高中数学第二章基本初等函数（Ⅰ）2.2对数函数知识导航新人教A版必修1

2.2 对数函数
名师导航
知识梳理
1.对数的定义
一般地,如果ax=N(a>0,a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作________,其中a叫做对数的________,N叫做对数的________.
对数恒等式为________.
2.对数的运算法则
指数的运算法则: 对数的运算法则:
(1)aman=am+n; →(1) ________;
(2)=ama-n=am-n; →(2) ________;
(3)(am)n=amn. →(3) ________.
3.对数运算法则的证明
(1)正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的________,即loga(MN)= ________.
(2)两个正数的商的对数等于被除数的对数________除数的对数,即loga=________.
(3)正数的幂的对数等于幂的底数的对数________幂指数,即loga(Nn)= ________.
(4)正数的正的方根的对数等于被开方数的对数________根指数,即loga=________.
4.对数的性质
________和________没有对数;1的对数是,即loga1=________;底数的对数等于_________,即logaa=________.
5.一组重要的对数公式——换底公式
(1)logab=,即有logca·logab=________;
(2)logba=,即有logab·logba=________;
(3)logambn=________×logab.
6.对数函数的定义
函数________ (a>0且a≠1)叫做对数函数;它是指数函数y=ax(a>0且a≠1)的反函数,对数函数y=logax(a>0且a≠1)的定义域为________,值域为________.
7.对数函数的图象和性质
a>1
0图象
性质
定义域:_____________
值域:_____________
过点_____________,即当x=1时,y=0
x∈(0,1)时,y_________0;
x∈(1,+∞)时,y_________0
x∈(0,1)时,y_________0;
x∈(1,+∞)时,y_________0
在(0,+∞)上是_______函数
在(0,+∞)上是_________函数
疑难突破
1.对数函数与指数函数的性质比较
剖析:列表
名称
指数函数
对数函数
一般形式
y=ax(a>0,且a≠1)
y=logax(a>0,且a≠1)
定义域
(-∞,+∞)
(0,+∞)
值域
(0,+∞)
(-∞,+∞)
单调性
当a>1时为增函数,当0函
数
值
的
情
况
当a>1时:
若x>0,则y>1;
若x=0,则y=1;
若x<0,则0当a>1时:
若x>1,则y>0;
若x=1,则y=0;
若0当0若x>0,则0若x=0,则y=1;
若x<0,则y>1
当0若x>1,则y<0;
若x=1,则y=0;
若00
图象
y=ax的图象与y=logax的图象关于直线y=x对称
2.对数函数的图象特征与性质之间的对应关系
剖析:对数函数的图象特征和对数函数的性质之间有以下对应关系:
(1)图象都位于y轴右侧,且以y轴为渐近线→函数定义域为(0,+∞);
(2)图象向上、向下无限延展→函数值域为R;
(3)图象恒过定点(1,0)→1的对数是零,即loga1=0;
(4)当a>1时,图象由左向右逐渐上升,即当a>1时,y=logax在(0,+∞)上是增函数;
当0(5)当a>1时,在直线x=1的右侧,图象位于x轴上方;在直线x=1与y轴之间,图象位于x轴下方,即当a>1时,x>1,则y=logax>0;0当01,则y=logax<0;00.