高中数学第二章基本初等函数（Ⅰ）2.1.2指数函数及其性质教材梳理新人教A版必修1

2.1.2 指数函数及其性质
疱丁巧解牛
知识·巧学·升华
一、指数函数及其性质
1.指数函数的定义
一般地，函数y=ax（a＞0且a≠1，x∈R）叫做指数函数，其中x是自变量.
由于当a=0时，若x＞0，ax恒等于0；若x≤0，ax无意义.
当a＜0时，如y=（-2）x，对x=…，-，，，…在实数范围内函数值不存在.
当a=1时，y=1x=1，是一常量，没有研究的必要.综上可知，当a≤0或a=1时，不是没有意义，就是没有研究的必要，故规定a＞0且a≠1.
只有形如y=ax（a＞0且a≠1）且定义域为R的函数，才是指数函数，又如y=3·2x，y=2x-1，y=2x+1等，是由指数函数经过某种变换而得到的，它们都不是指数函数.
要点提示 因为指数的概念已经从整数扩充到实数，在底数a＞0且a≠1的情况下，对任意一个x都有唯一确定的值y与它对应，所以x是任意实数.
2.指数函数的图象和性质
（1）下面先画指数函数y=2x及y=0.5x图象
列出x,y的对应值表，用描点法化出图象：
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=2x
0.13
0.25
0.5
1
2
4
8
y=0.5x
8
4
2
1
0.5
0.25
0.13
要点提示 函数y=ax与y=a-x的图象关于y轴对称.
（2）指数函数y=ax在底数a＞1及0＜a＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示：
a＞1
0＜a＜1
图象
性质
①定义域：R
②值域：（0，+∞）
③过点（0，1），即x=0时，y=1
④在R上是增函数，
当x＜0时，0＜y＜1；
当x＞0时，y＞1
④在R上是减函数，
当x＜0时，y＞1；
当x＞0时，0＜y＜1
指数函数的单调性是指数函数性质中应用最广的，运用此性质可以求与指数函数有关的一般函数的值域、单调区间等．
指数函数的图象变换有两种：一种是平移变换分上下、左右平移，遵循“左加右减，上加下减”．平移前后的形状没有发生变化，只是位置改变了；另一种是对称变换，它会导致前后的形状发生明显改变．指数函数的图象变换可以推广到我们学过的任何函数．
研究函数的性质，可明确图象的形状；通过函数的图象可以进一步加深对性质的理解．二者相辅相成、缺一不可，可通过解决函数的图象来解决与方程和不等式有关的问题，这时作函数的图象应明确其图象的形状，而确定形状的手段主要有：函数关系式的等价变形、图象的变换、通过研究函数的性质等．
要点提示 ①指数函数的图象恒在x轴上方；②指数函数的单调性取决于它的底数;③y=ax（a＞1）在 x＞0的方向上增幅越来越快；④指数函数由唯一的常量a确定．⑤y=ax（0 方法点拨 遇到求含有字母的表达式等问题可先用待定系数法确定a，再求值．
深化升华 ①底数相同，指数不同的，可构造指数函数，利用函数的单调性比较大小；
②底数、指数都不相同的，可选一中间值比较大小；
③指数相同，底数不同的可用数形结合法比较大小.
问题·思路·探究
问题1 为什么说指数函数的图象是研究函数性质的直观工具？
思路：对于指数函数问题，我们不仅仅应该知道其表达式及利用表达式进行计算的问题，而且应注重结合其相应的图象掌握相应的知识且能灵活运用图象来分析问题、解决问题，从而领会图象在指数函数应用方面的作用．
探究:因为通过图象我们可以直观地看到，任取a({a|a>0且a≠1}),图象始终过定点（0，1），图象始终在x轴的上方；当a>1时第一象限的图象与01时第二象限的图象与01时，图象是上升的，当0问题2 函数y=2|x|的图象有什么特征？你能根据它的图象指出其值域和单调区间吗？
思路：函数y=a|x|：其图象是关于y轴对称的，所以只要先把y=ax的ｙ轴右边的图象保留，再将y轴右边部分关于ｙ轴作出对称部分；就得到了y=a|x|的图象．
探究:函数y=2|x|的图象关于y轴对称，这是因为它的图象由y=2x(x≥0)的图象和y=()x（x<0）的图象合并而成，而y=2x（x>0）与y=()x（x<0）的图象关于y轴对称，所以函数y=2|x|的图象关于y轴对称，由图象可知值域是［1,+∞)，递增区间为［0,+∞)，递减区间为(-∞,0］
问题3 函数y=ax+h+k(a>0且a≠1)的图象恒过点（-h,1+k）,为什么？
思路：一般地，把函数y=f（x）的图象向右平移m个单位得函数y=f（x-m）的图象（m∈R，m＜0就是向右平移|m|个单位）；把函数y=f（x）的图象向上平移n个单位，得到函数y=f（x）+n的图象（n∈R，若n＜0，就是向下平移|n|个单位＝
探究:函数y=ax+h +k(a>0且a≠1)的图象可由y=ax(a>0且a≠1)的图象向左（当h>0时）或向右（当h<0时）平移|h|个单位，再向上（当k>0时）或向右（当k<0时）平移|k|个单位而得到，因为y=ax(a>0且a≠1)的图象恒过点（0，1），所以函数y=ax+h+k(a>0且a≠1)的图象恒过点（-h,1+k）．
典题·热题·新题
例1 下列函数中，哪些是指数函数？
①y=4x ②y=x4 ③y=-4x ④y=4-x ⑤y=(-4)x ⑥y=4x+1 ⑦y=4x+1⑧y=ex ⑨y=4x(x>0) ⑩y=(a-1)x(a>1且a≠2)
思路解析：①④⑧⑩为指数函数，其中④y=4-x从形式上看不是指数函数，将它变形为y=（4-1）x，即y=（）x.它实质上是指数函数.
②中底数x不是常数，而4不是变数；③是-1与指数函数4x的乘积；⑤中底数-4<0; ⑥中的指数是x的函数，不是自变量x；⑦由y=4x向上平移得到的；⑨x的范围不是R.
答案：②③⑤⑥⑦⑨不是指数函数．
误区警示 像y=4x+1，y=4x+1的图象可由y=2x的图象通过平移或伸缩变换而得到.而y=a-x从形式上看不是指数函数，将它变形为y=（a-1）x，即y=（）x.它实质上是指数函数.
例2 若指数函数y=（2a-1）x是减函数.则a的范围是多少？
思路解析：由题意可知1＞2a-1＞0，得＜a＜1.
答案：＜a＜1
深化升华 解与指数有关的问题时，注意对底数分类讨论，这是考试的一个重点.
例3 如右图，在同一坐标系下给出四个指数函数的图象，试比较底数a、b、c、d的大小.
思路解析：作直线x=1与四个图象交于四个点，得四个纵坐标为a、b、c、d，底数都“跑”到纵轴上去了，可在数轴的位置上直观比较底数的大小，则a＞b＞1＞c＞d＞0 .
答案：a＞b＞c＞d
拓展延伸 在同一坐标系中，画出函数y=3x，y=（）x，y=2x，y=（）x的图象，比一比，看它们之间有何联系.
从图中可以看到，图象向下无限地与x轴靠拢，即x轴是指数函数的渐近线.任何两个函数图象都是交叉出现的，交叉点是（0，1）.在y轴的右侧，对同一变量x而言，底数越大，函数值越大；在y轴的左侧，情况正好相反，即对同一自变量x而言，底数越大，函数值越小.以此为依据，可定性地分析在同一坐标系中，底数不同的若干个指数函数的底数的大小关系.怎样定量分析同一坐标系中底数不同的指数函数的底数的大小呢？
我们知道，对指数函数y=ax（a＞0且a≠1），当x=1时，y=a，而a恰好是指数函数的底数，这就启发我们，不妨作直线x=1，它同各个图象相交，交点的纵坐标就是各指数函数的底数，以此可比较底数的大小.
深化升华 （1）渐近线是指逐渐靠拢，但永远不能到达的线.
（2）从联系的观点研究不同底数的指数函数图象间的关系，对深化理解指数函数的图象和性质是有帮助的.
例4 画出下列函数的图象：
（1）y=2x-1+2;(2)y=0.5|x|
思路解析：利用指数函数的图象及结合函数图象的变换来处理.
答案：（1）利用函数y=2x的图象沿x轴正半轴平移一个单位，纵坐标不变，再把所得图象沿y轴的正半轴平移2个单位，横坐标不变，得到y=2x-1+2的图象，如图(1)（注：画出虚直线的目的是体现平移变换）.
（2）由y=0.5|x|=作y=0.5x的图象但只取y轴及其右侧部分，再作y=2x的图象但只取y轴左侧部分，就得到函数y=0.5|x|的图象，如图(2)所示的实线（注：画出虚线的目的是衬托实线的特征）.

图（1） 图（2）
深化升华 由指数函数的图象，我们还可以总结出图象的变化规律：
①平移规律
若已知y=ax的图象，则把y=ax的图象向左平移b（b＞0）个单位，则得到y=ax+b的图象.把y=ax的图象向右平移b（b＞0）个单位，则得到y=ax-b的图象，把y=ax的图象向上平移b（b＞0）个单位，则得到y=ax+b的图象.把y=ax的图象向下平移b（b＞0）个单位，则得到y=ax-b的图象.
②对称规律
函数y=ax的图象与y=a-x的图象关于y轴对称，y=ax的图象与y=-ax的图象关于直线x轴对称.函数y=ax的图象与y=-a-x的图象关于坐标原点对称.
函数y=a|x|：其图象是关于y轴对称的，所以只要先把y=ax的ｙ轴右边的图象保留；再将ｙ轴右边部分关于ｙ轴对称；就得到了y=a|x|的图象．
拓展延伸 一般地，把函数y=f（x）的图象向右平移m个单位得函数y=f（x-m）的图象（m∈R，m＜0就是向右平移|m|个单位）；把函数y=f（x）的图象向上平移n个单位，得到函数y=f（x）+n的图象（n∈R，若n＜0，就是向下平移|n|个单位＝.
函数y=f（x）的图象与y=f（-x）的图象关于y轴对称，函数y=f（x）的图象与函数y=-f（x）的图象关于x轴对称，函数y=f（x）的图象与函数y=-f（1-x）的图象关于原点对称.
函数y=f(|x|)：其图象是关于y轴对称的，所以只要先把ｙ轴右边的图象保留；再将ｙ轴右边部分关于ｙ轴对称；就得到了y=f(|x|)的图象．
例5 用函数单调性定义证明函数f（x）=2x在（-∞，+∞）上单调递增.
思路解析：函数单调递增：x1＜x2f（x1）＜f（x2）;或先论证＜1，又f（x2）＞0f（x1）＜f（x2）.
证明：在（-∞，+∞）上任取x1＜x2，
则=,∵x1-x2＜0，∴＜1.
又f（x2）=2x2＞0，∴f（x1）＜f（x2）.∴函数f（x）=2x在（-∞，+∞）上单调递增.
深化升华 在用函数单调性定义证明的过程中，除了作差法也可用作商法比较f（x1）、f（x2）的大小.
例6 求下列函数的单调区间：（1）y=;(2)y=.
思路解析：将原函数“拆”成两个简单的函数，再依据复合函数的单调性求解．
解：（1）令u=x2-4x-2,则y=0.5u.因为y=0.5u为减函数，所以y=与u=x2-4x-2的单调性相反．又由u=x2-4x-2=（x-2）2-6得u=x2-4x-2在(-∞,2］为减函数，在［2,+∞)为增函数．所以y=在（-∞,2）为增函数，在［2,+∞］为减函数;
（2）令u=1+，则y=2u,因为y=2u为增函数，所以y=的单调性与u=1+的单调性相同．因为u=1+（x≠0）所以在(-∞,0)及（0，+∞）上均为减函数,所以y=的单调递减区间为(-∞,0)和(0,+∞).
拓展延伸 确定函数的单调性，利用复合函数的单调性的方法或可变形函数解析式，利用已有函数的单调性进行由里及外的层层判断，最终得出函数的单调性.但是要证明单调性必须用单调性定义.本题求函数值域也可以利用解析式变形，由里及外层层求出值域最终而得：y==1-.x∈（-∞，+∞）2x＞02x+1＞1＜1，∴-2＜-＜0.∴-1＜y＜1.∴值域为（-1，1）.
例7 已知函数f（x）=ax（a＞0，且a≠1），根据图象判断［f（x1）+f（x2）］与f（）的大小，并加以证明.
思路解析：对a＞1及0＜a＜1两种情形的指数函数图象，分别取两点A（x1，f（x1））、B（x2，f（x2））连线段，其中［f（x1）+f（x2）］就是这线段中点M的函数值，f（）就是图象上弧线段与直线x=的交点M的函数值，如下图.
显然无论哪一种情形总有点N在点M下方.
∴f（）＜［f（x1）+f（x2）］.
证明：f（x1）+f（x2）-2f（）=.
由x1≠x2，∴≠.∴≠0，∴＞0.
∴f（x1）+f（x2）-2f（）＞0.
深化升华 通过数形结合我们不难发现凸凹函数的性质.
若f（x）是凸函数，则f（）≥［f（x1）+f（x2）］；
若f（x）是凹函数，则f（）≤［f（x1）+f（x2）］.
例8 方程2x-1=2x的实数解的个数为（ ）
A. 0个 B.1个 C.2个 D.3个
思路解析：这不是我们所学的代数等式,也不可能转化成代数式,只有数形结合观察图象交点才能解决.
答案：2x-1=2x可化为2x=2x+1，令在同一坐标系中画出y=2x及y=2x+1的图象．如右图所示，可以看出它们图象有两个交点．故选C.
深化升华 遇到等式两边的形式属于不同类型的函数而且直接处理无法进行时，这时应联想到用数形结合来解决．