高中数学第二章基本初等函数（Ⅰ）2.1.1指数与指数幂的运算教材梳理新人教A版必修1

2.1.1 指数与指数幂的运算
疱丁巧解牛
知识·巧学·升华
指数与指数幂的运算
1．整数指数幂
（1）正整数指数幂
正整数指数幂am（a＞0，m∈N*）事实上是一种缩写，即.
根据缩写的这种意义可以得到如下的性质:
（1）am×an=am+n;（2）am÷an=am-n；（3）(am)n=amn；(4）anbn=(ab)n;(5)()n=（b≠0）.
（2）负整数指数幂
∵an·a-n=an-n=a0=1，∴a-n=.
这一规定把除法与乘法统一起来了，an÷bm==an·b-m.
由于a0与a-n（n∈N*）都是由数学式子中除数an产生的，根据0作除数无意义，所以规定a0与a-n的同时，必须有an≠0即a≠0，这样的规定才与已往有的除法运算相一致.就这样，正整数指数幂推广到了整数指数幂.
要点提示 整数指数幂的底数应使等号两边都有意义.正整数指数幂的底数是a∈R；零指数和负整数指数幂的底数a∈R且a≠0.指数可以是任意整数.
2．根式
（1）平方根：如果x2=a，则x叫做a的平方根（或二次方根），其中a叫做被开方数，次数2叫做根指数，x叫做a的平方根.
当a＞0时，它有两个互为相反数的平方根，记作：，-；当a=0时，=0；当a＜0时，在实数范围内没有平方根.例如：x2=9，则x=±=±3是9的平方根，若x2=-4＜0，则在实数范围内-4没有平方根. 或者平方根可由二次函数y=x2的图象与性质去理解.
要点提示 平方根存在与否以及平方根的个数仅仅与被开方数有关.
（2）立方根：如果x3=a，则x叫做a的立方根（或三次方根）.它的被开方数、根指数、根分别是a、3、x.在实数范围内，对任意a∈R，它都有唯一的立方根，其中叫做根式.
（3）n次方根：如果存在实数x，使得xn=a（a∈R，n＞1，n∈N），则x叫做a的n次方根.
如果n是偶数，它同平方根一样，当a＞0时，它有两个n次方根，即±；当a=0时，=0；当a＜0时，在实数范围内无偶次方根.如果n是奇数，它同立方根一样，对任意a∈R，它都有唯一的n次方根.
要点提示 (1)只有当有意义时，才能称为根式.n次方根是平方根和立方根的推广.根指数是大于1的整数.
(2）无论根指数是大于1的偶数还是奇数，当被开方数是0时，它的n次方根是0.
3．方根性质
（1）n次方根的性质
x=(k∈N*,n>1,n∈N)
式子叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数.
由n次方根的定义，我们可以得到根式的运算性质．
（2）根式的运算性质
①=a（n＞1，n∈N）
理解这一性质的关键是紧扣n次方根的定义，如果xn=a(n>1,且n∈N)有意义，则无论n是奇数或偶数，x=一定是它的一个n次方根，所以=a恒成立.例如：=3，=-5.
记忆要诀 先开方，再乘方（同次），结果为被开方数.
当n为奇数时，a∈R，由n次方根的定义可得=a恒成立，
当n为偶数时，a∈R，an≥0，表示正的n次方根或0，所以如果a≥0，那么=a.例如=3，=0；如果a＜0，那么=|a|=-a，如==3.从而归纳得到以下根式的性质：
②
利用根式的运算性质对根式的化简的过程中，根指数n为奇数的题目较易处理，而例题侧重于根指数n为偶数的运算.
记忆要诀 先奇次乘方，再开方（同次），结果为被开方数；先偶次乘方，再开方（同次），结果为被开方数的绝对值.
4.分数指数幂
（1）根式与分数指数幂的转化
为了使同底数幂的运算变成指数的简单运算，有必要对分数指数幂规定为：（a≥0，n、m∈N*，n≥2），（a＞0，n、m∈N*，n≥2）．
分数指数幂是根式的另一种写法，这种写法更便于指数运算.同0指数幂、负整数指数幂一样，负分数指数幂中，≠0，即a≠0.指数的概念在引入了0指数、负整数指数、分数指数以后，指数的概念就实现了由整数到有理数的扩充，扩充后同底数的有理次幂的乘法、除法、开方都可以化为指数的运算，为化简根式带来了很大的方便.
要点提示 （1）{有理数}={分数}=Q.（2）零的正分数次幂为零，零的负分数次幂无意义.（3）对分数指数幂和根式的互化，要紧扣方根的定义.
（2）分数指数幂的运算法则
设a＞0，b＞0，α、β∈Q，则
①aα·aβ=aα+β；②（aα）β=aαβ；③（ab）α=aα·bα.
分数指数幂的运算法则同整数指数幂一样，aα是一个确定的实数.
根式化成分数指数幂的形式，若对约分，有时会改变a的范围.例如：.所以考虑清楚a的范围后再化简.
要点提示 化简代数式的关键是把问题化归成我们熟悉的、已知其运算法则的分数指数幂的形式，利用其法则去计算；对于代数式的化简结果，可用根式或分数指数幂中的一种形式，但不能同时出现根式和分数指数幂的形式，也不能既有分母，又有负指数.
5.无理指数幂
无理指数幂教材中没有给出严格的定义，可阅读教材61页，通过计算器计算，体会“有理数逼近无理数”的思想，感受一下它的逼近程度.
一般地，当a＞0，α为无理数时，aα也是一个确定的实数.整数指数幂的运算法则就推广到了实数范围内，也就是说，设a＞0，b＞0，α、β∈R，则
（1）aα·aβ=aα+β；（2）（aα）β=aαβ；（3）（ab）α=aα·bα.恒成立.
问题·思路·探究
问题 为什么正数的偶次方根有两个并且互为相反数，而负数没有偶次方根？
思路：根据方根的定义，考虑偶次方与偶次方根的联系．
探究:根据方根定义，若x是a(a>0)的n次方根（n为偶数），则xn=a，这时（-x）n=a，即-x也是a(a>0)的n次方根．假设x是a(a<0)的n次方根（n为偶数）,则xn=a．因为xn≥0，a<0，所以xn=a不成立，与方根定义矛盾．
典题·热题·新题
例1 下列命题中,错误的是（ ）
A.当n为奇数时,=x B.当n为偶数时,=x
C.当n为奇数时,=x D.当n为偶数时,=x
思路解析：由对根式性质中奇偶条件限制的理解,很容易知道选B.
答案：B
深化升华 当n是奇数时，=a.
例2 已知函数y=的定义域为R,则下列给出的n, m中,不能取的一对值是（ ）
A.n=3,m=7 B.n=2,m=4 C.n=4,m=3 D.n=3,m=4
思路解析：如果n是奇数，对任意a∈R，它都有唯一的n次方根；故A、D项符合要求．如果n是偶数，它同平方根一样，当a＞0时，它有两个n次方根，当a=0时，=0,当a＜0时，在实数范围内无偶次方根，B项中x4符合要求，而C项中x3未必为非负数，如x=-1就不行．
答案：C
误区警示 当a＜0时，在实数范围内a无偶次方根，容易忽视．
例3 利用函数计算器计算（精确到0.001）.
（1）0.32.1；（2）3.14-3；（3）；（4）.
思路解析：对于（1），可先按底数0.3，再按xy键，再按幂指数2.1，最后按，即可求得它的值；
对于（2），先按底数3.14，再按xy键，再按负号键，再按3，最后按即可；
对于（3），先按底数3.1，再按xy键，再按34，最后按即可.
对于（4），这种无理指数幂，可先按底数3，其次按xy键，再按键，再按3，最后按键.有时也可按2ndf或shift键，使用键上面的功能去运算.
答案：（1）0.32.1≈0.080；（2）3.14-3≈0.032；（3）≈2.336；（4）≈6.705.
深化升华 熟练掌握用计算器计算幂的值的方法与步骤，感受一下现代技术的威力，逐步把自己融入现代信息社会.用四舍五入法求近似值，若保留小数点后n位，只需看第（n+1）位能否进位即可.
例4 比较，，的大小.
思路解析：底数不同根指数也不同的两个数比较其大小，要化为同底数的或化为同指数的数再作比较.
解：，，而8＜9，
∴，
，，而25＜32.∴＜.
总之，＜＜.
拓展延伸 比较幂值的大小，如果底数与指数都不相同时，能化为同底，则先化为同底，不能化为同底，就化为同指数，这些都是通过代数变形转化的方法来实现的.转化是解题的万能钥匙.
例5 已知x+x-1=3,求下列各式的值.
(1);(2)
思路解析：（1）题若平方则可出现已知形式,但开方时应注意正负的讨论;
(2)题若立方则可出现(1)题形式与已知条件,需将已知条件与(1)题结论综合;或者可仿照(1)题作平方处理,进而利用立方和公式展开.
∵=x+x-1+2=3+2=5,
∴=±.
又由x+x-1=3得x>0，所以.
（2）解法一：
=
=（x-1+x-1）
==
解法二：
=
=x3+x-3+2
而x3+x-3
=(x+x-1)(x2-1+x-2)
=(x+x-1)［(x+x-1)2-3］
=3×(32-3)=18
∴=20.
又由x+x-1=3,得x>0,
∴.
误区警示 (1)题注重了已知条件与所求问题之间的内在联系,但开方时正负的取舍容易被学生忽视,应强调以引起学生注意.
拓展延伸 (2)题解法一注意了(1)题结论的应用,显得颇为简捷,解法二注重的是与已知条件的联系,体现了对立方和公式、平方和公式的灵活运用,而且具有一定的层次,需看透问题实质方可解决得彻底,否则可能半途而废.另外,(2)题也体现了一题多解.
深化升华 条件代数式的化简遵循以下三个原则.
（1）若条件复杂，结论简单，可把条件化简成结论的形式.
（2）若结论复杂，条件简单，可把结论化简成条件的形式.
（3）若条件结论均复杂，可同时化简它们，直到找到它们之间的联系为止.