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13.1 命题、定理与证明
1.命 题
第13章 全等三角形
情境导入
试判断下列句子是否正确？
（5）经过1点确定一条直线。
（1）两条直线相交，只有一个交点。
（2）内错角相等。
（3）矩形的对角线相等
（4）如果a2=b2，那么a=b
发现知识：依据所学知识可以判断（1）（3）是正确的，句子（2）（4）（5）是错误的，这几个句子的特点是可以判断一件事情的正确或错误，这样的句子就是命题。
命题：
判断正确或者错误的句子叫做命题，正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题。
反之，如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题。
例如：
（1）你喜欢数学吗？
（2）做线段AB=CD
探索新知
*
你能举出一些命题吗?
举出一些不是命题的语句。
*
下列句子哪些是命题？是命题的，指出是真命题还是假命题？
1、猪有四只脚；
2、三角形两边之和大于第三边；
3、画一条曲线；
4、四边形都是菱形；
5、你的作业做完了吗？
6、同位角相等，两直线平行；
7、对顶角相等；
8、多边形的内角和等于180度；
9、过点P做线段MN的垂线。
是
真命题
不是
是
真命题
是
假命题
不是
是
真命题
是
真命题
是
假命题
不是
*
观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特征？与同样交流。
（1）如果两个三角形的三条边相等，那么
这两个三角形全等；
（2）如果一个三角形是等腰三角形，那么
这个三角形的两个底角相等；
（3）如果一个四边形的对角线相等，那么
这个四边形是矩形；
*
总结概括
用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分
是结论。
命题是由题设（或条件）和结论两部分组成。
例如，在命题（1）中，“两个三角形的三条边相等”是题设，
“两个三角形全等”是结论。
命题一般都写成“如果……,那么……”的形式。你能在下面的命题都写成“如果……,那么……”的形式吗?
(1)熊猫没有翅膀；
(2)对顶角相等；
如果这个动物是熊猫，那么它就没有翅膀。
如果两个角是对顶角，那么它们就相等。
(3)全等三角形的对应边相等；
如果两个三角形全等，那么它们的对应边就相等。
(4)平行四边形的对边相等；
如果一个四边形是平行四边形，那么它的对边就相等。
*
例1：将命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”
改写成“如果、、、那么、、、”的形式，
并分别指出命题的题设和结论。
解：这个命题可以写成：“如果一个三角形的三个角都相等,那么这个三角形是等边三角形”。这个命题的题设是“一个三角形的三个角都相等”结论是“这个三角形是等边三角形”。
掌握新知
*
归纳小结
1.本节课要掌握：
（1）命题：判断正确或错误的句子叫命题。
a.正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题。
（2）命题的结构：命题由题设和结论两部分构成，常可写成“如果……那么……”的形式。
2.通过这节课的学习，你还有哪些收获？
?学习这件事不在乎有没有人教你，最重要的是在于你自己有没有觉悟和恒心。
—— 法布尔
(共12张PPT)
13.1 命题、定理与证明
2.定理与证明
第13章 全等三角形
试判断下列句子是否正确．
（1）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；( )
（2）两直线平行，同位角相等； ( )
（3）同旁内角相等，两直线平行； ( )
（4）平行四边形的对角线相等； ( )
（5）直角都相等． ( )
(6)三角形的内角和等于180°. ( )
(7)等腰三角形的两个底角相等 . ( )
√
√
√
√
√
×
×
情境导入
命题的分类:
真命题:正确的命题称为真命题.
假命题:错误的命题称为假命题．
探索新知
*
提示：
1、错误的命题也是命题。
如：“3〈 2”是一个命题。
2、命题必须是对某种事情作出判断，如问句，几何的作法等就不是命题。
*
1：判断下列语句是不是命题？是用“√”，
不是用“× 表示。
2）两条直线相交，有且只有一个交点。（ ）
4）一个平角的度数是180度。 （ ）
6）取线段AB的中点C。 （ ）
1）长度相等的两条线段是相等的线段吗（ ）
7）画两条相等的线段。 （ ）
3）不相等的两个角不是对顶角。 （ ）
5）相等的两个角是对顶角。 （ ）
×
√
×
×
√
√
√
总结概括
公理 ：数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理.
例如下列的真命题作为公理：
１、一条直线截两条平行直线所得的同位角相等；
2、两条直线被第三条直线所截，如果同位角相 等，那么这两条直线平行；
3、全等三角形的对应边、对应角分别相等．
总结概括
定理 ：
数学中有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法证明它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理 。
掌握新知
三角形的内角和等于180°
可以证明得到：
直角三角形的两个锐角互余。
真命题分类：
公理：是人们实践活动中总结出来的
定理：是通过证明得到的
*
又如:“内错角相等,两直线平行”这条定理就是在“同位角相等,两直线平行”这条公理的基础上推理而出的,它又可以作为判定平行线的依据.
公理、定理、命题的关系：
命题
真命题
假命题
公理（正确性由实践总结）
定理（正确性通过推理证实）
归纳小结
1.本节课要掌握：
命题是对某一事件的判断,每个命题都由条件、结论两部分组成,条件是已知事项,结论是由已知事项推出的事项.理解一个命题,首先要分清它的条件和结论。
命题有真假之分,正确的命题叫做真命题,错误的命题叫做假命题。
公理和定理都是真命题,但它们的来历却不同,前者来源于实践,后者通过推理论证得来的。
2.通过这节课的学习，你还有哪些收获？
?青年是整个社会力量中的一部分最积极最有生气的力量。他们最肯学习，最少保守思想，在社会主义时代尤其是这样。
—— 毛泽东
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13.2 三角形全等的判定
1.全等三角形 2.全等三角形的判定
第13章 全等三角形
全等三角形的性质是什么？
对应边相等;对应角相等。
如：△ABC≌△DEF,可以写出以下推理：
∵△ABC≌△DEF（已知）
∴AB=DE，BC=EF，AC=DF
∠A=∠D ，∠B=∠E，∠C=∠F
（全等三角形对应边相等）
（全等三角形对应角相等）
情境导入
画一个△ABC,使AB=5cm，AC=3cm。
这样画出来的三角形与同桌所画的三角形进行比较，它们互相重合吗？
若再加一个条件，使∠A=45°，画出△ABC。
5cm
3cm
画法：
3.在射线AN上截取AC=3cm
1.画∠MAN= 45°
4.连接BC
2.在射线AM上截取AB= 5cm
A
N
M
45°
·
·
·
·
·
·
·
·
B
C
∴△ABC就是所求的三角形
把你们所画的三角形剪下来与同桌所画的三角形进行比较，它们能互相重合吗？
用符号语言表达为：
在△ABC与△A`B`C`中
∴△ABC≌△A`B`C`（SAS）
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。简写成“边角边”或“SAS”
AB=A`B`
∠B=∠B`
BC=B`C`
二、探索新知
以2.5cm，3.5cm为三角形的两边，长度为2.5cm的边所对的角为45° ，情况又怎样？动手画一画。
两边及其一边所对的角相等，两个三角形不一定全等
结论：
如图，下列哪组条件不能判定△ABC≌△DEF（ ）
D
巩固练习
已知：如图，AC=AD, ∠CAB=∠DAB
求证：△ACB≌△ADB
已知:如图，AB=AC,AD=AE.
求证: △ABE≌△ACD
四、归纳小结
1.本节课要掌握：
（1）三角形全等的条件,两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 (边角边或SAS)。
（2）用SAS判定三角形全等的注意点：
a.至少需要三个条件
b.必须是两边一夹角（如不是夹角，则不一定全等）
c.全等的三个条件必须是三角形的对应边和对应角，如条件不完整，则必须先证明三个条件。
2.通过这节课的学习，你还有哪些收获？
?只要心还在跳，就要努力学习。
—— 张海迪
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13.2 三角形全等的判定
3.边角边
第13章 全等三角形
1.什么是全等三角形？
2.判定两个三角形全等要具备什么条件?
复习导入
边角边
有两边和它们夹角对应相等的
两个三角形全等。
试一试
一张教学用的三角形硬纸板不小心被撕坏了，
如图，你能制作一张与原来同样大小的新教具？
能恢复原来三角形的原貌吗？
C
B
E
A
D
探究1
先任意画出一个△ABC，再画一个△A'B'C'，使AB'=AB，∠A' =∠A，∠B' =∠B 把画好的△A'B'C'剪下，放到△ABC上，它们全等吗？
探索新知
画法：
C′
E
D
1、画A'B'＝AB；
2、在 A'B'的同旁画∠DA' B' =∠A ，
∠EB'A' =∠B， A' D，B'E交于点C'。
通过实验你发现了什么规律？
探究反映的规律是：
有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”）。
用数学符号表示
练一练
例1 已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB=AC，∠B=∠C。
求证： △ABE≌△ACD。
掌握新知
例2.如图，∠1=∠2，∠3=∠4
求证：AC=AB
证明：∵ ∠3=∠4（已知）
∴ ∠ADB=∠ADC（等角的补角相等）
∴AC=AB(全等三角形对应角相等)
探究2
在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E ，BC=EF，△ABC与△DEF全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？
探究反映的规律2是：
有两角和它们中的一边对应相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”）。
用数学符号表示
想一想
如图,AB⊥BC, AD⊥DC, ∠1=∠2.求证AB=AD。
1.本节课要掌握：
（1）角边角、角角边。
（2）注意角角边、角边角中两角边的区别。
（3）会根据已知两角画三角形。
（4）进一步学会用推理证明。
2.通过这节课的学习，你还有哪些收获？
归纳小结
?加紧学习，抓住中心，宁精勿杂，宁专勿多。
—— 周恩来
(共14张PPT)
13.2 三角形全等的判定
4.角边角
第13章 全等三角形
如图，已知两个角和一条线段，以这两个角为内角，以这条线段为这两个角的夹边，画一个三角形。
把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所有的三角形都全等吗？
换两个角和一条线段，试试看，是否有同样的结论．
都全等
600
400
4cm
A
B
C
步骤：
1.画一条线段AB，使它等于4cm；
2.画∠MAB=600、∠NBA=400，与 MA交于点C。
⊿ABC即为所求。
M
N
定理：当两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等时，两个三角形全等．（A.S.A.）
用几何语言叙述为：
∵∠A=∠D,
AB=DF,
∠B=∠E,
∴⊿ABC≌⊿DEF(A.S.A.)
如果两个三角形有两个角及其中一个角的对
边分别对应相等，那么这两个三角形是否一定全等？
已知：∠A＝∠A′， ∠B＝∠B′， AC＝A′C′
求证： △ABC≌△A′B′C′
证明：∵ ∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，
∠A＋∠B＋∠C＝180°
∠A′＋∠B′＋∠C′＝180°
∴ ∠C＝∠C′．
在△ABC和△A′B′C′中，
∵ ∠A＝∠A′
AC＝A′C′
∠C＝∠C′
∴ △ABC≌△A′B′C′（A.S.A.）
有两角和它们中的一边对应相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”）。
用几何语言叙述为：
在△ABE和△A’CD中，
∵∠B=∠C（已知 ）
∠A=∠A’ （已知 ）
AE=A’D（已知 ）
∴ △ABE≌△A’CD（ASA）
结论
如图，要证明△ACE≌ △BDF,根据给定的条件和指明的依据，将应当添设的条件填在横线上。
(1)AC∥BD，CE=DF，＿＿＿.(SAS)
(2) AC=BD， AC∥BD ,__________. (ASA)
(3) CE=DF，——————，————. (ASA)
(4)∠ C= ∠D，————，————. (ASA)
课堂练习
∠AEC=∠BFD
AC=BD
∠A=∠B
∠C=∠D
AC=BD
∠A=∠B
如图，∠ABC=∠DCB，试添加一个条件，使得△ABC≌△DCB,这个条件可以是
_________(A.S.A.)
或_______(A.A.S.)
或_______(S.A.S.)
∠ACB=∠DBC
∠A=∠D
AB=DC
1.两个直角三角形中，斜边和一锐角对应相等，这两个直角
三角形全等吗？为什么？
2.两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角对应相等，这
两个直角三角形全等吗？为什么？
答：全等，根据A.A.S.
答：全等，根据A.S.A.
根据题目条件，判别下面的两个三角形是否全等，并说明理由.
练一练
探究1
证明：在△ABE和△ACD中，
∵ ∠B=∠C ，
AB=AC，
∠A=∠A,
∴ △ABE≌△ACD（A.S.A.)
练习
如图,AB⊥BC, AD⊥DC, ∠1=∠2.
求证:AB=AD .
证明：∵ AB⊥BC,AD⊥DC,
∴∠B=∠D=900.
在⊿ABC和⊿ADC中，
∵ ∠B=∠D,
∠1=∠2 ,
AC=AC,
∴ ⊿ABC≌⊿ADC(A.A.S.)
∴AB=AD
如图,填空：
在△ADC和 △BOD中，
∵∠A=∠B（已知）
（已知）
∠C=∠D （已知）
∴△ADC≌△BOD（ ）
想一想
归纳小结
1、通过本节课的学习，你又知道了哪些判定三角形全等的方法？
2、我们已经掌握了哪些判定三角形全等的方法？
?如果学习只在于模仿，那么我们就不会有科学，也不会有技术。
—— 高尔基
(共14张PPT)
13.2 三角形全等的判定
5.边边边
第13章 全等三角形
我们已经学习了哪些三角形全等的判定方法?
SAS
ASA
AAS
你会用刻度尺和圆规画△ DEF吗？
使其三边分别为3cm，4cm和5cm。
把你画的三角形与其他同学所画的三角形剪下来，进行比较，它们能否互相重合？
1、画线段EF= 3cm。
2、分别以E、F为圆心， 5cm ， 4cm
长为半径画两条圆弧，交于点D。
3、连结DE，DF。
△ DEF就是所求的三角形
画法：
探索新知
有三边对应相等的两个三角形全等.
可以简写成 “边边边” 或“ SSS ”
用 数学语言表述：
在△ABC和△ DEF中
∴ △ABC ≌△ DEF（SSS）
掌握新知
判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等。
议一议：在下列推理中填写需要补充的条件，使结论成立：
如图，在△AOB和△DOC中
∴ △AOB≌△DOC（SSS）
AB DC
解： △ABC≌△DCB
理由如下：
AB = CD
AC = DB
=
SSS
△DCB
BC
CB
BF=CD
或 BD=CF
例1. 如下图，△ABC是一个刚架，AB=AC，AD是连接A与BC中点D的支架。 求证：△ ABD≌ △ ACD
分析：要证明△ ABD≌ △ ACD，首先看这两个三角形的三条边是否对应相等。
结论：从这题的证明中可以看出，证明是由题设（已知）出发，经过一步步的推理，最后推出结论正确的过程。
掌握新知
①准备条件：证全等时要用的间接条件要先证好；
②三角形全等书写三步骤：
写出在哪两个三角形中
摆出三个条件用大括号括起来
写出全等结论
证明的书写步骤：
（SSS）
如图，在四边形ABCD中
AB=CD，AD=BC，则∠A= ∠C
请说明理由。
AB=CD （已知）
AD=BC （已知）
BD=DB
（公共边）
∴ ∠A= ∠C （ ）
全等三角形的对应角相等
已知: 如图,AC=AD ,BC=BD. 求证: ∠C＝∠D.
A
B
C
D
解:
在△ACB 和 △ADB中
AC = A D (已知）
BC = BD (已知）
A B = A B (公共边）
∴△ACB≌△ADB
（SSS）
议一议：
连结AB
∴∠C＝∠D.
（全等三角形对应角相等）
巩固练习
1.如图，在△ABC中，AB=AC，E、F分别为AB、AC上的点，且AE=AF，BF与CE相交于点O.图中有哪些全等的三角形？
.△ABF≌△ACE（SAS）
△EBC≌△FCB（SSS）
△EBO≌△FCO（AAS）
2.如图， ∠1= ∠2，要使△ ABC ≌△ DCB，需增加的一个条件是_____________.
①∠ABC=∠DCB(ASA)
②∠A=∠D(AAS)
③AC=DB(SAS)
①∠ABC=∠DCB(ASA)
②∠A=∠D(AAS)
③AC=DB(SAS)
归纳小结
1.通过本节课的学习，你又知道了哪些判定三角形全等的方法？
2.我们已经掌握了哪些判定三角形全等的方法？
?努力学习，勤奋工作，让青春更加光彩。
—— 王光美
(共17张PPT)
13.2 三角形全等的判定
6.斜边直角边
第13章 全等三角形
回
顾
与
思
考
1、判定两个三角形全等方法， ， ， ， 。
SSS
ASA
AAS
SAS
2、如图，AB⊥BE于B，DE ⊥BE于E，
（1）若 ∠A= ∠D，AB=DE，则 △ABC与 △DEF ______, （填“全等”或“不全等”）根据________.
全等
ASA
（2）若 ∠A= ∠ D，BC=EF，则 △ABC与 △ DEF_____ （填“全等”或“不全等”）根据_________.
全等
AAS
（3）若AB=DE，BC=EF，则 △ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”）根据________
全等
SAS
（4）若AB=DE，BC=EF，AC=DF则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”）,
根据_______
SSS
全等
复习导入
已知线段a=4cm、c=5cm,利用尺规作一个Rt△ABC,使∠C=90o ，CB=a，AB=c.
探索新知
按照下面的步骤做：
⑴ 作∠MCN=90°;
⑵ 在射线CM上截取线段CB=a;
⑶ 以B为圆心,C为半径画弧，交射线CN于点A;
⑷ 连接AB.
△ABC就是所求作的三角形.
剪下这个三角形，和其他同学所作的三角形进行比较，它们能重合吗？
如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等,那么这两个直角三角形全等. 简写成“斜边直角边”或“H.L.”.
用几何语言表示为:
在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,
∵AB=A'B',
BC=B'C',
∴ Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(H.L.)
想一想
你能够用几种方法说明两个直角三角形全等？
直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法:SAS、ASA、AAS、SSS，还有特殊的判定方法——“H.L.”.
例1.已知：如图,在△ABC和△ABD中，AC⊥BC, AD⊥BD,垂足分别为C,D,AD=BC.
求证:△ABC≌△BAD.
A
B
D
C
证明:∵ AC⊥BC,AD⊥BD(已知）
∴∠C=∠D=900
在RtABC和RtBAD中，
∵BC=AD,(已知)
AB=BA(公共边)
∴RtABC≌RtBAD（H.L.)
掌握新知
例2.已知△ABC中，AB=AC,AD⊥BC,试用全等识别法说明AD平分∠BAC.
B
A
C
D
证明:∵AD⊥BC
∴∠ADB=∠ADC=900
在RtABD和RtACD中
∵AB=AC
AD=AD
∴ RtABD≌RtACD（H.L.)
∴∠BAD=∠CAD
即AD平分∠BAC。
例3：已知：如图△ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB，BD、CE交于O点，且BD=CE
求证：OB=OC.
证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB
∴∠BDC=∠CED=900
在RtBCD和RtCBE中
∵BD=CE
BC=CB
∴RtBCD≌RtCBE
∴∠1=∠2
∴OB=OC
已知,如图AB⊥BD，CD⊥BD，AB=DC
求证：AD//BC.
证明：∵ AB⊥BD，CD⊥BD
∴∠ABD=∠CDB=900
在RtABD和RtCDB中，
∵AB=CD,(已知)
∠ABD=∠CDB=900
BD=DB(公共边)
∴RtABC≌RtBAD（S.A.S.)
已知：如图，在△ABC和△DEF中,AP、DQ分别是高, AB=DE,AP=DQ,∠BAC=∠EDF
求证：△ABC≌△DEF
已知：∠ACB=∠ADB=90°，AC=AD.
求证：CE=DE
如图，AC=AD，∠C，∠D是直角，将上述条件标注在图中，你能说明BC与BD相等吗？
解：在Rt△ACB和Rt△ADB中,则
∵ AB=AB,
AC=AD.
∴ Rt△ACB≌Rt△ADB (HL).
∴BC=BD
(全等三角形对应边相等).
巩固练习
如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由。
解：BD=CD
∵∠ADB=∠ADC=90°
AB=AC
AD=AD
∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)
∴BD=CD
如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么关系？
解：在Rt△ABC和Rt△DEF中,
∵ BC=EF,
AC=DF .
∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL).
∴∠ABC=∠DEF
(全等三角形对应角相等).
∵ ∠DEF+∠DFE=90°,
∴∠ABC+∠DFE=90°
归纳小结
1、通过本节课的学习，你知道了哪些判定直角三角形全等的方法？
2、我们已经掌握了哪些判定三角形全等的方法？
?努力学习，勤奋工作，让青春更加光彩。
—— 王光美
(共15张PPT)
13.3 等腰三角形的判定（1）
第13章 全等三角形
1、等腰三角形是怎样定义的？
有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形。
①等腰三角形是轴对称图形。
③等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称为“三线合一”)，它们所在的直线就是等腰三角形的对称轴。
②等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”) 。
2、等腰三角形有哪些性质？
如图，在△ABC中， AB=AC时，
(1) ∵AD⊥BC，∴∠____= ∠____，___= ___.
(2) ∵AD是中线，∴___⊥___ ，∠____ =∠____.
(3) ∵AD是角平分线，∴___ ⊥___ ，____ =____.
BAD
CAD
CAD
BD
CD
AD
BC
BD
BAD
BC
AD
CD
几何语言：∵AB=AC(已知) ∴∠B=∠C (等边对等角)
对于命题〝等腰三角形的两个底角相等〞.请先把它改写成〝如果…那么…〞的形式,然后说出它的逆命题.
逆命题:
如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.
如果一个三角形是等腰三角形,那么这个三角形的两个底角相等.
它是真命题吗?
操作一：请在纸上任意画线段BC，分别以点B和点C为顶点，以BC为一边，在BC的同侧画两个相等的角，两角的终边相交于点A。
此时△ABC中，保证了什么条件成立？
操作二：量一量，线段AB与AC的长度。
你发现了什么结论？其他同学的结果与你的相同吗？
如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。
（1）已知什么？需要说明的结论是什么？
（2）要说明两条边相等，我们已经有哪些经验？
（3）怎样添加一条辅助线，把△ABC分成两个全等的三角形？
（4）添加顶角的平分线AD，你能说明△ABD与△ACD全等吗？根据什么？
A
B
C
D
1
2
已知：如图,在ΔABC中，∠B=∠C。
求证：AB=AC
证明:作∠BAC的平分线AD,则∠1=∠2
在△BAD和△CAD中,
∵∠B=∠C ( 已知 )
∠1=∠2 ( 已作 )
AD=AD (公共边)
∴ △BAD ≌ △CAD (AAS).
∴ AB= AC (全等三角形的对
应边相等).
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)。
几何语言：
∵∠B =∠C (已知)
∴ AB=AC(等角对等边)
思考：
除了作∠BAC的平分线外，还可以有哪些作辅助线的方法？
例：如果三角形一个角的外角的角平分线平行于三角形的第三边，那么这个三角形是等腰三角形吗？为什么？
A
B
C
D
1
2
解：∠CAB是ΔABC的外角，AD∥BC，
∴∠1=∠B
∠2=∠C
∴∠B=∠C
∴AB=AC，即ΔABC是等腰三角形
例2：如图,上午10 时，一条船从A处出发以20海里每小时的速度向正北航行，中午12时到达B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC=40°， ∠NBC=80°求从B处到灯塔C的距离
N
B
A
C
80°
40°
北
解：∵∠NBC=∠A+∠C
∴∠C=80°- 40°= 40°
∴ BA=BC（等角对等边）
∵AB=20（12-10）=40
∴BC=40
答：B处到达灯塔C40海里
1、如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°。分别计算∠1、∠2的度数，并说明图中有哪些等腰三角形。
2、如图，把一张矩形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？
3、如图，AC和BD相交于点O，且AB∥DC，OA=OB。
求证：OC=OD。
∠1=72°，∠2=36°
等腰三角形有：△ABC，△ABD， △BCD。
A
B
C
D
E
5、已知：如图，AD ∥BC，BD平分∠ABC。求证：AB=AD
证明：∵ AD ∥BC
∴∠ADB=∠DBC
∵ BD平分∠ABC
∴∠ABD=∠DBC
∴∠ABD=∠ADB
∴AB=AD
4、已知：如图，CD是等腰直角三角形ABC斜边上的高，找出图中有哪些等腰直角三角形。
等腰直角三角形有： △ABC ，△ACD ，△BCD。
小结
有两边相等的三角形是等腰三角形
2.等边对等角
3. 三线合一
4.是轴对称图形
2.等角对等边
1.两边相等
1.两腰相等
运用等腰三角形的判定定理时，应注意在同一个三角形中.
名称 图 形 概 念 性质 判 定
等
腰
三
角
形
与同伴交流你在探索思路的过程中的具体做法。
下例各说法对吗？为什么？
1、等腰三角形两底角的平分线相等.
2、等腰三角形两腰上的中线相等.
3、等腰三角形两腰上的高相等.
思考
巩固练习
归纳小结
通过本节课的学习，你知道了哪些等腰三角形的判定方法？
?学会学习的人，是非常幸福的人。
—— 米南德
(共15张PPT)
13.4 尺规作图
第13章 全等三角形
1.作一条线段等于已知线段
2、作一个角等于已知角
已知： ∠AOB。
求作： ∠A`O`B`,使∠A`O`B`= ∠AOB。
1、作射线O`A`。
2、以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于 点C，交OB于D。
3、以点O`为圆心，以OC长为半径作弧，交O`A`于点C`。
4、以点C`为圆心，以CD长为半径作弧，交前弧于D`。
5、过点D`作射线O`B`。
∠A`O`B`就是所求的角。
O
A
B
C
D
O`
A`
C`
D`
B`
证明：连接DC,D’C’ ,由作法可知
△C`O`D`≌△COD(SSS),
∴∠C`O`D`=∠COD(全等三角形的对应角相 等)，
即∠A`O`B`=∠AOB。
O
A
B
C
D
B`
O`
A`
C`
D`
3、平分已知角
已知： ∠AOB。
求作：射线OC，使 ∠ AOC= ∠ BOC。
作法：
1、以点O为圆心，任意长为半径画弧分别交OA、OB于点D、E。
2、分别以D、E为圆心、大于DE的一半的长为半径画弧，在∠AOB内两弧交于点C。
3、作射线OC。
OC就是所求的射线。
A
O
B
C
D
E
步骤：
1、分别以点A、B为圆心，以大于AB一半的长为半径画弧，两弧的交于点C、D。
2、连结CD。
则CD是线段AB的垂直平分线．
A
B
C
D
已知：线段AB。
求作：作直线CD交AB于O，使CD⊥AB,且AO=BO.
4、画已知线段的垂直平分线
作法：
(1)以点C为圆心，任一线段的长为半径画弧，交直线l于点A、B；
(2)以点A 、B为圆心,以大于CB长为半径在直线一侧画弧，两弧交于点D；
(3)经过点C、D作直线CD．
直线CD即为所求．
①.如图，点C在直线l上，试过点C画出直线l的垂线．
5.过定点作已知直线的垂线
D
C
A
B
l
作法：
(1)以点C为圆心，以适当长为半径画弧，交直线l于点A、B；
(2)分别以点A. B为圆心，以CB长为半径在直线另一侧画弧，两弧于点D．
(3)经过点C、D作直线CD．
直线CD即为所求．
②.如图，如果点C不在直线l上，试和同学讨论，应采取怎样的步骤，过点C画出直线l的垂线？
A
B
D
1、任意画一个钝角，并作出它的平分线。
2、已知：直线AB及直线AB外一点C；
求作：过点C作CD∥AB。
(提示：过点Ｃ任作一条直线l，交AB于点E,在点C作∠CEB的同位角(或内错角).使它等于∠CEB) l
C
A
E
B
练一练
五种基本作图：
1、作一条线段等于已知线段
2、作一个角等于已知角
3、平分已知角
4、作已知线段的垂直平分线
5、过一点作已知直线的垂线
小结
通过本节学习，应理解一些作图语句。
过点x、点x作直线；或作直线xx，射线xx.
连结两点x、x；或连结xx;
在xx上截取xx=xx;
以点x为圆心，xx为半径作圆（弧）；(交xx于x点；)
分别以点x，点x为圆心，以xx为半径作弧，两弧相交于x点。
教学反思
本节课你掌握了哪些知识？
还有哪些疑惑？
?学习要有三心，一信心，二决心，三恒心。
—— 陈景润
(共18张PPT)
13.5 逆命题与逆定理
1.逆命题与逆定理
第13章 全等三角形
1、命题的概念：
可以判断正确或错误的
句子叫做命题。
2、命题都有两部分：
条件和结论
例如：两直线平行,内错角相等；
内错角相等,两直线平行；都是命题。
注意：问句和几何作法不是命题！
观察上面三组命题,你发现了什么?
1、两直线平行,内错角相等；
3、如果小明患了肺炎,那么他一定会发烧；
4、如果小明发烧,那么他一定患了肺炎；
2、内错角相等,两直线平行；
5、平行四边形的对角线互相平分；
6、对角线互相平分的四边形是平行四边形；
说出下列命题的条件和结论：
一般来说，在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.
如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个
命题叫做它的逆命题。
上面两个命题的条件和结论恰好互换了位置．
命题“两直线平行，内错角相等”的
条件为两直线平行；
结论为内错角相等．
因此它的逆命题为
内错角相等，两直线平行.
练习1：指出下列命题的条件和结论，并说出它们的逆命题。
1、如果一个三角形是直角三角形，那么它的 两个锐角互余.
条件：一个三角形是直角三角形.
结论：它的两个锐角互余.
逆命题：如果一个三角形的两个锐角互余，
那么这个三角形是直角三角形.
2、等边三角形的每个角都等于60°
条件：一个三角形是等边三角形.
结论：它的每个角都等于60°.
逆命题：如果一个三角形的每个角都等于60°，
那么这个三角形是等边三角形.
3、全等三角形的对应角相等.
条件：两个三角形是全等三角形.
结论：它们的对应角相等.
逆命题：如果两个三角形的对应角相等，
那么这两个三角形全等.
4、到一个角的两边距离相等的点，在这个角的 平分线上.
条件：一个点到一个角的两边距离相等.
结论：它在这个角的平分线上.
逆命题：角平分线上一点到角两边的距离相等.
5、线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个 端点的距离相等.
条件：一个点在一条线段的垂直平分线上.
结论：它到这条线段的两个端点的距离相等.
逆命题：到一条线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
每一个命题都有逆命题，只要将原命题的条件改成结论，并将结论改成条件，便可得到原命题的逆命题．但是原命题正确，它的逆命题未必正确．例如真命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”，此命题就是假命题．
练习2 举例说明下列命题的逆命题是假命题.
例如10能5整除，但它的个位数是0.
（1）如果一个整数的个位数字是5 ，那么这个整数 能被5整除.
逆命题：如果一个整数能被5整除，那么这个整数的个位数字是5.
（2）如果两个角都是直角，那么这两个角相等.
逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是直角.
例如60°= 60°，但这两个角不是直角.
如果一个定理的逆命题也是定理，那么
这两个定理叫做互逆定理。
其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理。
我们已经知道命题“两直线平行，内错角相等”和它的逆命题“内错角相等，两直线平行”都是定理，因此它们就是互逆定理．
一个假命题的逆命题可以是真命题，甚至可以是定理．例如“相等的角是对顶角”是假命题，但它的逆命题“对顶角相等”是真命题，且是定理．
注意1：逆命题、互逆命题不一定是真命题，
但逆定理、互逆定理，一定是真命题
注意2：不是所有的定理都有逆定理
练习3：
在你学过的定理中，有哪些定理的逆命题是
真命题？试举出几个例子说明.
例如：1、同旁内角互补，两直线平行.
逆命题：两直线平行，同旁内角互补.
真
2、有两个角相等的三角形是等腰三角形.
逆命题：如果一个三角形是等腰三角形，那么它有两个角相等.
真
补充练习：说出下列命题的逆命题，并判定逆命题的真假：
①既是中心对称，又是轴对称的图形是圆.
②有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
逆命题：圆既是中心对称，又是轴对称的图形——真命题
逆命题：平行四边形有一组对边平行并且相等——真命题。
小结
这节课我们学到了什么？
①逆命题、逆定理的概念.
②能写出一个命题的逆命题.
③在证明假命题时会用举反例说明.
1、写出下列命题的逆命题，并判断它是真是假。
(1)如果x=y,那么x2 =y2；
(2)如果一个三角形有一个角是钝角,那么它的另外两个角是锐角；
练习
?学习从来无捷径，循序渐进登高峰。
—— 高永祚
(共15张PPT)
13.5 逆命题与逆定理
2.线段垂直平分线
第13章 全等三角形
回顾
1.等腰三角形有哪些性质？
2.在△PAB中，PA=PB ,若PN平分AB，则PN⊥AB.
3.猜想：若MN⊥AB垂足为N，P为直线MN上任意一点，是否有PA=PB成立？
(3)验证猜想
已知：如图，MN⊥AB,垂足为点N，AN=BN,点P是直线MN任一点。
求证: PA=PB。
注意：这里的点P是MN任一点.
思考：证明两条线段相等有哪些方法？对于本题可以用哪种方法？
请大家把证明的过程写在练习本上。
探究
（4）得出结论
线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等.
符号语言:
若点P在线段AB的垂直平分线上，
则PA=PB.
线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
你能根据图形写出已知、求证，并进行证明吗？
如果有一个点在线段的垂直平分线上，那么这个点到线段的两个端点距离相等.
到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
逆命题
若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上.
*
已知：PA=PB
求证：点P在线段AB的垂直平分线上.
证明：
过点P作AB的垂线PN，
垂足为C
∵PA=PB，PC⊥AB
∴PC平分AB
∴直线PN是线段AB的垂直平分线
即点P在AB的垂直平分线上
1.在△ABC中，∠ACB=90°，AB=8cm，BC的垂直平分线DE交AB于D点,则CD=____
4cm
2、在△ABC,PM,QN分别垂直平分AB,AC，则:
(1)若BC=10cm则△APQ的周长=_____cm;
(2)若∠BAC=100°则∠PAQ=______.
10
200
三角形的三边垂直平分线
猜想：三角形的三边垂直平分线交于一点
三角形三边的垂直平分线交与一点.到三角形的三个顶点距离相等.
如图，△ABC中，边AB、BC的垂直平分线交于点O。
（1）求证：OA=OB=OC。
（2）点O是否也在边AC的垂直平分线上呢？由此你能得出什么结论？
证明：∵点O在线段AB的垂直平分线上
∴OA=OB
∵点O在线段BC的垂直平分线上
∴OB=OC
∴OA=OB
∴点O在线段AC的垂直平分线上
3、在△ABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在的直线相交所得的锐角为50°，则∠B=______.
700或200
例题：
有A、B、C三个村庄，现准备要建一所学校，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置。
A
B
C
高 速 公 路
A
B
在某高速公路L的同侧，有两个工厂A、B，为了便于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两个工厂的工人都没意见，问医院的院址应选在何处？你的方案是什么?
生活中的数学
L
课堂小结
本节课学习了哪些知识？
到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
教学反思
本节课你掌握了哪些知识？
还有哪些疑惑？
?人永远是要学习的。死的时候，才是毕业的时候。
—— 萧楚女
(共13张PPT)
13.5 线段垂直平分线
3.角平分线
第13章 全等三角形
角平分线的性质是什么
用纸剪一个角，把纸片对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，你看到了什么？
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
？
角平分线的这条性质是怎样得到的呢？
回顾
*
定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
如图,已知:OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E.
求证:PD=PE(平分线上的点到这个角的两角边距离相等).
C
证明: 因为PD⊥OA，PE⊥OB（已知），
所以 ∠PDO＝∠PEO＝90°（垂直的定义）．
∴△PDO≌△PEO (A.A.S)
∴PD=PE
于是就有定理：
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
问答 ：1.如图，在Rt△ABC 中，
做完本题后，你对角平分线,又增加了什么认识?
角平分线的性质，
为我们证明两线段相等 又提供了新的方法与途径。
A
B
C
BD是∠B 的平分线 ，
DE⊥AB，垂足为E，
E
DE与DC 相等吗？为什么？
答：
DE=DC。
∵ BD是∠ABC的平分线 （D在∠ABC的平分线上）
又∵ DE⊥BA，垂足为E，
DC⊥BC，垂足为C，
∴ DE=DC。
反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？
已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足，PD＝PE．
求证：点P在∠AOB的平分线上．
证明： PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足，
在Rt △PDO 与Rt △PEO中
∴∠PDO= ∠PEO=Rt ∠
PD=PE（已知）
｛
OP=OP（公共边）
∴Rt△PDO≌△PDO
∴∠1=∠2 即点P在∠AOB的平分线上
于是就有定理：
到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上 .
命题: 三角形三个角的平分线相交于一点.
基本想法是这样的:
我们知道,两条直线相交只有一个交点.要想证明三条直线相交于一点,只要能证明两条直线的交点在第三条直线上即可.这时可以考虑前面刚刚学习的内容.
如图,设△ABC的角平分线BM,CN相交于点P,过点P分别作BC,AC,AB的垂线,垂足分别是E,F,D.
∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上,
∴△ABC的三条角平分线相交于一点P.
∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).
同理,PE=PF.
∴PD=PF.
∴点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上).
1、 ∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB
∴___________
(________________________________)
DC=DE
角平分线上的点到角的两边的距离相等
2、判断题（ ）
∵ 如图，AD平分∠BAC（已知）
∴ BD = DC ，
( )
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
×
练习
1． 如图，在直线l上找出一点P，使得点P到∠AOB的两边OA、OB的距离相等．
提示：作∠AOB的平分线，交直线l于P就是所求的点.
教学反思
本节课你掌握了哪些知识？
还有哪些疑惑？
?我学习了一生，现在我还在学习，而将来，只要我还有精力，我还要学习下去。
—— 别林斯基
