高中数学第二章基本初等函数（Ⅰ）2.2.2对数函数及其性质教材梳理新人教A版必修1

2.2.2 对数函数及其性质
疱丁巧解牛
知识·巧学·升华
一、对数函数及其性质
1.对数函数
一般地，函数y=logax（a>0，a≠1）叫对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）.
因为对数函数是由指数函数变化而来的，对数函数的自变量x恰好是指数函数的函数值y，所以对数函数的定义域是（0，+∞），指数函数与对数函数的定义域和值域是互换的.
只有形如y=logax（a>0，a≠1，x>0）的函数才叫对数函数.像y=loga（x+1），y=2logax，y=logax+3等函数，它们是由对数函数变化而得到的，都不是对数函数.对数函数同指数函数一样都是基本初等函数，它来自于实践.
2.对数函数的图象和性质
（1）下面先画指数函数y=log2x及y=log1/2x图象
列出x,y的对应值表，用描点法画出图象：
X
…
1/8
1/4
1/2
1
2
4
8
…
y=log2x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y=log1/2x
3
2
1
0
-1
-2
-3
描点即可完成y=log2x，y=的图象，如下图.
0 1 2 4 8 x
-1
-2 y=log1/2x
-3s
由表及图可以发现：
我们可以通过函数y=log2x的图象得到函数y=log0.5x的图象．利用换底公式可以得到：y=log0.5x=-log2x，点(x,y)与点(x,-y)关于x轴对称，所以y=log2x的图象上任意一点(x,y)关于x轴对称点(x,-y)在y=log0.5x的图象上，反之亦然．根据这种对称性就可以利用函数y=log2x的图象画出函数y=log0.5x的图象．
方法点拨 注意此处空半格①作对数函数图象，其关键是作出三个特殊点（，-1），（1，0），（a，1）．一般情况下，作对数函数图象有这三点就足够了.不妨叫做“三点作图法.”②函数y=logax与y=的图象关于x轴对称.
（2）对数函数y=logax在底数a＞1及0＜a＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示：
a＞1
0＜a＜1
图 象
定义域
（0，+∞）
值 域
R
性 质
（1）过点（1，0），即x=1时，y=0
（2）在（0，+∞）上是增函数，
在（0，+∞）上是减函数，
（3）当0当x＞1时，y＜0；
（4）当x＞1时，y＞0
当0＜x＜1时，y＞0
要点提示 （1）对数函数的图象恒在y轴右方.（2）对数函数的单调性取决于它的底数.（3）logab>0(a-1)(b-1)>0；logab<0(a-1)(b-1)<0．（4）指数函数由唯一的常量a确定．
两个同底数的对数比较大小的一般步骤:
（1）确定所要考查的对数函数;
（2）根据对数的底数来判断对数函数的增减性,若底数与1的大小关系不确定应对a进行分类讨论;
（3）比较真数的大小,然后利用对数函数的增减性来判断两个对数值的大小.
3.反函数
在指数函数y=2x中，x为自变量（x∈R），y是x的函数(y∈(0,+∞))，而且它是R上的单调递增函数．可以发现，过y轴正半轴上任意一点作x轴的平行线，与y=2x的图象有且只有一个交点；另一方面，根据指数与对数的关系，由指数式y=2x可得到对数式y=log2x．这样，对于任意一个y∈(0,+∞)，通过式子x =log2y，x在R中都有唯一确定的值和对应．也就是说，可以把y作为自变量，x作为y的函数，这时我们就说x =log2y(y∈(0,+∞))是函数y=2x（x∈R）的反函数（inverse fun_ction）.
在函数x =log2y中，y是自变量，x是函数，但习惯上，我们通常用x表示自变量，y表示函数．为此，我们常常对调函数x =log2y中的字母x,y，把它写成y =log2x．这样，对数函数y =log2x(x∈(0,+∞))是指数函数y=2x（x∈R）的反函数．
由上述讨论可知，对数函数y =log2x（x∈(0,+∞)）是指数函数y=2x（x∈R）的反函数；同时指数函数y=2x（x∈R）也是对数函数y =log2x（x∈(0,+∞)）的反函数．因此，指数函数y=2x（x∈R）与对数函数y =log2x（x∈(0,+∞)）互为反函数．
当一个函数是单调函数时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数.由于指数函数y=ax（a>0，且a≠1）在R上是单调函数，它的反函数是对数函数y=logax（a>0，且a≠1），反之对数函数的反函数是指数函数.
课本上只要求知道指数函数y=ax（a＞0且a≠1）和对数函数y=logax（a＞0且a≠1）互为反函数，不要求会求函数y=f（x）的反函数.
4.指数函数与对数函数对照表
名 称
指数函数
对数函数
一般形式
y=ax（a>0，a≠1）
y=logax（a>0，a≠1）
定义域
（-∞，+∞）
（0，+∞）
值域
（0，+∞）
（-∞，+∞）
函数值变化情况
当a>1时，ax
当a>1时，logax
当0当a>1时，logax
单调性
当a>1时，y=ax是增函数；
当0当a>1时，y=logax是增函数；
当0图 象
y=ax与y=logax的图象关于直线y=x对称
联想发散 注意此处空半格(1)反函数也是函数，它具有函数的一切特性；反函数是相对于原函数而言的，函数与它的反函数互为反函数.
(2)若是已知f（x）的解析式，求f-1（x0）的值，不必去求f-1（x），只需列方程f（x）=x0，得出x的值即为所求.
(3)指数函数与对数函数互为反函数.它们的定义域与值域相互对称，单调性相同，图象关于直线y=x对称,由于对数函数是由指数函数关于直线y=x变化而得到的，也可以在用描点法作对数函数的图象时，对调同底数的指数函数的对应值里的x、y即可.所以在研究对数函数的图象和性质时，要紧扣指数函数的图象和性质.
问题·思路·探究
问题1 在同一坐标系中，画出函数y=log3x，y=，y=log2x，y=的图象，比一比，看它们之间有何区别与联系.
思路：利用对数函数的图象与性质可比较底数相同，真数不同的对数值的大小；可比较底数不同，真数相同的对数值的大小；也可比较底数与真数都不同的对数值的大小.
一般地，如果两对数的底数不同而真数相同，如y=x与y=x的比较（a1＞0，a1≠1，a2＞0，a2≠1）.
①当a1＞a2＞1时，曲线y1比y2的图象（在第一象限）上升得慢，即当x＞1时，y1＜y2；
当0＜x＜1时，y1＞y2.而在第一象限内，图象越靠近x轴的对数函数的底数越大.
②当0＜a2＜a1＜1时，曲线y1比y2的图象（在第四象限内）下降得快，即当x＞1时，y1＜y2；当0＜x＜1时，y1＞y2，即在第四象限内，图象越靠近x轴的对数函数的底数越小.
③当0＜a2＜1＜a1时，曲线y1和y2的图象分布在不同象限.
即当x＞1时， y2<00>y1
探究:从图象可以看到：所有图象都跨越一、四象限，任何两个图象都是交叉出现的，交叉点是（1，0），当a>1时，图象向下与y轴的负半轴无限靠拢，在点（1，0）的右侧，函数值恒大于0，对同一自变量x而言，底数越大，函数值越小，在点（1，0）的左侧，函数值恒小于0，对同一自变量x而言，底数越大，函数值越大；当0log0.62等.
问题2 怎样画对数函数y=logax(a>0, a≠1)的图象？至少要描出哪几个关键点？
思路：（1）要善于对照指数函数与对数函数的关系来画图象;（2）从联系的角度研究画对数函数图象的方法，对深化理解对数函数的图象与性质很有帮助.
探究:画对数函数y=logax(a>0, a≠1)的图象依据它与指数函数y=ax(a>0, a≠1)的图象关于直线y=x对称，用找对称点作对称图形的方法来画，也可以用列表、描点、连线的方法来画．画图象时首先要分清底数a>1还是0 学好数学是大有禆益的.
典题·热题·新题
例1 比较下列各组数中两个值的大小：
（1）log67,log76（2）log38,log20.7;
思路解析：由于两个对数值不同底,故不能直接比较大小,可在两个对数值中间插入一个已知数,间接比较两对数值的大小.
解：(1)因为log67> log66=1, log76< log77=1,所以log67>log76；
(2)因为log38> log31=0, log20.7< log21=0,所以log38>log20.7.
深化升华 注意此处空半格利用对数函数的增减性比较两个对数的大小,当不能直接比较时,经常在两个对数中间插入1或0等,间接比较两个对数值的大小.利用对数的单调性可解简单的对数不等式.
例2 已知（1）log2（2x-1）>1，（2）已知log1/2（2x-1）＞0，试分别求x的取值范围.
思路解析：利用对数的单调性可解简单的对数不等式.
解：（1）∵log2（2x-1）>1，即log2（2x-1）>log22，∴2x-1>2，解得x>，
即x的范围是x∈（，+∞）.
（2）由已知得log2（2x-1）＞lg1，0＜2x-1＜1，∴0＜x＜1.
误区警示 注意此处空半格解对数不等式的关键是善于把真数视为一个整体，用对数函数的单调性构造不等式.但一定要注意真数大于零这一隐含条件.
例3 求函数y=的定义域.
思路解析：定义域是使解析式的各部分有意义的交集.
解：要使函数有意义，必须且只即
∴-3＜x＜-2，或-2＜x≤1.
∴函数的定义域为（-3，-2）∪（-2，1］.
深化升华 注意此处空半格求函数定义域时，常见的限制条件有：分母不为零，开偶次方时被开方数非负，对数的真数大于零，底数大于零且不等于1等.
例4 试求满足不等式2（log0.5x）2+9log0.5x+9≤0的x的范围.
思路解析：把log0.5x看作一个变量t，原不等式即变为关于t的一元二次不等式，可求出t的取值范围，进而再求出x的取值范围.
解：令t=log0.5x，则原不等式可化为2t2+9t+9≤0，解得-3≤t≤-，
即-3≤log0.5x≤-.又-3=log0.50.5-3，-=.
∴≤x≤0.5-3，即2≤x≤8.
深化升华 注意此处空半格求复合函数的最值时，一般要注意函数有意义的条件，来决定中间变量的取值范围，并综合运用求最值的各种方法求解.
例5 求函数y=log0.3（2x+8-x2）的单调区间和值域.
思路解析：利用复合函数的单调性法则(同增异减),而求值域的关键是先求出对数的真数的取值范围,再由对数函数的单调性求得对数值的范围.
解：因为2x+8-x2>0，即x2-2x-8<0,解得-2 又令u=2x+8-x2,则y=log0.3u.因为y=log0.3u为定义域上的减函数,
所以y=log0.3（2x+8-x2）的单调性与u=2x+8-x2的单调性相反.
对于函数u=2x+8-x2,x∈（-2,4）.
当x∈（-2，1]时为增函数;当x∈［1，4)时为减函数.
所以函数y=log0.3（2x+8-x2）的增区间为［1，4),减区间为（-2，1]，
又因为u=2x+8-x2=-（x-1）2+9，
所以当x∈（-2,4）时, 0 即函数y=log0.3（2x+8-x2）的值域为 ［log0.39,+∞)．
拓展延伸 注意此处空半格考查对数函数与其他函数组成的复合函数时,要注意利用复合函数的单调性法则和函数单调性的定义;考查对数函数的值域问题时,要注意只有当对数的真数取到所有的正数时,对数值才可能取到所有的实数.
例6 作出下列各函数的图象,并说明它们的图象可由y=log3x的图象经过怎样变换得到：(1) y=log3|x|;（2）y=|log3x|.
思路解析：作含绝对值符号的函数图象,可先由绝对值定义去绝对值,写成分段函数的形式,也可依翻折变换的规律变换得出.
解：（1）原函数可化为y=它的图象如图(1)所示.
先作出函数y=log3x的图象,再将所得图象沿y轴对称到y轴左侧,所得两部分组合在一起就是函数y=log3|x|的图象.

(2)原函数可化为y=它的图象如(2)图所示.
先作出函数y=log3x的图象,再将所得图象再将所得图象在x轴下方(虚线部分)的部分沿x轴翻折到x轴上方,与原x轴上方的部分一起,就是y=|log3x|的图象.
深化升华 注意此处空半格利用对数函数的图象的平移和对称可以认识与对数函数有关的一些函数的图象和性质,这些图象的变换规律与指数函数的有关图象变换规律是类似的.