2019-2020学年人教版选修3-4 11.1简谐运动 学案

1　简谐运动
[学科素养与目标要求]　
物理观念：1.知道什么是弹簧振子，知道振子的平衡位置和位移的概念.2.知道简谐运动的位移—时间图象的物理意义，知道其图象是一条正弦曲线．
科学思维：会根据简谐运动的位移—时间图象分析振子的位移和速度的变化情况．
科学探究：通过对比振子和匀速直线运动物体的位移—时间图象，弄清图象的物理意义及应用．
一、弹簧振子
1．平衡位置：振子原来静止时的位置．
2．机械振动：振子在平衡位置附近的往复运动，简称振动．
3．弹簧振子：小球和弹簧构成的系统．
二、弹簧振子的位移—时间图象(x－t图象)
1．用横坐标表示振子运动的时间(t)，纵坐标表示振子离开平衡位置的位移(x)，描绘出的图象就是位移随时间变化的图象，即x－t图象，如图1所示．
图1
2．振子的位移：振子相对平衡位置的位移．
三、简谐运动及其图象
简谐运动：质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图象(x－t图象)是一条正弦曲线．
1．判断下列说法的正误．
(1)竖直放于水面上的圆柱形玻璃瓶的上下运动是机械振动．(　√　)
(2)物体的往复运动都是机械振动．(　×　)
(3)弹簧振子的位移是从平衡位置指向振子所在位置的有向线段．(　√　)
(4)简谐运动的图象表示质点振动的轨迹是正弦曲线．(　×　)
2．如图2所示的弹簧振子，O点为它的平衡位置，当振子从A点运动到C点时，振子离开平衡位置的位移是________(选填“OC”“AC”或“CO”)，从A点运动到C点的过程中，位移变________(选填“小”或“大”)，速度变________(选填“小”或“大”)．
图2
答案　OC　小　大
一、弹簧振子
如图所示的装置，把小球向右拉开一段距离后释放，可以观察到小球左右运动了一段时间，最终停止运动．
(1)小球的运动具有什么特点？为什么小球最终停止运动？
(2)在横杆上涂上一层润滑油，重复刚才的实验，观察到的结果与第一次实验有何不同？
(3)猜想：如果小球受到的阻力忽略不计，弹簧的质量比小球的质量小得多，也忽略不计，实验结果如何？
答案　(1)小球的运动具有往复性．小球因为受到摩擦力的作用最终停止运动．　(2)小球往复运动的次数增多，运动时间变长．　(3)小球将持续地做往复运动．
1．平衡位置：振子原来静止时的位置．平衡位置不一定是中心位置(如图3所示物体的振动)，物体经过平衡位置时不一定处于平衡状态(如图4所示物体的振动)．
图3　　　　　　　　　图4
2．弹簧振子是一种理想化模型．实际物体可看成弹簧振子的条件：
(1)不计摩擦阻力和空气阻力．
(2)不计弹簧的质量．
(3)物体可视为质点．
(4)弹簧的形变在弹性限度内．
3．弹簧振子的振动分析
(1)位移及其变化
位移指相对平衡位置的位移，由平衡位置指向振子所在的位置．当振子从平衡位置向最大位移处移动时，位移增大；当振子由最大位移处向平衡位置移动时，位移减小．
(2)速度及其变化
振子在平衡位置处速度最大，在最大位移处速度为零．振子由平衡位置向最大位移处运动时，速度减小；振子由最大位移处向平衡位置运动时，速度增大．
(3)加速度及其变化
水平弹簧振子所受弹簧的弹力是振子受到的合力，竖直弹簧振子所受的重力与弹力之和是振子受到的合力．不论是水平弹簧振子还是竖直弹簧振子，均满足：在平衡位置处所受的合力为零，加速度为零；而在最大位移处所受的合力最大，加速度最大．
例1　(多选)在图5中，当振子由A向平衡位置O运动时，下列说法正确的是(　　)
图5
A．振子的位移变小
B．振子的运动方向向左
C．振子的位移方向向左
D．振子的位移变大
答案　AB
解析　在振动中位移的参考点是O点，由于振子在O点的右侧由A向O运动，所以振子的运动方向向左，位移方向向右，且位移变小，故A、B正确．
例2　如图6所示为一个水平方向的弹簧振子，小球在MN间做简谐运动，O是平衡位置．关于小球的运动情况，下列描述正确的是(　　)
图6
A．小球经过O点时速度为零
B．小球经过M点与N点时有相同的加速度
C．小球从M点向O点运动过程中，加速度增大，速度增大
D．小球从O点向N点运动过程中，加速度增大，速度减小
答案　D
解析　小球经过O点时速度最大，A错；小球在M点与N点的加速度大小相等，方向相反，B错；小球从M点向O点运动过程中，速度增大，加速度减小，C错；小球从O点向N点运动过程中，速度减小，加速度增大，D对．
[学科素养]　以上两题考查了弹簧振子在振动过程中位移、速度、加速度的变化规律，在位移为零处，即平衡位置，加速度为零，速度最大；在最大位移处，速度为零，加速度最大．通过解题，让物理概念和规律在头脑中得到提炼和升华，体现了“物理观念”与“科学思维”的学科素养．
二、简谐运动及其图象
甲、乙两同学合作模拟弹簧振子的x－t图象：
如图所示，取一张白纸，在正中间画一条直线OO′，将白纸平铺在桌面上，甲同学用手使铅笔尖从O点沿垂直于OO′方向振动画线，乙同学沿O′O方向水平向右匀速拖动白纸．
(1)白纸不动时，甲同学画出的轨迹是怎样的？
(2)乙同学向右慢慢匀速拖动白纸时，甲同学画出的轨迹又是怎样的？
(3)沿O′O方向与垂直O′O方向分别建立坐标轴，说说两坐标轴可表示什么物理量？图线上点的坐标表示什么？用什么方法判断上述图象是否为正弦曲线？
答案　(1)是一条垂直于OO′的直线．
(2)轨迹如图所示，类似于正弦曲线．
(3)垂直O′O方向的轴为位置坐标轴x(如果以O′为出发点，也可以说是位移坐标轴)，沿O′O方向的轴为时间轴t.图线上点的坐标表示某时刻铅笔尖的位移(以O′为出发点)或位置．一种方法是用图上坐标点代入正弦函数表达式中进行检验，另一种是用图上多个点的坐标值输入计算机作出这条曲线，看看这条曲线可以用什么函数表示．
1．对x－t图象的理解
x－t图象上的x坐标表示振子相对平衡位置的位移，也表示振子的位置坐标．它反映了振子位移随时间变化的规律．
注意　x－t图象不是振子的运动轨迹．
2．图象的应用
(1)可直接读出不同时刻t的位移x值．位于t轴上方的x值表示位移为正，位于t轴下方的x值表示位移为负，如图7甲所示．
(2)判断任意时刻质点的振动方向．看下一相邻时刻质点的位置，如图乙中a点，下一相邻时刻离平衡位置远，故a点此刻向＋x方向运动．
甲　　　　　　　　　乙
图7
(3)速度的大小和方向，根据图象上某点的切线的斜率判断．图象上某点的斜率的大小表示速度大小，斜率的正负表示运动的方向．在平衡位置，切线斜率最大，质点速度最大；在最大位移处，切线斜率为零，质点速度为0.在从平衡位置向最大位移处运动的过程中，速度减小；在从最大位移处向平衡位置运动的过程中，速度增大．
例3　如图8甲所示为一弹簧振子的振动图象，规定向右的方向为正方向，试根据图象分析以下问题：
甲　　　　　　　　　　　 乙
图8
(1)如图乙所示，振子振动的起始位置是________，从起始位置开始，振子向________(填“右”或“左”)运动．
(2)在图乙中，找出图甲中的O、A、B、C、D各点对应振动过程中的哪个位置？即O对应________，A对应______，B对应________，C对应________，D对应________．
(3)在t＝2 s时，振子的速度方向与t＝0时振子的速度方向________；1～2 s内振子的速度大小的变化情况是________．
(4)振子在前4 s内的位移等于________．
答案　(1)E　右　(2)E　G　E　F　E　(3)相反　逐渐增大　(4)0
解析　(1)由题图知，在t＝0时，振子在平衡位置，故起始位置为E；从t＝0时，振子向正的最大位移处运动，即向右运动．(2)由x－t图象知：O点、B点、D点对应振动过程中的E点，A点在正的最大位移处，对应G点；C点在负的最大位移处，对应F点．(3)t＝2 s时，图线切线的斜率为负，即速度方向为负方向；t＝0时，图线切线的斜率为正，即速度方向为正方向，故两时刻速度方向相反，1～2 s内振子的速度逐渐增大．(4)4 s末振子回到平衡位置，故振子在前4 s内的位移为零．
例4　(2016·北京卷)如图9所示，弹簧振子在M、N之间做简谐运动．以平衡位置O为原点，建立Ox轴．向右为x轴正方向．若振子位于N点时开始计时，则其振动图象为(　　)
图9
答案　A
解析　开始计时时振子位于正向最大位移处，向负方向做简谐运动，振动图象为余弦函数图象，A项对．
1．(对机械振动的理解)(多选)关于机械振动的位移和平衡位置，以下说法中正确的是(　　)
A．做机械振动的物体必有一个平衡位置
B．机械振动的位移总是以平衡位置为起点的位移
C．机械振动的物体运动的路程越大，发生的位移也越大
D．机械振动的位移是指振动物体偏离平衡位置最远时的位移
答案　AB
解析　物体在平衡位置附近的往复运动叫做机械振动，故A正确；机械振动的位移是以平衡位置为起点指向质点所在位置的有向线段，位移随时间而变，振子偏离平衡位置最远时，振动物体的位移最大，故B正确，C、D错误．
2.(对弹簧振子的理解)如图10所示，一弹簧振子在一条直线上做简谐运动，第一次先后经过M、N两点时速度v(v≠0)相同，那么下列说法正确的是(　　)
图10
A．振子在M、N两点所受弹簧弹力相同
B．振子在M、N两点对平衡位置的位移相同
C．振子在M、N两点加速度大小相等
D．从M点到N点，振子先做匀加速运动，后做匀减速运动
答案　C
解析　因位移、速度、加速度和弹簧弹力都是矢量，它们要相同必须满足大小相等、方向相同．M、N两点关于O点对称，弹簧弹力、位移和加速度应大小相等、方向相反，故A、B选项错误，C选项正确．振子由M→O速度越来越大，但加速度越来越小，振子做加速运动，但不是匀加速运动，振子由O→N速度越来越小，但加速度越来越大，振子做减速运动，但不是匀减速运动，故D选项错误．
3.(弹簧振子的位移－时间图象)(多选)(2017·长沙高二检测)如图11所示是用频闪照相的方法获得的弹簧振子的位移－时间图象，下列关于该图象的说法正确的是(　　)
图11
A．该图象的坐标原点是建立在弹簧振子小球的平衡位置
B．从图象可以看出小球在振动过程中是沿t轴方向移动的
C．为了显示小球在不同时刻偏离平衡位置的位移，让底片沿垂直x轴方向做匀速运动
D．图象中小球的疏密显示出相同时间内小球位置变化快慢不同
答案　ACD
解析　由题图看出，弹簧振子在x轴方向做简谐运动，小球并不是沿t轴方向移动，由对称性可知，该图象的坐标原点是建立在弹簧振子小球的平衡位置，故A正确，B错误；为了显示小球在不同时刻偏离平衡位置的位移，让底片沿垂直x轴方向做匀速运动，故C正确；题图中小球的疏密反映了小球在x方向运动的快慢，越密速度越小，位置变化越慢，故D正确．
4.(简谐运动的图象)如图12所示是表示某弹簧振子运动的x－t图象，下列说法正确的是(　　)
图12
A．0.1 s时振子正通过平衡位置向正方向运动
B．0.1～0.15 s这段时间内，振子的加速度增大，速度减小，加速度方向与速度方向相反
C．0.2～0.3 s这段时间内，振子的位移在增大
D．该图象是从振子在平衡位置时开始计时画出的
答案　B
解析　从题图可以看出，t＝0时刻，振子在正方向的最大位移处，因此是从正的最大位移处开始计时画出的图象，D选项错误；0.1 s以后振子的位移为负，因此0.1 s时振子正通过平衡位置向负方向运动，A选项错误；0.1～0.15 s这段时间内，振子向负方向运动，加速度增大，速度减小，加速度方向指向平衡位置，为正方向，加速度与速度方向相反，B选项正确；0.2～0.3 s这段时间内，振子正从负的最大位移处向平衡位置运动，位移减小，C选项错误．