课件41张PPT。第15练
不等式 [小题提速练]明晰考情 1.基本不等式和一元二次不等式是C级要求，也是高考的必考点.
2.线性规划掌握基础步骤即可，时有考查.题组对点练栏目索引易错易混练押题冲刺练题组对点练题组一 不等式的性质及解法要点重组 (1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或<0)(a≠0，Δ＝b2－4ac>0)，如果a与ax2＋bx＋c同号，则其解集在两根之外；如果a与ax2＋bx＋c异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.
(2)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是利用相关知识转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解.
(3)解含参数不等式要正确分类讨论.解析 ∵m≠3且n≠－2，
∴M＝(m－3)2＋(n＋2)2－13>－13.1.若m≠3且n≠－2，则M＝m2＋n2－6m＋4n的值与－13的大小关系为____________.M>－132.对于实数a，b，c，下列命题中：
①若a>b，则ac>bc；
②若a>b，则ac2>bc2；
③若aab>b2；③④其中真命题的序号为________.解析 ①因为未知数c可以是正数、负数或零，所以无法确定ac与bc的大小，所以是假命题；
②因为c2≥0，所以只有c2≠0时才正确.当c＝0时，ac2＝bc2，所以是假命题；
③由aab；ab2，所以是真命题；(－∞，0)f(x＋1)因此不等式的解集为(－∞，－1].即1<2－2x，解得x<0.因此不等式的解集为(－1,0).综上，不等式f(x＋1)由图可知，当x＋1≤0且2x≤0时，函数f(x)为减函数，
故f(x＋1)2x.
此时x≤－1.
当2x<0且x＋1>0时，f(2x)>1，f(x＋1)＝1，
满足f(x＋1)此时－1综上，不等式f(x＋1)(2)拼凑法求解最值，其实质就是先通过代数式变形拼凑出和或积为常数的两项，然后利用基本不等式求解最值.
(3)常数代换法求解条件最值
常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和或积为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值.应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商.解析 ∵a－3b＋6＝0，∴a－3b＝－6，0∵x＞0，y＞0且x＋2y＝4，题组三 简单的线性规划问题(2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则z＝PM2.3解析 由约束条件画出可行域，如图阴影部分(含边界)所示.9解析 作出已知约束条件对应的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，
由图易知，当直线y＝3x－z过点C时，－z最小，即z最大.即C点坐标为(3,0)，
故zmax＝3×3－0＝9.2解析 分别作出平面区域D和Ω，如图中阴影部分(含边界)所示.由图可知P，Q两点间距离的最大值为点P到圆心E的最大值与圆的半径之和.易错易混练(－2,2]解析 ∵y＝ln(x－1)的值域为R，∴A＝R.解得x≤－2或x>2.
∴B＝{x|x≤－2或x>2}.
∴?RB＝(－2,2]，∴A∩(?RB)＝(－2,2].(2)若分式的分母中含有未知数，切记分母不能为0，否则容易产生错解.解析 函数y＝ax＋1－3过定点A(－1，－2)，
又点A在直线mx＋ny＝－2(m>0，n>0)上，
所以－m－2n＝－2，易错提醒 应用基本不等式求最值时必须遵循“一正、二定、三相等”的要求.押题冲刺练1234561.(2019·天津)设x∈R，使不等式3x2＋x－2＜0成立的x的取值范围为________.1234562.已知函数f(x)＝ 则不等式|f(x)|≥1的解集为____________________.解析 画出|f(x)|的图象，如图所示，1234563.已知log2(a－2)＋log2(b－1)≥1，则2a＋b取到最小值时ab＝________.9解析 由log2(a－2)＋log2(b－1)≥1，
得(a－2)(b－1)≥2，即a＋2b≤ab，123456(－∞，－9]∪[0，＋∞)123456由图知，z的取值范围是(－∞，－9]∪[0，＋∞).1234561123456123456解析 圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0的圆心坐标为(2，－1).
由于直线ax－2by＝2(a>0，b>0)过圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0的圆心，故有a＋b＝1. 本课结束 第15练 不等式[小题提速练]
[明晰考情] 1.基本不等式和一元二次不等式是C级要求，也是高考的必考点.2.线性规划掌握基础步骤即可，时有考查．
题组一 不等式的性质及解法
要点重组 (1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或<0)(a≠0，Δ＝b2－4ac>0)，如果a与ax2＋bx＋c同号，则其解集在两根之外；如果a与ax2＋bx＋c异号，则其解集在两根之间．简言之：同号两根之外，异号两根之间．
(2)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是利用相关知识转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解．
(3)解含参数不等式要正确分类讨论．
1．若m≠3且n≠－2，则M＝m2＋n2－6m＋4n的值与－13的大小关系为______________．
答案 M>－13
解析 ∵m≠3且n≠－2，
∴M＝(m－3)2＋(n＋2)2－13>－13.
2．对于实数a，b，c，下列命题中：
①若a>b，则ac>bc；
②若a>b，则ac2>bc2；
③若aab>b2；
④若a；
⑤若a.
其中真命题的序号为________．
答案 ③④
解析 ①因为未知数c可以是正数、负数或零，所以无法确定ac与bc的大小，所以是假命题；②因为c2≥0，所以只有c2≠0时才正确．当c＝0时，ac2＝bc2，所以是假命题；③由aab；ab2，所以是真命题；④由性质定理知，由a，命题是真命题；⑤由a得得>，命题是假命题．
3．(2018·全国Ⅰ改编)设函数f(x)＝则满足f(x＋1)答案 (－∞，0)
解析 方法一 ①当即x≤－1时，f(x＋1)解得x<1.
因此不等式的解集为(－∞，－1]．
②当时，不等式组无解．
③当即－1即1<2－2x，解得x<0.因此不等式的解集为(－1,0)．
④当即x>0时，f(x＋1)＝1，f(2x)＝1，不合题意．
综上，不等式f(x＋1)方法二 ∵f(x)＝
∴函数f(x)的图象如图所示．
由图可知，当x＋1≤0且2x≤0时，函数f(x)为减函数，
故f(x＋1)2x.
此时x≤－1.
当2x<0且x＋1>0时，f(2x)>1，f(x＋1)＝1，
满足f(x＋1)此时－1综上，不等式f(x＋1)4．已知函数f(x)＝若对任意的x∈R，不等式f(x)≤m2－m恒成立，则实数m的取值范围为____________．
答案 ∪[1，＋∞)
解析 由题意知，m2－m≥f(x)max.
当x>1时，f(x)＝x是减函数，∴f(x)当x≤1时，f(x)＝－x2＋x，对应抛物线的对称轴方程是x＝，且开口向下，∴f(x)max＝f?＝－＋＝.
∴f(x)在R上的最大值为.
∴m2－m≥，即4m2－3m－1≥0，
∴m≤－或m≥1.
题组二 基本不等式
要点重组 (1)基本不等式：≥，a>0，b>0；
变形：ab≤2，
适用条件：一正二定三相等．
(2)拼凑法求解最值，其实质就是先通过代数式变形拼凑出和或积为常数的两项，然后利用基本不等式求解最值．
(3)常数代换法求解条件最值
常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和或积为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值．应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商．
5．(2018·天津)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋的最小值为________．
答案
解析 ∵a－3b＋6＝0，∴a－3b＝－6，
∴2a＋＝2a＋2－3b≥2
＝2＝2＝2×2－3＝，
当且仅当
即时取等号，
则所求最小值为.
6．设x>0，则y＝x＋－的最小值为________．
答案 0
解析 y＝x＋－＝＋－2
≥2－2＝0，
当且仅当x＝时取等号，则所求最小值为0.
7．若正数a，b满足a＋b＝2，则＋的最小值是________．
答案
解析 ＋
＝·
＝
≥
＝，
当且仅当＝，
即a＝，b＝时取等号，
则＋的最小值是.
8．(2019·天津)设x＞0，y＞0，x＋2y＝4，则的最小值为________．
答案
解析 ＝
＝＝2＋.
∵x＞0，y＞0且x＋2y＝4，
∴4≥2(当且仅当x＝2，y＝1时取等号)，
∴2xy≤4，∴≥，
∴2＋≥2＋＝.
题组三 简单的线性规划问题
要点重组 (1)截距型：形如z＝ax＋by，求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值．
(2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则z＝PM2.
(3)斜率型：形如z＝，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则z＝kPM.
9．若x，y满足约束条件则的最大值为________．
答案 3
解析 由约束条件画出可行域，如图阴影部分(含边界)所示．
的几何意义是可行域内的点(x，y)与原点O连线的斜率，所以的最大值即为直线OA的斜率．又由得点A的坐标为(1,3)，则max＝kOA＝3.
10．(2019·全国Ⅱ)若变量x，y满足约束条件则z＝3x－y的最大值是________．
答案 9
解析 作出已知约束条件对应的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，
由图易知，当直线y＝3x－z过点C时，－z最小，即z最大．
由
解得
即C点坐标为(3,0)，
故zmax＝3×3－0＝9.
11．已知实数x，y满足约束条件若z＝3x－2y的最大值为3，则m＝________.
答案 2
解析 作出可行域如图中阴影部分(含边界)所示由z＝3x－2y得y＝x－z，
当截距－最小时，z取最大值．
此时最优解为C，
故3×－2×＝3，解得m＝2.
12．记不等式组表示的平面区域为D，不等式(x－1)2＋(y＋1)2≤1表示的平面区域为Ω，若点P∈D，Q∈Ω，则P，Q两点间距离的最大值为________．
答案
解析 分别作出平面区域D和Ω，如图中阴影部分(含边界)所示．
由图可知P，Q两点间距离的最大值为点P到圆心E的最大值与圆的半径之和．
由得C.
由得A.
又E(1，－1)，所以AE＝，CE＝，又AE>CE，
∴P，Q两点间距离的最大值为AE＋1＝.
1．已知集合A＝{y|y＝ln(x－1)}，B＝，则A∩(?RB)＝________.
答案 (－2,2]
解析 ∵y＝ln(x－1)的值域为R，∴A＝R.
又≥1，即≥0，
解得x≤－2或x>2.
∴B＝{x|x≤－2或x>2}．
∴?RB＝(－2,2]，∴A∩(?RB)＝(－2,2]．
易错提醒 (1)因为集合A的代表元素是y，所以集合A表示函数y＝ln(x－1)的值域．因为集合B的代表元素是x，所以集合B表示分式不等式≥1的解集，此时易误将≥1变形为2x≥x－2.
(2)若分式的分母中含有未知数，切记分母不能为0，否则容易产生错解．
2．函数y＝ax＋1－3(a>0，a≠1)过定点A，若点A在直线mx＋ny＝－2(m>0，n>0)上，则＋的最小值为________．
答案
解析 函数y＝ax＋1－3过定点A(－1，－2)，
又点A在直线mx＋ny＝－2(m>0，n>0)上，
所以－m－2n＝－2，
即＋n＝1，
所以＋＝＝＋
≥＋2＝，
当且仅当＝，
即m＝2－2，n＝2－时取等号．
易错提醒 应用基本不等式求最值时必须遵循“一正、二定、三相等”的要求．
1．(2019·天津)设x∈R，使不等式3x2＋x－2＜0成立的x的取值范围为________．
答案
解析 3x2＋x－2＜0变形为(x＋1)(3x－2)＜0，解得－1＜x＜，故使不等式成立的x的取值范围为.
2．已知函数f(x)＝则不等式|f(x)|≥1的解集为________．
答案 ∪[2，＋∞)
解析 画出|f(x)|的图象，如图所示，
由图可知|f(x)|≥1的解集为
∪[2，＋∞)．
3．已知log2(a－2)＋log2(b－1)≥1，则2a＋b取到最小值时ab＝________.
答案 9
解析 由log2(a－2)＋log2(b－1)≥1，
得(a－2)(b－1)≥2，即a＋2b≤ab，
又a>2，b>1，∴＋≤1，
∴2a＋b≥(2a＋b)＝≥5＋4＝9，
当且仅当＝，即a＝b＝3时上述等号同时成立．∴ab＝9.
4．设x，y满足约束条件则z＝的取值范围是________．
答案 (－∞，－9]∪[0，＋∞)
解析 画出表示的可行域如图阴影部分(含边界)所示，
z＝表示可行域内的点P(x，y)与点A(－1,0)连线的斜率，
由得C，kAC＝＝－9，
由得B(3,0)，kAB＝0，
由图知，z的取值范围是(－∞，－9]∪[0，＋∞)．
5．设实数x，y满足约束条件则z＝的最大值是________．
答案 1
解析 满足约束条件的可行域如图阴影部分(包括边界)所示．
z＝表示可行域内的点(x，y)与(0,0)连线的斜率，由图可知，最大值为kOA＝＝1.
6．已知直线ax－2by＝2(a>0，b>0)过圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0的圆心，则＋的最小值为________．
答案
解析 圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0的圆心坐标为(2，－1)．
由于直线ax－2by＝2(a>0，b>0)过圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0的圆心，故有a＋b＝1.
所以＋＝·(a＋2＋b＋1)＝≥＋×2＝，当且仅当a＝2b，即a＝，b＝时，取等号，故＋的最小值为.
