2019-2020学年安徽省合肥市瑶海区九年级（上）期中数学试卷（解析版）

2019-2020学年安徽省合肥市瑶海区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大題共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）下列各式中，是的二次函数的是　　
A． B． C． D．
2．（4分）已知，则下列比例式成立的是　　
A． B． C． D．
3．（4分）抛物线经过平移得到抛物线，平移的方法是　　
A．向左平移1个，再向下平移1个单位
B．向右平移1个，再向下平移1个单位
C．向左平移1个，再向上平移1个单位
D．向右平移1个，再向上平移1个单位
4．（4分）如图，在中，，，，，则的长为　　
A．2 B．4 C．6 D．8
5．（4分）点是线段的黄金分割点，若，则　　
A． B． C． D．
6．（4分）如图所示是二次函数的图象，则的值是　　
A． B． C． D．或
7．（4分）二次函数的自变量与函数值的对应值如图，下列说法错误的是：　　
10
4
0
0
A．抛物线开口向上
B．抛物线与轴的交点是
C．当时，随的增大而减小
D．当时，随的增大而增大
8．（4分）某企业是一家专门生产季节性产品的企业，当产品无利润时，企业会自动停产，经过调研预测，它一年中每月获得的利润（万元）和月份之间满足函数关系式，则企业停产的月份为　　
A．2月和12月 B．2月至12月
C．1月 D．1月、2月和12月
9．（4分）函数的图象如图所示，那么关于的方程的根的情况是　　
A．有两个相等的实数根 B．有两个异号的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
10．（4分）已知，二次函数满足以下三个条件：①，②，③，则它的图象可能是　　
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）如果线段，，那么和的比例中项是　　．
12．（5分）在广安市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度（米与水平距离（米之间的关系为，由此可知该生此次实心球训练的成绩为　　米．
13．（5分）如图，矩形的顶点，分别在反比例函数．的图象上，顶点，在轴上，连接，交于点，则　　．
14．（5分）已知函数，当时，函数有最大值为4，则　　．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）若，求代数式的值．
16．（8分）已知二次函数的图象经过，，三点．
（1）求二次函数解析式；
（2）试说明随的变化情况．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）已知和中，有，且和的周长之差为15厘米，求和的周长．
18．（8分）如图，菱形的边长为1，直线过点，交的延长线于，交的延长线于，求的值．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）直线为常数）与双曲线为常数）相交于、两点．
（1）若点的横坐标为3，点的纵坐标为．直接写出：　　，　　，的解集为　　．
（2）若双曲线为常数）的图象上有点，，，，当时，比较与的大小．
20．（10分）在平面直角坐标系中，、、，．
（1）若抛物线经过、、三点，求此抛物线的解析式；
（2）若（1）中的抛物线的顶点为，连接，若是上一动点，过点作，垂直于轴，垂足分别是、．求矩形面积的最大值．
六、（本题满分38分）
21．（12分）如图所示，双曲线与直线，为常数）交于，两点．
（1）求的值；
（2）若点坐标为，当的值最小时，求出的值；
（3）求的面积．
22．（12分）某网店经市场调查，发现进价为40元的某新型文具每月的销售量（件与售价（元的相关信息如下：
售价（元
60
70
80
90
销售量（件
280
260
240
220
（1）试用你学过的函数来描述与的关系，这个函数可以是　　（填“一次函数”、“反比例函数”或“二次函数” ，并求这个函数关系式；
（2）当售价为多少元时，当月的销售利润最大，最大利润是多少；
（3）若获利不得高于进价的，那么售价定为多少元时，月销售利润达到最大，最大利润是多少？
23．（14分）定义：在平面直角坐标系中，图形上点的纵坐标与其横坐标的差称为点的“坐标差”，而图形上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形的“特征值”．
（1）求点的“坐标差”和抛物线的“特征值”．
（2）某二次函数的“特征值”为，点与点分别是此二次函数的图象与轴和轴的交点，且点与点的“坐标差”相等，求此二次函数的解析式．
（3）如图所示，二次函数的图象顶点在“坐标差”为2的一次函数的图象上，四边形是矩形，点的坐标为，点为坐标原点，点在轴上，当二次函数的图象与矩形的边有四个交点时，求的取值范围．

2019-2020学年安徽省合肥市瑶海区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大題共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）下列各式中，是的二次函数的是　　
A． B． C． D．
【分析】一般地，如果，，是常数，，那么叫做的二次函数．根据定义的一般形式进行判断即可．
【解答】解：、是反比例函数，错误；
、是一次函数，错误；
、是二次函数，正确；
、是正比例函数，错误．故选．
【点评】利用二次函数的定义就可以解答．
2．（4分）已知，则下列比例式成立的是　　
A． B． C． D．
【分析】直接利用比例的性质得出，之间关系进而得出答案．
【解答】解：、，可以化成：，故此选项错误；
、，可以化成：，故此选项正确；
、，可以化成：，故此选项错误；
、，可以化成：，故此选项错误．
故选：．
【点评】此题主要考查了比例的性质，正确掌握比例的基本性质是解题关键．
3．（4分）抛物线经过平移得到抛物线，平移的方法是　　
A．向左平移1个，再向下平移1个单位
B．向右平移1个，再向下平移1个单位
C．向左平移1个，再向上平移1个单位
D．向右平移1个，再向上平移1个单位
【分析】由抛物线得到顶点坐标为，而平移后抛物线的顶点坐标为，根据顶点坐标的变化寻找平移方法．
【解答】解：得到顶点坐标为，
平移后抛物线的顶点坐标为，
平移方法为：向左平移1个单位，再向下平移1个单位．
故选：．
【点评】本题考查了抛物线的平移规律．关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律．
4．（4分）如图，在中，，，，，则的长为　　
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】根据平行线分线段成比例求出，即可解答．
【解答】解：，
，即，
解得：，
；
故选：．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，解决本题的关键是熟记平行线分线段成比例定理．
5．（4分）点是线段的黄金分割点，若，则　　
A． B． C． D．
【分析】根据黄金比值为列式计算即可．
【解答】解：点是线段的黄金分割点，，
，
，
解得，，
故选：．
【点评】本题考查的是黄金分割，掌握黄金比值为是解题的关键．
6．（4分）如图所示是二次函数的图象，则的值是　　
A． B． C． D．或
【分析】由图象得，此二次函数过原点，把点代入函数解析式得，解得的值．
【解答】解：由图象得，此二次函数过原点，
把点代入函数解析式得，解得；
又因为此二次函数的开口向上，所以；
所以．
故选：．
【点评】此题考查了二次函数的图象，解题的关键是掌握点与函数的关系，以及二次函数的开口方向问题．
7．（4分）二次函数的自变量与函数值的对应值如图，下列说法错误的是：　　
10
4
0
0
A．抛物线开口向上
B．抛物线与轴的交点是
C．当时，随的增大而减小
D．当时，随的增大而增大
【分析】根据二次函数的性质和表格中的数据可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决．
【解答】解：由表格可知，
该抛物线的对称轴是直线，抛物线开口向上，故选项正确；
和对应的函数值相等，故抛物线与轴的交点是，故选项正确；
当时，随的增大而减小，故选项错误；
当时，随的增大而增大，故选项正确；
故选：．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
8．（4分）某企业是一家专门生产季节性产品的企业，当产品无利润时，企业会自动停产，经过调研预测，它一年中每月获得的利润（万元）和月份之间满足函数关系式，则企业停产的月份为　　
A．2月和12月 B．2月至12月
C．1月 D．1月、2月和12月
【分析】知道利润和月份之间函数关系式，求利润大于0时的取值．
【解答】解：由题意知，
利润和月份之间函数关系式为，
，
当时，，
当时，，
当时，，
故停产的月份是1月、2月、12月．
故选：．
【点评】本题考查二次函数的实际应用，判断二次函数、、，要把二次函数写成交点式，看看图象与轴的交点，结合开口分析，进行判断．
9．（4分）函数的图象如图所示，那么关于的方程的根的情况是　　
A．有两个相等的实数根 B．有两个异号的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
【分析】根据抛物线的顶点坐标的纵坐标为4，判断方程的根的情况即是判断函数的图象与直线交点的情况．
【解答】解：函数的顶点的纵坐标为4，
直线与抛物线只有一个交点，
方程有两个相等的实数根．
故选：．
【点评】此题主要考查了方程的根的情况，先看函数的图象的顶点坐标纵坐标，再通过图象可得到答案．
10．（4分）已知，二次函数满足以下三个条件：①，②，③，则它的图象可能是　　
A． B．
C． D．
【分析】由抛物线满足：：①，②，③，判断抛物线与轴的交点，根据图象判断、的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：二次函数满足以下三个条件：①，②，③，
由①可知，则抛物线与轴有两个交点；
由②可知：当时，，故、符合条件，
由的图象可知，对称轴直线，，，抛物线交的负半轴，，则，
由的图象可知，对称轴直线，，，抛物线交的负半轴，，则有可能，
故满足条件的图象可能是，
故选：．
【点评】此题考查了二次函数各系数与函数图象的关系，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）如果线段，，那么和的比例中项是　6　．
【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可求解．
【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．
设和的比例中项是，
那么，，（线段是正数，负值舍去），
所以，
故答案为6．
【点评】此题考查了比例线段；理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数．
12．（5分）在广安市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度（米与水平距离（米之间的关系为，由此可知该生此次实心球训练的成绩为　10　米．
【分析】根据铅球落地时，高度，把实际问题可理解为当时，求的值即可．
【解答】解：当时，，
解得，（舍去），．
故答案为：10．
【点评】本题考查了二次函数的应用中函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．
13．（5分）如图，矩形的顶点，分别在反比例函数．的图象上，顶点，在轴上，连接，交于点，则　　．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的几何意义，求出矩形的面积为8，矩形的面积为3，进一步求得，通过证得，得出．
【解答】解：延长交轴于点，
点在反比例函数的图象上，
矩形的面积为8，
点分别在反比例函数的图象上，
矩形的面积为3，
矩形的面积为：，
，
，
，
，
故答案为：．
【点评】考查反比例函数的几何意义，矩形的性质，三角形相似的判定和性质，根据矩形的面积得出是解题的关键．
14．（5分）已知函数，当时，函数有最大值为4，则　或　．
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，利用分类讨论的方法，可以求得的值．
【解答】解：函数，当时，函数有最大值为4，
该函数的对称轴是直线，
当时，时，函数取得最大值，即，得；
当时，时，函数取得最大值，即，解得，，
故答案为：或．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）若，求代数式的值．
【分析】设比值为，然后用表示出、、，再代入比例式进行计算即可得解．
【解答】解：设，
则，，，
所以．
【点评】本题考查了比例的性质，利用“设”法表示出、、可以使计算更加简便．
16．（8分）已知二次函数的图象经过，，三点．
（1）求二次函数解析式；
（2）试说明随的变化情况．
【分析】（1）根据题意列方程组即可得到结论；
（2）根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）二次函数的图象经过，，三点，
，
解得：，
二次函数解析式的解析式为：；
（2），
当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小；当时，有最大值为4．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，正确的求得函数的解析式是解题的关键．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）已知和中，有，且和的周长之差为15厘米，求和的周长．
【分析】设和的周长分别是厘米和厘米．构建方程组即可解决问题．
【解答】解：设和的周长分别是厘米和厘米．
，
①
由题意可得：②
由①式得③
将③式代入①式得：，
，
将代入③式得：，
答：和的周长分别是30厘米和45厘米．
【点评】本题考查比例的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
18．（8分）如图，菱形的边长为1，直线过点，交的延长线于，交的延长线于，求的值．
【分析】根据平行线分线段成比例定理和菱形的性质即可求解
【解答】解：四边形是菱形，
又，
．
答：的值为1．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理、菱形的性质，解决本题的关键是比例线段之间的关系变形．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）直线为常数）与双曲线为常数）相交于、两点．
（1）若点的横坐标为3，点的纵坐标为．直接写出：　12　，　　，的解集为　　．
（2）若双曲线为常数）的图象上有点，，，，当时，比较与的大小．
【分析】（1）根据正比例函数与双曲线的交点关于原点对称得出，，进而得出，，然后根据图象即可求得的解集；
（2）根据反比例函数的性质即可判断．
【解答】解：（1）直线为常数）与双曲线为常数）相交于、两点，点的横坐标为3，点的纵坐标为，
，，
，，
由图象可知，的解集为或，
故答案为12，，或；
（2）若点，，，在同一象限，即，随的增大而减小，
当时，则；
若点，，，不在同一象限，即，
当时，则点，在第三象限，，在第一象限，
则．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，反比例函数的性质，解不等式．利用数形结合思想是解题的关键．
20．（10分）在平面直角坐标系中，、、，．
（1）若抛物线经过、、三点，求此抛物线的解析式；
（2）若（1）中的抛物线的顶点为，连接，若是上一动点，过点作，垂直于轴，垂足分别是、．求矩形面积的最大值．
【分析】（1）设抛物线的解析式为：，把、、代入列方程组即可得到结论；
（2）由（1）可知，抛物线的顶点坐标，求得直线的解析式为，设点的坐标为，根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为：，
把、、代入得，，
解得：，
抛物线的解析式为：；
（2）由（1）可知，抛物线的顶点坐标，
为，
直线的解析式为，
设点的坐标为，
，
当时，矩形面积的最大值为．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，矩形的性质，正确的理解题意是解题的关键．
六、（本题满分38分）
21．（12分）如图所示，双曲线与直线，为常数）交于，两点．
（1）求的值；
（2）若点坐标为，当的值最小时，求出的值；
（3）求的面积．
【分析】（1）由点坐标即可求出反比例函数，再把点坐标代入反比函数即可求出的值；
（2）求得点关于轴的对称点，连接，交轴与，此时，的值最小，根据待定系数法求得直线的解析式，然后把代入求得的解析式即可求得的值；
（3）根据待定系数法求得直线的解析式，即可得到直线与轴的交点的坐标，然后根据求得即可．
【解答】解：（1）把代入，
，
反比例函数的解析式为，
把代入得，，
解得；
（2）由（1）可知：，，
点关于轴的对称点，
连接，交轴与，此时，的值最小，
设直线的解析式为，
把，代入得，
解得：，
直线的解析式为，
把代入得，
；
（3）设直线的解析式为，
把，代入得，解得，
直线的解析式为，
直线与轴的交点，
．
【点评】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法．
22．（12分）某网店经市场调查，发现进价为40元的某新型文具每月的销售量（件与售价（元的相关信息如下：
售价（元
60
70
80
90
销售量（件
280
260
240
220
（1）试用你学过的函数来描述与的关系，这个函数可以是　一次函数　（填“一次函数”、“反比例函数”或“二次函数” ，并求这个函数关系式；
（2）当售价为多少元时，当月的销售利润最大，最大利润是多少；
（3）若获利不得高于进价的，那么售价定为多少元时，月销售利润达到最大，最大利润是多少？
【分析】（1）利用一次函数的性质和待定系数法求解可得；
（2）根据月销售利润单件利润乘以月销售量可得函数解析式，配方成顶点，再利用二次函数的性质求解可得；
（3）先根据获利不得高于进价的得出的范围，再结合二次函数的性质求解可得．
【解答】解：（1）由表格知，售价每增加10元，销售量对应减少20元，
所以这个函数是一次函数，
设其解析式为，
根据题意，得：，
解得：，
，
故答案为：一次函数；
（2）设月销售利润为，
则
，
，
当时，取得最大值，最大值为12800元，
故当售价为120元时，当月的销售利润最大，最大利润是12800元，
（3）获利不得高于进价的，
，
解得：，
，
当时，随的增大而减小，
当时，取得最大值，最大值为8192，
答：售价定为72元时，月销售利润达到最大．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并据此列出函数解析式，熟练掌握二次函数的性质．
23．（14分）定义：在平面直角坐标系中，图形上点的纵坐标与其横坐标的差称为点的“坐标差”，而图形上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形的“特征值”．
（1）求点的“坐标差”和抛物线的“特征值”．
（2）某二次函数的“特征值”为，点与点分别是此二次函数的图象与轴和轴的交点，且点与点的“坐标差”相等，求此二次函数的解析式．
（3）如图所示，二次函数的图象顶点在“坐标差”为2的一次函数的图象上，四边形是矩形，点的坐标为，点为坐标原点，点在轴上，当二次函数的图象与矩形的边有四个交点时，求的取值范围．
【分析】（1），故“指标差”为，，故“特征值”为5；
（2）由题意得：点，故点、的“指标差”相等，故点，把点的坐标代入得：，解得：，故：，故抛物线的“特征值”为，，故，即可求解；
（3）“坐标差”为2的一次函数为：，对于图1，直线与矩形边的交点为：，则对称轴为：，解得：，对于图2，把点代入并解得：或10（舍去，即可求解．
【解答】解：（1），故“指标差”为，
，故“特征值”为5；
（2）由题意得：点，故点、的“指标差”相等，
故点，把点的坐标代入得：
，
解得：，
故：，
故抛物线的“特征值”为，
，
故．
，，
故抛物线的表达式为：；
（3）“坐标差”为2的一次函数为：，
抛物线的图象的顶点在上，
设抛物线的表达式为：，
当抛物线与矩形有3个交点时，如图1、2，
对于图1，直线与矩形边的交点为：，
则对称轴为：，解得：，
对于图2，把点代入并解得：
或10（舍去，
故，解得：，
故二次函与矩形的边有四个交点时，求的取值范围：．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、矩形性质等，这种新定义类的题目，通常按照题设的顺序逐次求解．