这样的直线l可以作( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
答案 D
解析 如图,
连接体对角线AC1,显然AC1与棱AB,AD,AA1所成的角都相等,所成角的正切值都为.联想正方体的其他体对角线,如连接BD1,则BD1与棱BC,BA,BB1所成的角都相等,∵BB1∥AA1,BC∥AD,∴体对角线BD1与棱AB,AD,AA1所成的角都相等,同理,体对角线A1C,DB1也与棱AB,AD,AA1所成的角都相等,过A点分别作BD1,A1C,DB1的平行线都满足题意,故这样的直线l可以作4条.
7.(线面关系理解不清易错)
(2019·咸阳模拟)设a,b为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,则下列命题正确的是( )
A.若a∥α,b∥α,则a∥b
B.若a?α,b?β,α∥β,则a∥b
C.若a∥α,a∥β,则α∥β
D.若a⊥α,b⊥β,a⊥b,则α⊥β
答案 D
解析 在A中,若a∥α,b∥α,则a与b相交、平行或异面,故A错误;
在B中,若a?α,b?β,α∥β,则a与b平行或异面,故B错误;
在C中,若a∥α,a∥β,则α与β相交或平行,故C错误;
在D中,若a⊥α,b⊥β,a⊥b,则由面面垂直的判定定理得α⊥β,故D正确.
8.如图所示,在四面体ABCD中,点M,N分别是△ACD,△BCD的重心,则四面体的四个面中与MN平行的是________________.
答案 平面ABC,平面ABD
解析 连接AM并延长,交CD于点E,
连接BN,并延长交CD于F,由重心性质可知,E,F重合为一点,且该点为CD的中点E,连接MN,由==,得MN∥AB.所以MN∥平面ABC,且MN∥平面ABD.
9.(线线角概念不清易错)
如图,平面ABCD⊥平面ADEF,其中,四边形ABCD为矩形,四边形ADEF为梯形,AF∥DE,AF⊥FE,AF=AD=2,DE=1.则异面直线EF与BC所成角的大小为________.
答案 30°
解析 延长AD,FE交于Q,如图.
因为四边形ABCD是矩形,所以BC∥AD,
所以∠AQF是异面直线EF与BC所成的角.
在梯形ADEF中,因为DE∥AF,AF⊥FE,AF=AD=2,DE=1,
所以DQ=AD=2,所以∠AQF=30°.
故异面直线EF与BC所成的角为30°.
10.如图所示,在边长为5+的正方形ABCD中,以A为圆心画一个扇形,以O为圆心画一个圆,M,N,K为切点,以扇形为圆锥的侧面,以圆O为圆锥底面,围成一个圆锥,则圆锥的表面积S=____.
答案 10π
解析 设圆锥的母线长为l,底面半径为r,由已知条件得
解得r=,l=4,
则S=πrl+πr2=10π.
11.如图,正方形BCDE的边长为a,已知AB=BC,将△ABE沿边BE折起,折起后A点在平面BCDE上的射影为D点,对翻折后的几何体有如下描述:
①AB与DE所成角的正切值是;
②AB∥CE;
③VB—ACE=a3;
④平面ABC⊥平面ADC.
其中正确的是________.(填写你认为正确的序号)
答案 ①③④
解析 作出折叠后的几何体的直观图如图所示:
由题意,可知AB=a,BC=a,
∵AD⊥平面BCDE,∴AD⊥BC,
又BC⊥CD,CD∩AD=D,CD,AD?平面ADC,
∴BC⊥平面ADC,
又AC?平面ADC,∴BC⊥AC,可得AC=a.
∵BC∥DE,
∴∠ABC是异面直线AB,DE所成的角,
∴tan∠ABC===,故①正确.
连接BD,CE,则CE⊥BD,
又AD⊥平面BCDE,CE?平面BCDE,∴CE⊥AD,
又BD∩AD=D,BD?平面ABD,AD?平面ABD,
∴CE⊥平面ABD,
又AB?平面ABD,∴CE⊥AB,故②错误;
∵S△BCE=a2,AD=a,
∴VB-ACE=VA-BCE=S△BCE·AD=a3,故③正确;
由①知,BC⊥平面ADC,
又BC?平面ABC,∴平面ABC⊥平面ADC,故④正确.
12.如图,在边长为4的菱形ABCD中,∠DAB=60°,点E,F分别是边CD,CB的中点,AC∩EF=O,沿EF将△CEF翻折到△PEF,连接PA,PB,PD,得到如图的五棱锥P—ABFED,且PB=.
(1)求证:BD⊥PA;
(2)求四棱锥P—BFED的体积.
(1)证明 ∵翻折前,E,F分别是边CD,CB的中点,
∴BD∥EF,
∵菱形ABCD的对角线互相垂直,∴BD⊥AC,
∴EF⊥AC,∴翻折后,EF⊥AO,EF⊥PO,
∵AO?平面POA,PO?平面POA,AO∩PO=O,
∴EF⊥平面POA,∴BD⊥平面POA,
又PA?平面POA,∴BD⊥PA.
(2)解 设AO∩BD=H.连接BO,
∵∠DAB=60°,∴△ABD为等边三角形,
∴BD=4,BH=2,HA=2,HO=PO=,
在Rt△BHO中,BO==,
在△PBO中,BO2+PO2=10=PB2,∴PO⊥BO.
∵PO⊥EF,EF∩BO=O,EF?平面BFED,BO?平面BFED,∴PO⊥平面BFED,
梯形BFED的面积S=(EF+BD)·HO=3,
∴四棱锥P—BFED的体积
V=S·PO=×3×=3.