(共11张PPT)
12.1 幂的运算
1.同底数幂的乘法 2.幂的乘方
第12章 整式的乘除
情境导入
某地区在退耕还林期间，将一块长m米、宽a米的长方形林地的长、宽分别增加n米和b米。用两种方法表示这块林地现在的面积，可得到：
（m+n）（a+b）=ma+mb+na+nb
你知道上面的等式蕴含着什么样的规则吗？
ma
mb
na
nb
m
a
b
n
探索新知
同底数幂的乘方
归纳总结
也就是说，同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
探 究 1
探索新知
幂的乘方
归纳总结
也就是说，幂的乘方，底数不变，指数相乘。
探 究 2
巩固练习
归纳小结
?业精于勤，荒于嬉。
—— 韩愈
=
计算:
解
(1)103·104=103+4=10
(2)a·a3=a1+3=a
(3)a·a3·a5=a1+3+5
计算:
解
(1)(103)
103×5
10
15
(2)(b5)4=b5×4=b20
1.本节课要掌握
(1)am·an=amn+n(m、n为正整数)
(2)(am)n=am(m、n为正整数)
2通过这节课的学习,你还有哪些收获?
(共12张PPT)
12.1 幂的运算
3.积的乘方 4.同底数幂的除法
第12章 整式的乘除
探索新知
积的乘方
归纳总结
也就是说，积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
可得：
探 究 1
巩固练习
探索新知
同底数幂的除法
归纳总结
这就是说，同底数幂相除，底数不变，指数相减。
探 究 2
巩固练习
四、归纳小结
1.本节课要掌握：
（1）积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
（2）同底数幂相除，底数不变，指数相减。
2.通过这节课的学习，你还有哪些收获？
?在学校和生活中，工作的最重要的动力是工作中的乐趣，是工作获得结果时的乐趣以及对这个结果的社会价值的认识。
—— 爱因斯坦
(1)(2b)3=23b3=8b3
(2)(2a3)2=22×(a3)2=4a
(3)(-a)3=(-1)3×a3=-a3
(4)(-3x)4=(-3)4×x4=81x4。
计算
(1)(3a)2;
(2)(-3a)3;
(3)(ab3)2
(4)(-2×103)4。
9
a2
27a3
a2
b
16×1012
(1)a
8-3
a
a
a)10
(-a)3=(
a)10-3
(-a
(3)(2a)7÷(2a)4=(2a)7-4=(2a)3。
(共13张PPT)
12.2 整式的乘法
1.单项式与单项式相乘 2.单项式与多项式相乘
第12章 整式的乘除
探索新知
单项式与单项式相乘
探 究 1
总结一下，怎样进行单项式的乘法？
总结概括
单项式与单项式相乘，只要将它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式。
探索新知
单项式与多项式相乘
探 究 2
总结一下，怎样将单项式与多项式相乘？
归纳总结
单项式与多项式相乘，将单项式分别乘以多项式的每一项，再将所得的积相加。
巩固练习
归纳小结
1.本节课要掌握：
（1）单项式与单项式相乘，只要将它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式。
（2）单项式与多项式相乘，将单项式分别乘以多项式的每一项，再将所得的积相加。
2.通过这节课的学习，你还有哪些收获？
?在寻求真理的长河中，唯有学习，不断地学习，勤奋地学习，有创造性地学习，才能越重山跨峻岭。?
—— 华罗庚
(1)3x2y.(-2xy
=[3·(-2)·(x2:x)·(y·y3)
-6x3y
(2)(-5a2b3)·(-4b2c)
(-5)·(-4)]·a2·(b3.b2)·c
=20a2b5c
(-2a2)·(3ab2-5ab3)
(-2a2)·3ab2+(-2a2)·(-5ab3)
-6a3b2+10a3b
(共15张PPT)
12.2 整式的乘法
3.多项式与多项式相乘
第12章 整式的乘除
探索新知
多项式与多项式相乘
我们再来看一看本章导图中的问题：
某地区在退耕还林期间，将一块长m米、宽a米的长方形林地的长、宽分别增加n米和b米。用两种方法表示这块林地现在的面积。
用两种方式表示这块林地现在的面积
第一种
现在这块长方形林地的长为（m+n）米，
宽为（a+b）米，
因而它的面积为（m+n）（a+b）平方米。
第二种
这块林地由四小块组成，
它们的面积分别为ma平方米、 mb平方米、 na平方米、 nb平方米，
故它的面积为（ ma + mb + na + nb ）平方米。
由于（m+n）（a+b）和（ ma + mb + na + nb ）表示同一块林地的面积 ，故有
（m+n）（a+b）= ma + mb + na + nb
实际上，把（m+n）看成一个整体，有
（m+n）（a+b）= （m+n）a+ （m+n）b
= ma + mb + na + nb
如下式所示，等式的右边可以看作左边用线相连的各项乘积的和：
（m+n）（a+b）= ma + mb + na + nb
总结概括
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
这个等式实际上给出了多项式乘以多项式的法则：
探 究 1
计算：
（1）
解：
=
=
探 究 1
计算：
（2）
探 究 2
（1）
探 究 2
（2）
巩固练习
归纳小结
1.本节课要掌握：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
2.通过这节课的学习，你还有哪些收获？
?我们全都要从前辈和同辈学习到一些东西。就连最大的天才，如果想单凭他所特有的内在自我去对付一切，他也决不会有多大成就。
—— 歌德
(共12张PPT)
12.3 乘法公式
1.两数和乘以这两数的差
第12章 整式的乘除
情境导入
王剑同学去商店买了单价是9.8元／千克的糖块10.2千克，售货员刚拿起计算器，王剑就说出应付99.96元，结果与售货员计算出的结果相吻合。售货员惊讶地问：“这位同学，你怎么算得这么快?”王剑同学说：“我利用了在数学上刚学过的一个公式。”你知道王剑同学用的是一个什么样的公式吗?你现在能算出来吗?学了本节之后，你就能解决这个问题了。
探索新知
(x ＋ 3)(x － 3) x2－9
(a＋2b)(a－2b) a2－4b2
(4m＋n)(4m－n) 16m2－n2
(5＋4y)(5－4y) 25－16y2
(a ＋ b)(a－b) a2－b2
概括：
平方差公式的特征：
（1）等式左边是两个数（字母）的和乘以这两个数（字母）的差。
（2）等式右边是这两个数（字母）的平方差.
公式中的字母的意义很广泛,可以代表常数,单项式或多项式
=
－
(a+b)(a－b)
a2
b2
几 何 解 释
观察图形，再用等式表示图中图形面积的运算：
(x+3)(x-3)=
(2a+3b)(2a-3b)=
(-3+2a)(-2a-3)
探 究 1
( )
( )
( )
×
×
×
判断下列各式是否正确，并说明理由
( )
√
( )
×
计算 1998×2002。
1998
2002 =
（2000-2）（2000+2）
=4000000-4
=3999996
解：
探 究 2
例3 街心花园有一块边长为a米的正方形草坪，经统 一规 划后，南北向要加长2米，而东西向要缩短2米，问改造后的长方形草坪的面积是多少？
解
探 究 3
巩固练习
1.本节课要掌握：
（1）两数和乘以这两数差的几何意义。
（2）两数和乘以它们的差的公式结构及运算。
2.通过这节课的学习，你还有哪些收获？
归纳小结
对所学知识内容的兴趣可能成为学习动机。
—— 赞科夫
(共13张PPT)
12.3 乘法公式
2.两数和（差）的平方
第12章 整式的乘除
情境导入
(a+b) 与(a+2b)2 等于多少，用拼图来说明。
ab
ab
a+b
a
b
=
+
2ab
+
观察公式：它有什么特征呢？
探索新知
1、左边是两数和的平方，右边可这样记：
“首平方，尾平方，首尾二倍在中央”
两数和平方公式的特征：
例1 利用完全平方公式计算：
(1) (2x+3)2 ； (2) (3m?2n)2
使用完全平方公式与平方差公式的使用一样,
先把要计算的式子与完全平方公式对照,
明确哪个是 a , 哪个是 b.
首项
2x
4x2
2x
的平方,
( )2
?
加上
2x
第一数
与第二数
+
2x
3
?
乘积
的2倍,
?
2
加上
+
尾项
3
的平方.
2
=
+
12x
+
9 ;
3
(2) (3m?2n)2
=(3m)2 ?2?(3m) ?(2n)+(2n)2
=9m2 ?12mn + 4n2
例2 利用两数和的平方公式
计算:
（1） (a+3b)2 (2) (2x+3y)2
（3） (-2x-y)2 （4）(a-b)2
解：
（1） (a+3b)2 ＝
（2） (2x+3y)2
（3） (-2x-y)2
（4） (a-b)2=
①填空：（ ）2 =9a2-（ ）+16b2 ；
②计算：（-a+b）2和（-a-b）2 ；
③与（a+b）2及（a-b）2比较，你发现了什么律？
探索发现:(a+b)2=(-a-b)2 , （a-b）2 = （-a+b）2
解题规律:
当所给的二项式的符号相同时，就用“和”的完全平方式；
当所给的二项式的符号不同时，就用“差”的完全平方式。
巩固练习
1.本节课要掌握：
（1）运用两数和的平方公式进行计算
（2）体验数学中相互转化、数形结合的思维方法，了解公式的几何背景。
2.通过这节课的学习，你还有哪些收获？
归纳小结
在学习上做一眼勤、手勤、脑勤，就可以成为有学问的人。
—— 吴晗
(共11张PPT)
12.4 整式的除法
1.单项式除以单项式
第12章 整式的乘除
计算下列各题, 并说说你的理由:
(1) (x5y) ÷x2 ;
(2) (8m2n2) ÷(2m2n) ;
(3) (a4b2c)÷(3a2b)
解：(1) (x5y)6÷x2 = x30y6÷x2
把除法式子写成分数形式，
把幂写成乘积形式，
约分。
=
= x·x·x·y
= x3y ；
省略分数及其运算, 上述过程相当于：
(1)(x5y) ÷x2
=(x5÷x2 )·y
=x 5 ? 2 ·y
(2) (8m2n2) ÷(2m2n)
=
=(8÷2 )·m 2 ? 2·n2? 1
(8÷2 )·(m2÷m2 )·(n2÷n )
(1)(x5y) ÷x2
=(x5÷x2 )·y
=x 5 ? 2 ·y
=4n
情境导入
仔细观察一下，并分析与思考下列几点：
(被除式的指数) —(除式的指数)
单项式除以单项式，其结果(商式)仍是
(同底数幂) 商的指数＝
一个单项式;
探索新知
单项式相除, 把系数、同底数的幂分别相除后，作为
商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连它的
指数一起作为商的一个因式。
底数不变，
指数相减。
保留在商里
作为因式。
例1 计算：
(1) ; (2) (10a4b3c2)÷(5a3bc);
(3) (2x2y)3·(?7xy2)÷(14x4y3); (4) (2a+b)4÷(2a+b)2.
(1)(2)小题的结构一样, 说说可能用到
的有关幂的运算公式或法则。
三块之间是同级运
算, 只能从左到右。
括号内是积、
括号外右角有指数时，
先用积的乘方法则。
两个底数是相同的多项式时,
应看成一个整体(如一个字母)。
(1) (2a6b3)÷(a3b2) ; (2) ;
(3) (3m2n3)÷(mn)2 ; (4) (2x2y)3÷(6x3y2) .
1、计算：
巩固练习
答:
2.月球距离地球大约 3.84×105千米, 一架飞机的速度约为 8×102 千米/时. 如果乘坐此飞机飞行这么远的距离, 大约需要多少时间 ?
3.84×105 ÷( 8×102 )
？这样列式的依据
= 0.48×103
？如何得到的
？单位是什么
=480(小时)
？如何得到的
=20(天) .
？做完了吗
如果乘坐此飞机飞行这么远的距离, 大约需要20天时间.
你能直接列出一个时间为天的算式吗?
3.84×105÷( 8×102 )÷12
你会计算吗?
(3) ( )÷(2x3y3 ) = ;
3.计算填空:
⑴ (60x3y5) ÷(?12xy3) = ;
(2) (8x6y4z) ÷( ) =?4x2y2 ;
(4) 若 (ax3my12)÷(3x3y2n)=4x6y8 ,
则 a = , m = ,n = ;
?5x2y2
?2x4y2z
12
3
2
1.本节课要掌握：
单项式除以单项式的运算法则。
2.通过这节课的学习，你还有哪些收获？
归纳小结
情况是在不断地变化，要使自己的思想适应新的情况，就得学习。
—— 毛泽东
(共9张PPT)
12.4 整式的除法
2.多项式除以单项式
第12章 整式的乘除
a+b
d d
情境导入
ab+3b
y2-2
*
( ad+bd )÷d
逆用同分母的
加法、约分：
( ad+bd )÷d
=(ad)÷d + (bd)÷d
=(ad)÷d + (bd)÷d
你找到了 多项式除以单项式的规律 吗？
( ad+bd )÷d
=(ad )÷d + (bd )÷d
多项式除以单项式，
先把这个多项式的每一项分别除以单项式，
再把所得的商相加。
探索新知
探究一
计算：
（1）
（2）
（1）
（2）
巩固练习
（1）
（2）
（3）
ab
x+2y
=[x2+4xy+4y2 –(x2–4y2)]
=[4xy+8y2]
1.本节课要掌握：
多项式除以单项式的运算法则。
2.通过这节课的学习，你还有哪些收获？
归纳小结
我们愈是学习，愈觉得自己的贫乏。
—— 雪莱
L
(共13张PPT)
12.5 因式分解
第12章 整式的乘除
数学中的游戏
游戏规则：
1、大家说出一个大于1的正整数。
2、写出它的立方减它的式子。
如：53－5
3、不通过计算，说出这个式子能被那些正整数整除。
情境导入
*
小明是这样想的:
993-99能被100整除吗?
你是怎样想的?与同伴交流.
想一想
*
计算下列各式:
3x(x-1)= ，
m(a+b+c) = ,
(m+4)(m-4)= ,
(x-3)2= ,
a(a+1)(a-1)= ,
3x2 - 3x
ma+mb+mc
m2 -16
x2-6x+9
a3-a
做一做
*
根据上面的算式填空:
(1) 3x2-3x=
(2)ma+mb+mc=
(3) m2-16=
(4) x2-6x+9=
(5) a3-a=
3x(x-1)
m(a+b+c)
(m+4)(m-4)
(x-3)2
a(a+1)(a-1)
掌握新知
由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什么运算?
由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与它有什么不同?
答:由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是
整式乘法,由a3-a得到a(a+1)(a-1)
的变形与上面的变形互为逆过程.
议一议
*
分解因式定义:
把一个多项式化成几个整式积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式。
想一想: 分解因式与整式乘法有何关系?
*
善于辨析：分解因式与整式乘法有什么关系?
二者是互逆的恒等变形
分解因式
*
(1)x2-4y2=(x+2y)(x-2y)
(2)2x(x-3y)=2x2-6xy
(3)(5a-1)2=25a2-10a+1
(4)x2+4x+4=(x+2)2
(5)(a-3)(a+3)=a2-9
(6)m2-42=(m+4)(m-4)
(7)2 πR+ 2 πr= 2 π(R+r)
因式分解
整式乘法
整式乘法
因式分解
整式乘法
因式分解
因式分解
判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解?
巩固练习
*
把下列各式写成乘积的形式:
(1) 1-x2
(2) 4a2+4a+1
(3) 4x2-8x
(4) 2x2y-6xy2
(5) 1-4x2
(6) x2-14x+49
=(1+x)(1-x)
=(2a+1)2
=4x(x-2)
=2xy(x-3y)
=(1-2x)(1+2x)
=(x-7)2
*
1. 计算: 7652×17－2352 ×17
解: 7652×17－2352 ×17
=17(7652 －2352)=17(765+235)(765 －235)
=17 ×1000 ×530=9010000
2. 20042+2004能被2005整除吗?
解: ∵20042+2004=2004(2004+1)
=2004 ×2005
∴ 20042+2004能被2005整除
*
1.本节课要掌握：
（1）分解因式与整式乘法是互逆过程。
（2）分解因式要注意以下几点:
a.分解的对象必须是多项式。
b.分接的结果一定是几个整式的乘积的形式。
c.要分解到不能分解为止。
2.通过这节课的学习，你还有哪些收获？
归纳小结
为了成功地生活，少年人必须学习自立，铲除埋伏各处的障碍，在家庭要教养他，使他具有为人所认可的独立人格。
—— 戴尔·卡耐基
