高中数学第二章基本初等函数（Ⅰ）2.1指数函数知识导航新人教A版必修1

2.1 指数函数
名师导航
知识梳理
一、指数与指数幂的运算
1.根式的概念
一般地,如果________,那么x叫做a的n次方根(n th root),其中n>1,且n∈N*.
当n是奇数时,正数的n次方根是一个________,负数的n次方根是一个________.此时,a的n次方根用符号________表示.式子________叫做根式(radical),这里n叫做根指数(radical exponent),a叫做被开方数(radicand).当n是偶数时,正数的n次方根有两个,这两个数互为________.此时,正数a的正的n次方根用符号表示,负的n次方根用符号________表示.正的n次方根与负的n次方根可以合并成±(a>0).由此可得:负数没有_______次方根;0的任何次方根都是_______,记作=0.
结论:当n是奇数时,=_______;
当n是偶数时, =_______.
2.分数指数幂
正数的分数指数幂的意义
规定: =___________(a>0,m、n∈N*,n>1),
=____________(a>0,m、n∈N*,n>1).
0的正分数指数幂_______,0的负分数指数幂_______;规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂.
3.有理指数幂的运算性质
(1)aras=_______ (a>0,r,s∈Q);
(2)(ar)s=_______ (a>0,r,s∈Q);
(3)(ab)r=_______ (a>0,b>0,r∈Q).
4.无理指数幂
一般地,无理数指数幂aα(a>0,α是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.
二、指数函数及其性质
1.指数函数的定义
函数____________(a>0且a≠1)叫做指数函数.定义中对a>0且a≠1的规定,是为了保证定义域为实数集,且具有单调性.
2.指数函数的图象和性质
填写下表:
a>1
0图 象
性 质
①定义域:___________
②值域: ___________
③图象过定点___________
④增区间: ___________
增区间:___________
⑤减区间:___________
减区间:___________
疑难突破
1.方根的性质
剖析:(1)根据n次方根的定义,易得到以下三组常用公式:
①当n为任意正整数时,()n=a.例如,()3=27,()5=-32.
②当n为奇数时, =a;当n为偶数时, =|a|=例如,=- 2,=2; =3,=|-3|=3.
(2)根式的基本性质:(a≥0).
注意,公式中的a≥0十分重要,无此条件则公式不成立.例如≠.
2.指数函数中规定a>0,且a≠1的原因
剖析:(1)若a=0,则当x>0时,ax=0;当x≤0时,ax无意义.
(2)若a<0,则对于x的某些数值,可使ax无意义.如(-2)x,这时对于x=,x=,…等等,在实数范围内函数值不存在.
(3)若a=1,则对于任何x∈R,ax=1,是一个常量,没有研究的必要性.
为了避免上述各种情况,所以规定a>0且a≠1.在规定以后,对于任何x∈R,ax都有意义,且ax>0.因此指数函数的定义域是R,值域是(0,+∞).
3.指数函数的判断
剖析:指数函数的解析式y=ax中,ax的系数是1.
有些函数貌似指数函数,实际上却不是,如y=ax+k(a>0且a≠1,k∈Z);有些函数看起来不像指数函数,实际上却是,如y=a-x(a>0,且a≠1),因为它可以化为y=,其中>0,且≠1.