2019-2020学年山东省东营市垦利区、广饶县七年级（上）期中数学试卷（解析版）

2019-2020学年山东省东营市垦利区、广饶县七年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分．
1．（3分）下列是轴对称图形的是　　
A． B． C． D．
2．（3分）下列条件中，不能断定为直角三角形的是　　
A． B．
C． D．
3．（3分）如图，在中，边上的高是　　
A． B． C． D．
4．（3分）已知等腰三角形的两边长分别是3和6，则它的周长等于　　
A．12 B．12或15 C．15或18 D．15
5．（3分）如图，给出下列四组条件：
①，，；
②，．；
③，，；
④，，．
其中，能使的条件共有　　
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
6．（3分）如图，已知在中，是边上的高线，平分，交于点，，，则的面积等于　　
A．10 B．7 C．5 D．4
7．（3分）如图，将一根长的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
8．（3分）如图，要测量河两岸相对的两点、的距离，先在的垂线上取两点、，使，再作出的垂线，使点、、在同一条直线上（如图所示），可以说明，得，因此测得的长就是的长，判定，最恰当的理由是　　
A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．边边角
9．（3分）中，，，高，则的周长为　　
A．42 B．32 C．42或32 D．37或33
10．（3分）已知：如图，在，中，，，，点，，三点在同一条直线上，连接，．以下四个结论：
①；②；③；④．
其中结论正确的个数有　　
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题3分，共28分．只要求填写最后结果．
11．（3分）图中的值为　 　．
12．（3分）如图，在中，，，平分，交于点，若，则　 　．
13．（3分）如图，中，，，平分线．过点作于点，则　　．
14．（3分）如图，圆柱的底面周长是，圆柱高为，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点爬到与之相对的上底面点，那么它爬行的最短路程为　　．
15．（4分）如图，在已知的中，按以下步骤作图：
①分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，；
②作直线交于点，连接．
若，，则　 　．
16．（4分）如图，三边的中线、、的公共点为，若，则图中阴影部分的面积是　　．
17．（4分）如图，将边长为的正方形纸片折叠，使点落在边中点处，点落在点处，折痕为，则线段的长度为　　．
18．（4分）如图，在中，，和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，则　　．
三、解答题：本大题共8小题，共72分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（8分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：线段和，
求作：，使得，，．
20．（8分）如图，在中，、分别是高线与角平分线，，，求的度数．
21．（8分）如图所示，小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开与旗杆底部相距5米后，发现下端刚好接触地面．请你求出旗杆的高度．
22．（8分）如图，，，于点，．
（1）求的度数，并判断的形状；
（2）若延长线段恰好过点，试说明是的平分线．
23．（10分）如图，，以点为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交，于，两点，再分别以，为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点，作射线，交于点．
（1）若，求的度数；
（2）若，垂足为，求证：．
24．（10分）如图，直线表示一条铁路，，是两个城市，它们到铁路的垂直距离分别为，，已知，现要在，之间设一个中转站，使两个城市到中转站的距离之和最短，请你设计一种方案确定点的位置，并求这个最短距离．
25．（10分）如图，中，平分，且平分，于，于．
（1）判断与的数量关系，并说明理由；
（2）如果，，求、的长．
26．（10分）已知点为线段上一点，分别以、为边在线段的同侧作和，且，，，直线与交于点．
（1）如图1，若，则则　 　，如图2，若，则　 　，如图3，若，则　 　（用含的式子表示）；
（2）设，将图3中的绕点顺时针旋转任意角度（交点至少在、中的一条线段上），如图4，试探究与的数量关系，并予以证明．

2019-2020学年山东省东营市垦利区、广饶县七年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分．
1．（3分）下列是轴对称图形的是　　
A． B． C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：、不是轴对称图形，故此选项错误；
、是轴对称图形，故此选项正确；
、不是轴对称图形，故此选项错误；
、不是轴对称图形，故此选项错误；
故选：．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．
2．（3分）下列条件中，不能断定为直角三角形的是　　
A． B．
C． D．
【分析】、根据勾股定理的逆定理进行判定即可；
、根据三角形的内角和为180度，即可计算出的值；
、根据比值并结合勾股定理的逆定理即可判断出三角形的形状；
、根据角的比值求出各角的度数，便可判断出三角形的形状．
【解答】解：、正确，符合勾股定理的逆定理，故成立；
、正确，因为，，则，故为直角三角形；
、正确，因为，所以设，，，则，故为直角三角形；
、错误，因为，所以设，则，，故，解得，，，故此三角形是锐角三角形．
故选：．
【点评】此题考查了解直角三角形的相关知识，根据勾股定理的逆定理、三角形的内角和定理结合解方程是解题的关键．
3．（3分）如图，在中，边上的高是　　
A． B． C． D．
【分析】根据三角形的高线的定义解答．
【解答】解：根据高的定义，为中边上的高．
故选：．
【点评】本题主要考查了三角形的高的定义，熟记概念是解题的关键．
4．（3分）已知等腰三角形的两边长分别是3和6，则它的周长等于　　
A．12 B．12或15 C．15或18 D．15
【分析】由于等腰三角形的两边长分别是3和6，没有直接告诉哪一条是腰，哪一条是底边，所以有两种情况，分别利用三角形的周长的定义计算即可求解．
【解答】解：等腰三角形的两边长分别是3和6，
①当腰为6时，三角形的周长为：；
②当腰为3时，，三角形不成立；
此等腰三角形的周长是15．
故选：．
【点评】此题主要考查了三角形的周长的计算，也利用了等腰三角形的性质，同时也利用了分类讨论的思想．
5．（3分）如图，给出下列四组条件：
①，，；
②，．；
③，，；
④，，．
其中，能使的条件共有　　
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【分析】要使的条件必须满足、、、，可据此进行判断．
【解答】解：第①组满足，能证明．
第②组满足，能证明．
第③组满足，能证明．
第④组只是，不能证明．
所以有3组能证明．
故符合条件的有3组．
故选：．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．添加时注意：、不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
6．（3分）如图，已知在中，是边上的高线，平分，交于点，，，则的面积等于　　
A．10 B．7 C．5 D．4
【分析】作于，根据角平分线的性质求得，然后根据三角形面积公式求得即可．
【解答】解：作于，
平分，，，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了角的平分线的性质以及三角形的面积，作出辅助线求得三角形的高是解题的关键．
7．（3分）如图，将一根长的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【分析】先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可．
【解答】解：当筷子与杯底垂直时最大，最大．
当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时最小，
如图所示：此时，，
故．
故的取值范围是．
故选：．
【点评】此题将勾股定理与实际问题相结合，考查了同学们的观察力和由具体到抽象的推理能力，有一定难度．
8．（3分）如图，要测量河两岸相对的两点、的距离，先在的垂线上取两点、，使，再作出的垂线，使点、、在同一条直线上（如图所示），可以说明，得，因此测得的长就是的长，判定，最恰当的理由是　　
A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．边边角
【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法．
【解答】解：因为证明在用到的条件是：，，，
所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即这一方法．
故选：．
【点评】此题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、，做题时注意选择．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
9．（3分）中，，，高，则的周长为　　
A．42 B．32 C．42或32 D．37或33
【分析】本题应分两种情况进行讨论：
（1）当为锐角三角形时，在和中，运用勾股定理可将和的长求出，两者相加即为的长，从而可将的周长求出；
（2）当为钝角三角形时，在和中，运用勾股定理可将和的长求出，两者相减即为的长，从而可将的周长求出．
【解答】解：此题应分两种情况说明：
（1）当为锐角三角形时，在中，
，
在中，
的周长为：；
（2）当为钝角三角形时，
在中，，
在中，，
．
的周长为：
当为锐角三角形时，的周长为42；当为钝角三角形时，的周长为32．
故选：．
【点评】此题考查了勾股定理及解直角三角形的知识，在解本题时应分两种情况进行讨论，易错点在于漏解，同学们思考问题一定要全面，有一定难度．
10．（3分）已知：如图，在，中，，，，点，，三点在同一条直线上，连接，．以下四个结论：
①；②；③；④．
其中结论正确的个数有　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①由，，利用等式的性质得到夹角相等，利用得出，由全等三角形的对应边相等得到；
②由得到一对角相等，再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到垂直于；
③由等腰直角三角形的性质得到，等量代换得到；
④由垂直于，在直角三角形中，利用勾股定理列出关系式，等量代换即可作出判断．
【解答】解：①，
，即，
在和中，
，
，
，本选项正确；
②，
，
，
，
，
则，本选项正确；
③为等腰直角三角形，
，
，
，本选项正确；
④，
只有当时，才成立．
综上所述，正确的结论有3个．
故选：．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题3分，共28分．只要求填写最后结果．
11．（3分）图中的值为　20　．
【分析】直接利用三角形内角和定理得出即可．
【解答】解：由图形可得出：，
解得：．
故答案为：20．
【点评】此题主要考查了三角形内角和定理，熟练记忆三角形内角和定理是解题关键．
12．（3分）如图，在中，，，平分，交于点，若，则　2　．
【分析】根据角平分线性质求出的度数，根据含30度角的直角三角形性质求出即可得．
【解答】解：，，
，
平分，
，
，
故答案为2．
【点评】本题考查了对含30度角的直角三角形的性质和角平分线性质的应用，求出的长是解此题的关键．
13．（3分）如图，中，，，平分线．过点作于点，则　　．
【分析】依据三角形内角和定理可得的度数，再根据角平分线以及垂线的定义，即可得到的度数．
【解答】解：，，
，
又平分线，
，
又，
中，，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，解题时注意：三角形内角和是．
14．（3分）如图，圆柱的底面周长是，圆柱高为，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点爬到与之相对的上底面点，那么它爬行的最短路程为　　．
【分析】把圆柱沿母线剪开后展开，点展开后的对应点为，利用两点之间线段最短可判断蚂蚁爬行的最短路径为，如图，由于，，然后利用勾股定理计算出即可．
【解答】解：把圆柱沿母线剪开后展开，点展开后的对应点为，则蚂蚁爬行的最短路径为，如图，
，，
在，，
所以它爬行的最短路程为．
故答案为：．
【点评】本题考查了平面展开最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
15．（4分）如图，在已知的中，按以下步骤作图：
①分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，；
②作直线交于点，连接．
若，，则　　．
【分析】根据要求先画出图形，利用等腰三角形的性质以及三角形外角定理求出和即可．
【解答】解：如图所示：
垂直平分，
，
，，
，
，
，，
．
故答案为：．
【点评】本题考查基本作图、垂直平分线的性质、三角形的外角定理、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活应用这些性质解决问题，属于中考常考题型．
16．（4分）如图，三边的中线、、的公共点为，若，则图中阴影部分的面积是　4　．
【分析】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，知的面积即为阴影部分的面积的3倍．
【解答】方法1
解：的三条中线、，交于点，
，，
，
，，
．
故答案为4．
方法2
设，，，，，的面积分别为，，，，，，根据中线平分三角形面积可得：，，，①，②
由①②可得，所以，故阴影部分的面积为4．
故答案为：4．
【点评】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，该图中，的面积的面积的面积，的面积的面积的面积．
17．（4分）如图，将边长为的正方形纸片折叠，使点落在边中点处，点落在点处，折痕为，则线段的长度为　　．
【分析】根据折叠的性质，只要求出就可以求出，在直角中，若设，则，，根据勾股定理就可以列出方程，从而解出的长．
【解答】解：由题意设 ，则，
又，
在中，，即，
解得：，即．
故答案为：．
【点评】本题考查翻折变换的问题，折叠问题其实质是轴对称，对应线段相等，对应角相等，找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键．
18．（4分）如图，在中，，和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，则　　．
【分析】根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，整理即可求出的度数，同理求出，可以发现后一个角等于前一个角的，根据发现后一个角等于前一个角的的规律即可得解，把代入解答即可．
【解答】解：是的平分线，是的平分线，
，，
又，，
，
，
同理可得，
由此可得一下规律：，
当时，，
故答案为：．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图然后求出后一个角是前一个角的是解题的关键．
三、解答题：本大题共8小题，共72分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（8分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：线段和，
求作：，使得，，．
【分析】首先作射线截取，进而以为边作，再截取，进而连接，得出．
【解答】解：如图所示：即为所求．
【点评】此题主要考查了复杂作图，正确掌握作一角等于已知角的方法是解题关键．
20．（8分）如图，在中，、分别是高线与角平分线，，，求的度数．
【分析】由，，，根据内角和定理得，由角平分线的定义得，根据得，利用求解．
【解答】解：，，
在中，，
是的角平分线，
，
又，
，
．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义．关键是利用内角和定理求，根据角平分线的定义求，利用高得出互余关系求，利用角的和差关系求解．
21．（8分）如图所示，小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开与旗杆底部相距5米后，发现下端刚好接触地面．请你求出旗杆的高度．
【分析】因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度．
【解答】解：设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米，
根据勾股定理可得：，
解得，．
答：旗杆的高度为12米．
【点评】此题考查学生利用勾股定理解决实际问题的能力，比较简单．
22．（8分）如图，，，于点，．
（1）求的度数，并判断的形状；
（2）若延长线段恰好过点，试说明是的平分线．
【分析】（1）根据三角形内角和定理求得，根据平行线的性质求得，即可求得的度数，根据等角对等边求得是等腰三角形；
（2）根据等腰三角形三线合一的性质即可证得；
【解答】解：（1）于点，，
，
，
，
，
，，
是等腰三角形；
（2）延长线段恰好过点，，
，
是等腰三角形，
是的平分线．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握和应用这些性质和定理是本题的关键．
23．（10分）如图，，以点为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交，于，两点，再分别以，为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点，作射线，交于点．
（1）若，求的度数；
（2）若，垂足为，求证：．
【分析】（1）根据，，得出，再根据是的平分线，即可得出的度数．
（2）根据，，得出，再根据，，即可得出．
【解答】（1）解：，
，
又，
，
由作法知，是的平分线，
；
（2）证明：平分，
，
，
，
，
又，
，
在和中，，
．
【点评】此题考查了作图复杂作图，用到的知识点是全等三角形的判定、平行线的性质、角平分线的性质等，解题的关键是证出．
24．（10分）如图，直线表示一条铁路，，是两个城市，它们到铁路的垂直距离分别为，，已知，现要在，之间设一个中转站，使两个城市到中转站的距离之和最短，请你设计一种方案确定点的位置，并求这个最短距离．
【分析】根据题意画出图形，再利用轴对称求最短路径的方法得出点位置，进而结合勾股定理得出即可．
【解答】解：如图，延长到使，连接交于，
则的最小值，
过作交于，
，，，
，，
，
这个最短距离是．
【点评】本题考查的是最短路线问题、矩形的判定定理及勾股定理，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键．
25．（10分）如图，中，平分，且平分，于，于．
（1）判断与的数量关系，并说明理由；
（2）如果，，求、的长．
【分析】（1）连接，，由平分，于，于，根据角平分线的性质，即可得，又由且平分，根据线段垂直平分线的性质，可得，继而可证得，则可得；
（2）首先证得，即可得，然后设，由，即可得方程，解方程即可求得答案．
【解答】（1）解：，理由如下：
连接，，
平分，，，
，，
且平分，
，
在与中，
，
，
；
（2）解：在和中，
，
，
，
设，则，
，，，，
，
解得：，
，．
【点评】此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，利用方程思想与数形结合思想求解．
26．（10分）已知点为线段上一点，分别以、为边在线段的同侧作和，且，，，直线与交于点．
（1）如图1，若，则则　　，如图2，若，则　 　，如图3，若，则　 　（用含的式子表示）；
（2）设，将图3中的绕点顺时针旋转任意角度（交点至少在、中的一条线段上），如图4，试探究与的数量关系，并予以证明．
【分析】（1）如图1，首先证明，得出，再根据是的外角求出其度数．如图2，首先证明，得出，又有，进而得出．如图3，由得到，再由三角形的内角和定理得，从而得出，得到结论．
（2）由得到，通过证明得，由三角形内角和定理得到结论．
【解答】解：（1）如图1，，，
所以是等边三角形．
，，
所以是等边三角形．
，，，
又，
．
，，
．
．
是的外角．
．
如图2，，，，
．
，
又，，
．
．
如图3，，
．
．
．
．
．
（2）；
证明：，则，
即．
在和中，
，
．
则，由三角形内角和知．
．
【点评】本题考查了全等三角形的判定及其性质、三角形内角和定理等知识，本题还综合了旋转的知识点，是一道综合性比较强的题，要熟练掌握等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质定理．