高中数学第二章基本初等函数（Ⅰ）2.2.1对数与对数运算教材梳理新人教A版必修1
文档属性
| 名称 | 高中数学第二章基本初等函数（Ⅰ）2.2.1对数与对数运算教材梳理新人教A版必修1 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 71.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-11-24 11:01:14 | ||
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文档简介
2.2.1 对数与对数运算
疱丁巧解牛
知识·巧学·升华
一、对数
1.对数
一般地，如果ax=N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.对数式的对数就是原指数式的指数，只是表示形式不同而已，即已知指数式ab=N，用a、N表示b的运算叫对数运算，记作b=logaN.
对数式是指数式的另一种表达形式，对数运算是指数运算的逆运算.常用符号“log”表示对数，但它仅是一个符号而已.同“+、-、×、”等符号一样，表示一种运算.要从以下几个方面来理解对数的概念．
（1）会依据定义把指数式写成对数式.
例如：∵32=9，∴2是以3为底9的对数.记作log39=2；
∵41=4，∴1是以4为底4的对数.记作log44=1；
∵20=1，∴0是以2为底1的对数.记作log21=0；
∵=，∴-是以8为底的对数.记作log8=-.
（2）logaN=b中规定底数a＞0且a≠1.
这是因为若a＜0，则N为某些值时，b不存在，如log（-2）；若a=0，N不为0时，b不存在，如log03，N为0时，b可为任意正数，是不唯一的，即log00有无数个值；若a=1，N不为1时，b不存在，如log12，N为1时，b可为任意数，是不唯一的，即log11有无数个值.总之，就规定了a＞0且a≠1.
(3)只有正数才有对数，零和负数没有对数.
在解决有关对数问题时，容易忽视对数的真数大于零的问题．因为底数a＞0且a≠1，由指数函数的性质可知，对任意的b∈R，ab＞0恒成立，并且由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，所以N＞0.
（4）指数式、对数式、根式的关系及相应各字母的名称.
记忆要诀 指数式进行的是乘方运算，由a、b求N；根式进行的是开方运算，由N、b求a；对数式进行的是对数运算，由a、N求b.
（5）对数恒等式：①=N；②logaab=b.
证明：①∵ab=N，∴b=logaN.∴ab= =N，即=N.
②∵ab=N，∴b=logaN.∴b=logaN=logaab,
即logaab=b.
如=5，=6,log335=5,=等.要熟记对数恒等式的形式，会使用这一公式化简对数式.
要点提示 证明对数恒等式，一要注意指数与对数式的互化，二要紧扣对数的定义.
（6）两个特殊的对数式：logaa=1；loga1=0.
证明：∵a1=a，∴logaa=1.∵a0=1，∴loga1=0，即底的对数等于1，1的对数等于0.
2.常用对数
当底数a=10时，对数logaN叫做常用对数，记作lgN.
（1）常用对数是指底数为10的对数，它的形式可由log10N缩写为lgN，其中lgN默认它的底数为10.
（2）会求常用对数的值.若真数易转化成以10为底的幂的形式，可直接求值.如lg10，lg100，lg0.001等，∵102=100，∴lg100=2.又∵10-3=0.001，∴lg0.001 =-3.一般情况下，可通过计算器或查对数表求值.如lg200 1，lg0.032，lg187.5等.使用计算器时，应先按上真数，然后再按log键，可直接求出对数值，即lg2 001≈3.301 2，lg0.032≈-1.494 9，lg187.5≈2.273 0.
因为对数表只能查得1≤a＜10的对数，所以对于不在该范围内的数，使用对数表求值时，应先用科学记数法把真数表示成a×10n（1≤a＜10，n∈Z)的形式，运用后面的对数性质化简后，再求值.
联想发散 要会使用科学记数法记数.当N＞10时，可把N写成a×10n的形式，其中n比N的整数位数少1，如10 001=1.000 1×104；当0＜N＜1时，可把N写成a×10-n，其中n是从左边第一个不是0的数字算起前面所有0的个数，如0.001 02=1.02×10-3.
3.自然对数
在科学技术中，常常使用以无理数e=2.718 28…为底的对数.以e为底的对数叫做自然对数.logeN通常记作lnN.
①自然对数与常用对数的关系： lnN≈2.302 6lgN.
②可直接使用计算器求自然对数值.
它的使用规则同常用对数一样，也是先按真数值，再按ln键，即可直接求出常用对数值.如ln34≈3.526 4，也可查表，求自然对数的值.
要点提示 自然对数与常用对数是对数的两个特例，只有它们才既能查表，又能使用计算器求值.
二、对数运算
1．积、商、幂的对数运算性质
（1）logaMN=logaM+logaN，
两个正因数积的对数等于同一底数的各因数对数的和．该法则可以推广到若干个正因数积的对数，
即loga（N1·N2·…·Nk）=logaN1+logaN2+…+logaNk.
（2）loga=logaM-logaN.
两个正数商的对数等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数.
（3）logaMn=nlogaM（n∈R）.
正数幂的对数等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数
对数的运算法则既可正用，也可逆用，由积、商的运算法则可知，若逆用该公式，可把对数式转化成同底数的对数的和、差的形式．
误区警示 使用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，只有各个对数式都存在时，等式才成立.例如：lg（-2）（-3）存在，但lg（-2），lg（-3）不存在，lg（-10）2存在，但lg（-10）不存在等.因此不能得出lg（-2）（-3）=lg（-2）+lg（-3），lg（-10）2=2lg（-10）.
2.换底公式
（1）换底公式：logab=（a＞0，a≠1，c＞0，c≠1，b＞0）.
证明：设logab=c，则ac=b.两边取以c为底的对数，得clogca=logcb，
所以c=，即logab=.
换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，该公式既可正用，又可逆用，使用时的关键是选择底数，换底的目的是实现对数式的化简，凡是所求对数式的底数与题设中的对数底数不同的，都可考虑用换底公式求解，使用换底公式推论的前提是底数或真数能化成幂的形式.
①换底公式的证明要紧扣对数的定义，证明的依据是
若M＞0，N＞0，M=N，则logaM=logaN.
②自然对数与常用对数的关系可以通过换底公式建立关系：
lnN=≈≈2.302 6lgN.
③可把一般对数式转化成常用对数或自然对数，通过计算器或查表求值.
④换底公式可用于对数式的化简、求值或证明.
（2）换底公式的三个推论：
=logab，=logab，logab·logba=1.
推广：logab·logbc·logcd·…·logea=1.
问题·思路·探究
问题1 对数运算性质的实质是什么？
思路：对数运算性质是指数运算性质的拓展引申，它们之间可以互相转化.
探究:由于指数运算中遇到次数高的指数进行乘、除、乘方和开方时运算量太大，操作很繁，而对数运算恰恰将指数运算这些弱点克服，可以将乘、除、乘方和开方时运算转化为对数的加、减、乘的运算，从而降低了运算难度，加快了运算速度，简化了计算方法，有力地促进了涉及与高次数运算有关领域如天文、航海、工程、贸易及军事的发展.
问题2 式子logaMn=nlogaM表明真数的指数可以直接拿到对数式前作系数，那请问：底数的指数也可以直接拿到对数式前作系数吗？若不能，有没有类似性质呢？怎么证明呢？
思路：logaMn与nlogaM与loganM=logaM的结合使进行对数运算时更加简便快捷，同时也提醒我们在进行对数运算过程中，如果运算性质不能直接运用时，可以通过先化成指数式，变形后再化成对数式的方法达到计算的目的
探究:一般不能，比如2=log416=log2216而，2log216=8≠log2216=2,
但有类似的性质，这个性质是 loganM=logaM.
证明如下：令logaM=x,则M=ax,所以=logaM=x，
而===x·，所以=logaM.
典题·热题·新题
例1 (2006浙江高考,理)已知0＜a＜1，logam＜logan＜0，则（ ）
A.1＜n＜m B.1＜m＜n C.m＜n＜1 D.n＜m＜1
思路解析：∵0答案：A
例2 设log189=a，18b=5，求log3645.
思路解析：本题是条件求值问题，解题的关键是把结论化成已知的形式，换底是显然的.
解：∵18b=5，∴b=log185.
∴log3645=.
深化升华 换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，该公式既可正用，又可逆用，使用时的关键是选择底数，换底的目的是实现对数式的化简.
例3 计算：lg25+lg8+lg5·lg20+lg22.
思路解析：本题主要考查对数的运算性质.
解：原式=lg25++lg·lg（10×2）+lg22
=lg25+lg4+（lg10-lg2）（lg10+lg2）+lg22
=lg100+lg210-lg22+lg22=2+1=3.
深化升华 对于对数的运算性质要熟练掌握，并能够灵活运用，在求值的过程中，要注意公式的正用和逆用.
例4 设3x=4y=36，求的值.
思路解析：本题主要考查对数的定义及运算性质.从所求的值来看，解题的关键是设法把x、y表示出来，再结合对数的运算性质就可以求出数值.
解：∵3x=4y=36，∴x=log336，y=log436.则=log363，=log364.
∴+=2log363+log364=log36（32×4）=1.
深化升华 指数式化为对数式后，两对数式的底不同，但真数相等，式子两端取倒数之后，利用对数的换底公式可消除差异.
例5 已知a、b、c均为正数，3a=4b=6c，求证：.
思路解析：本题主要考查对数的定义及其运算性质.从求证的结论看，解题的关键是设法把a、b、c从连等号式中分离出来，为便于找出a，b，c的关系，不妨设3a=4b=6c=k（k＞0），则a、b、c就可用这一变量k表示出来，再结合对数的运算性质就可证得结论.
证明：设3a=4b=6c=k，则k＞0.由对数的定义得a=log3k，b=log4k，c=log6k，
则左边==2logk3+logk4=logk9+logk4=logk36，
右边==2logk6=logk36，∴.
深化升华 证明恒等式常用的方法
（1）作差比较法；
（2）化简较为复杂的一边等于较简单的一边；
（3）化简左、右两边，使它们等于同一式子；
（4）先证明另一恒等式，再推出所要求证的恒等式.
例6 设a、b同号，且a2+2ab-3b2=0，求log3（a2+ab+b2）-log3（a2-ab+b2）的值.
思路解析：本题考查对数性质的应用.已知只告诉我们关于a、b的一个齐次方程，因此不可能求出a、b的值，只能求出a、b的关系式，从求证的结论看，由对数的运算性质可得真数也是一个齐次式，这样就把条件同结论联系到一起了.
解：∵a、b同号，∴b≠0.把方程a2+2ab-3b2=0两边同除以b2，得（）2+2（）-3=0.
∴（+3）（-1）=0，得=1或=-3（舍去）.∴a=b.
∴log3（a2+ab+b2）-log3（a2-ab+b2）=log3（3a2）-log3a2=log33=1.
深化升华 ：条件代数式的求值同条件代数式的化简、证明一样，解题的关键是找到题设与结论的联系，可化简结论，用上条件，可化简条件得出结论，也可同时化简条件与结论等.
疱丁巧解牛
知识·巧学·升华
一、对数
1.对数
一般地，如果ax=N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.对数式的对数就是原指数式的指数，只是表示形式不同而已，即已知指数式ab=N，用a、N表示b的运算叫对数运算，记作b=logaN.
对数式是指数式的另一种表达形式，对数运算是指数运算的逆运算.常用符号“log”表示对数，但它仅是一个符号而已.同“+、-、×、”等符号一样，表示一种运算.要从以下几个方面来理解对数的概念．
（1）会依据定义把指数式写成对数式.
例如：∵32=9，∴2是以3为底9的对数.记作log39=2；
∵41=4，∴1是以4为底4的对数.记作log44=1；
∵20=1，∴0是以2为底1的对数.记作log21=0；
∵=，∴-是以8为底的对数.记作log8=-.
（2）logaN=b中规定底数a＞0且a≠1.
这是因为若a＜0，则N为某些值时，b不存在，如log（-2）；若a=0，N不为0时，b不存在，如log03，N为0时，b可为任意正数，是不唯一的，即log00有无数个值；若a=1，N不为1时，b不存在，如log12，N为1时，b可为任意数，是不唯一的，即log11有无数个值.总之，就规定了a＞0且a≠1.
(3)只有正数才有对数，零和负数没有对数.
在解决有关对数问题时，容易忽视对数的真数大于零的问题．因为底数a＞0且a≠1，由指数函数的性质可知，对任意的b∈R，ab＞0恒成立，并且由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，所以N＞0.
（4）指数式、对数式、根式的关系及相应各字母的名称.
记忆要诀 指数式进行的是乘方运算，由a、b求N；根式进行的是开方运算，由N、b求a；对数式进行的是对数运算，由a、N求b.
（5）对数恒等式：①=N；②logaab=b.
证明：①∵ab=N，∴b=logaN.∴ab= =N，即=N.
②∵ab=N，∴b=logaN.∴b=logaN=logaab,
即logaab=b.
如=5，=6,log335=5,=等.要熟记对数恒等式的形式，会使用这一公式化简对数式.
要点提示 证明对数恒等式，一要注意指数与对数式的互化，二要紧扣对数的定义.
（6）两个特殊的对数式：logaa=1；loga1=0.
证明：∵a1=a，∴logaa=1.∵a0=1，∴loga1=0，即底的对数等于1，1的对数等于0.
2.常用对数
当底数a=10时，对数logaN叫做常用对数，记作lgN.
（1）常用对数是指底数为10的对数，它的形式可由log10N缩写为lgN，其中lgN默认它的底数为10.
（2）会求常用对数的值.若真数易转化成以10为底的幂的形式，可直接求值.如lg10，lg100，lg0.001等，∵102=100，∴lg100=2.又∵10-3=0.001，∴lg0.001 =-3.一般情况下，可通过计算器或查对数表求值.如lg200 1，lg0.032，lg187.5等.使用计算器时，应先按上真数，然后再按log键，可直接求出对数值，即lg2 001≈3.301 2，lg0.032≈-1.494 9，lg187.5≈2.273 0.
因为对数表只能查得1≤a＜10的对数，所以对于不在该范围内的数，使用对数表求值时，应先用科学记数法把真数表示成a×10n（1≤a＜10，n∈Z)的形式，运用后面的对数性质化简后，再求值.
联想发散 要会使用科学记数法记数.当N＞10时，可把N写成a×10n的形式，其中n比N的整数位数少1，如10 001=1.000 1×104；当0＜N＜1时，可把N写成a×10-n，其中n是从左边第一个不是0的数字算起前面所有0的个数，如0.001 02=1.02×10-3.
3.自然对数
在科学技术中，常常使用以无理数e=2.718 28…为底的对数.以e为底的对数叫做自然对数.logeN通常记作lnN.
①自然对数与常用对数的关系： lnN≈2.302 6lgN.
②可直接使用计算器求自然对数值.
它的使用规则同常用对数一样，也是先按真数值，再按ln键，即可直接求出常用对数值.如ln34≈3.526 4，也可查表，求自然对数的值.
要点提示 自然对数与常用对数是对数的两个特例，只有它们才既能查表，又能使用计算器求值.
二、对数运算
1．积、商、幂的对数运算性质
（1）logaMN=logaM+logaN，
两个正因数积的对数等于同一底数的各因数对数的和．该法则可以推广到若干个正因数积的对数，
即loga（N1·N2·…·Nk）=logaN1+logaN2+…+logaNk.
（2）loga=logaM-logaN.
两个正数商的对数等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数.
（3）logaMn=nlogaM（n∈R）.
正数幂的对数等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数
对数的运算法则既可正用，也可逆用，由积、商的运算法则可知，若逆用该公式，可把对数式转化成同底数的对数的和、差的形式．
误区警示 使用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，只有各个对数式都存在时，等式才成立.例如：lg（-2）（-3）存在，但lg（-2），lg（-3）不存在，lg（-10）2存在，但lg（-10）不存在等.因此不能得出lg（-2）（-3）=lg（-2）+lg（-3），lg（-10）2=2lg（-10）.
2.换底公式
（1）换底公式：logab=（a＞0，a≠1，c＞0，c≠1，b＞0）.
证明：设logab=c，则ac=b.两边取以c为底的对数，得clogca=logcb，
所以c=，即logab=.
换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，该公式既可正用，又可逆用，使用时的关键是选择底数，换底的目的是实现对数式的化简，凡是所求对数式的底数与题设中的对数底数不同的，都可考虑用换底公式求解，使用换底公式推论的前提是底数或真数能化成幂的形式.
①换底公式的证明要紧扣对数的定义，证明的依据是
若M＞0，N＞0，M=N，则logaM=logaN.
②自然对数与常用对数的关系可以通过换底公式建立关系：
lnN=≈≈2.302 6lgN.
③可把一般对数式转化成常用对数或自然对数，通过计算器或查表求值.
④换底公式可用于对数式的化简、求值或证明.
（2）换底公式的三个推论：
=logab，=logab，logab·logba=1.
推广：logab·logbc·logcd·…·logea=1.
问题·思路·探究
问题1 对数运算性质的实质是什么？
思路：对数运算性质是指数运算性质的拓展引申，它们之间可以互相转化.
探究:由于指数运算中遇到次数高的指数进行乘、除、乘方和开方时运算量太大，操作很繁，而对数运算恰恰将指数运算这些弱点克服，可以将乘、除、乘方和开方时运算转化为对数的加、减、乘的运算，从而降低了运算难度，加快了运算速度，简化了计算方法，有力地促进了涉及与高次数运算有关领域如天文、航海、工程、贸易及军事的发展.
问题2 式子logaMn=nlogaM表明真数的指数可以直接拿到对数式前作系数，那请问：底数的指数也可以直接拿到对数式前作系数吗？若不能，有没有类似性质呢？怎么证明呢？
思路：logaMn与nlogaM与loganM=logaM的结合使进行对数运算时更加简便快捷，同时也提醒我们在进行对数运算过程中，如果运算性质不能直接运用时，可以通过先化成指数式，变形后再化成对数式的方法达到计算的目的
探究:一般不能，比如2=log416=log2216而，2log216=8≠log2216=2,
但有类似的性质，这个性质是 loganM=logaM.
证明如下：令logaM=x,则M=ax,所以=logaM=x，
而===x·，所以=logaM.
典题·热题·新题
例1 (2006浙江高考,理)已知0＜a＜1，logam＜logan＜0，则（ ）
A.1＜n＜m B.1＜m＜n C.m＜n＜1 D.n＜m＜1
思路解析：∵0
例2 设log189=a，18b=5，求log3645.
思路解析：本题是条件求值问题，解题的关键是把结论化成已知的形式，换底是显然的.
解：∵18b=5，∴b=log185.
∴log3645=.
深化升华 换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，该公式既可正用，又可逆用，使用时的关键是选择底数，换底的目的是实现对数式的化简.
例3 计算：lg25+lg8+lg5·lg20+lg22.
思路解析：本题主要考查对数的运算性质.
解：原式=lg25++lg·lg（10×2）+lg22
=lg25+lg4+（lg10-lg2）（lg10+lg2）+lg22
=lg100+lg210-lg22+lg22=2+1=3.
深化升华 对于对数的运算性质要熟练掌握，并能够灵活运用，在求值的过程中，要注意公式的正用和逆用.
例4 设3x=4y=36，求的值.
思路解析：本题主要考查对数的定义及运算性质.从所求的值来看，解题的关键是设法把x、y表示出来，再结合对数的运算性质就可以求出数值.
解：∵3x=4y=36，∴x=log336，y=log436.则=log363，=log364.
∴+=2log363+log364=log36（32×4）=1.
深化升华 指数式化为对数式后，两对数式的底不同，但真数相等，式子两端取倒数之后，利用对数的换底公式可消除差异.
例5 已知a、b、c均为正数，3a=4b=6c，求证：.
思路解析：本题主要考查对数的定义及其运算性质.从求证的结论看，解题的关键是设法把a、b、c从连等号式中分离出来，为便于找出a，b，c的关系，不妨设3a=4b=6c=k（k＞0），则a、b、c就可用这一变量k表示出来，再结合对数的运算性质就可证得结论.
证明：设3a=4b=6c=k，则k＞0.由对数的定义得a=log3k，b=log4k，c=log6k，
则左边==2logk3+logk4=logk9+logk4=logk36，
右边==2logk6=logk36，∴.
深化升华 证明恒等式常用的方法
（1）作差比较法；
（2）化简较为复杂的一边等于较简单的一边；
（3）化简左、右两边，使它们等于同一式子；
（4）先证明另一恒等式，再推出所要求证的恒等式.
例6 设a、b同号，且a2+2ab-3b2=0，求log3（a2+ab+b2）-log3（a2-ab+b2）的值.
思路解析：本题考查对数性质的应用.已知只告诉我们关于a、b的一个齐次方程，因此不可能求出a、b的值，只能求出a、b的关系式，从求证的结论看，由对数的运算性质可得真数也是一个齐次式，这样就把条件同结论联系到一起了.
解：∵a、b同号，∴b≠0.把方程a2+2ab-3b2=0两边同除以b2，得（）2+2（）-3=0.
∴（+3）（-1）=0，得=1或=-3（舍去）.∴a=b.
∴log3（a2+ab+b2）-log3（a2-ab+b2）=log3（3a2）-log3a2=log33=1.
深化升华 ：条件代数式的求值同条件代数式的化简、证明一样，解题的关键是找到题设与结论的联系，可化简结论，用上条件，可化简条件得出结论，也可同时化简条件与结论等.