北师大版2019-2020九年级数学尖子生辅导训练试题（第十二周）解析版

2019-2020北师大版九年级数学相似三角形综合题尖子生辅导训练试题
（第十二周）
1.如图，直线 AB与坐标轴交与点 ， 动点P沿路线 运动.

（1）求直线AB的表达式;
（2）当点P在OB上，使得AP平分 时，求此时点P的坐标;
2.在平面直角坐标系中，A（5，0），B（0，5）.

（1）如图 1，P 是 AB 上一点且 ，求 P 点坐标；
（2）如图 2，D 为 OA 上一点，AC∥OB 且∠CBO＝∠DCB，求∠CBD 的度数；
（3）如图 3，E 为 OA 上一点，OF⊥BE 于 F，若∠BEO＝45°＋∠EOF，求 的值
3.如图，已知点 是反比例函数 的图像上的一个动点，经过点 的直线 交 轴负半轴于点 ，交 轴正半轴于点 .过点 作 轴的垂线，交反比例函数的图像于点 .过点 作 轴于点 ，交 于点 ，连接 .设点 的横坐标是 .

（1）若 ，求点 的坐标(用含 的代数式表示);
（2）若 ，当四边形 是平行四边形时，求 的值，并求出此时直线 对应的函数表达式.
4.如图1，在正方形 中，点 是 边上的一个动点（点 与点 不重合），连接 ，过点 作 于点 ，交 于点 .

（1）求证： ；
（2）如图2，当点 运动到 中点时，连接 ，求证： ；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点 作 于点 ，分别交 于点 ，求 的值.
5.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，AF平分∠DAC，分别交DC，BC的延长线于点E，F；连接DF，过点A作AH∥DF，分别交BD，BF于点G，H.

（1）求DE的长；
（2）求证：∠1＝∠DFC.
6.如图，在 中， ， ， ，点 分别是边 上的动点（点 不与 重合），且 ，过点 作 的平行线 ，交 于点 ，连接 ，设 为 .

（1）试说明不论 为何值时，总有 ∽ ；
（2）是否存在一点 ，使得四边形 为平行四边形，试说明理由；
（3）当 为何值时，四边形 的面积最大，并求出最大值.
7.在平面直角坐标系中，直线y＝kx+4（k≠0）交x轴于点A（8，0），交y轴于点B.

（1）k的值是________；
（2）点C是直线AB上的一个动点，点D和点E分别在x轴和y轴上.
①如图，点E为线段OB的中点，且四边形OCED是平行四边形时，求?OCED的周长；
②当CE平行于x轴，CD平行于y轴时，连接DE，若△CDE的面积为 ，请直接写出点C的坐标.
8.如图，在平面直角坐标系中，矩形 的边 在 轴上， 、 的长分别是一元二次方程 的两个根 ， ，边 交 轴于点 ，动点 以每秒 个单位长度的速度，从点 出发沿折线段 向点 运动，运动的时间为 秒，设 与矩形 重叠部分的面积为 ．

（1）求点 的坐标；
（2）求 关于 的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）在点 的运动过程中，是否存在 ，使 为等腰三角形？若存在，直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
9.如图①,在正方形ABCD中,AB=6,M为对角线BD上任意一点(不与B、D重合),连接CM,过点M作MN⊥CM,交线段AB于点N

（1）求证:MN=MC:
（2）若DM:DB=2:5,求证:AN=4BN2
（3）如图②,连接MC交BD于点G.若BG:MG=3:5,求NG·CG的值
10.如图1，在矩形 中， ， ， 是 边上一点，连接 ，将矩形 沿 折叠，顶点 恰好落在 边上点 处，延长 交 的延长线于点 ．

（1）求线段 的长；
（2）如图2， ， 分别是线段 ， 上的动点（与端点不重合），且 ，设 ， ．
①写出 关于 的函数解析式，并求出 的最小值；
②是否存在这样的点 ，使 是等腰三角形？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由．
11.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB＝4，BC＝6．若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动．

（1）当∠OAD＝30°时，求点C的坐标；
（2）设AD的中点为M，连接OM、MC，当四边形OMCD的面积为 时，求OA的长；
（3）当点A移动到某一位置时，点C到点O的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时cos∠OAD的值．
12.定义：长宽比为 ： 为正整数 的矩形称为 矩形 下面，我们通过折叠的方式折出一个 矩形，如图a所示．

操作1：将正方形ABEF沿过点A的直线折叠，使折叠后的点B落在对角线AE上的点G处，折痕为AH ．
操作2：过点G作CD∥AB，使点D、点C分别落在边AF ， BE上.则四边形ABCD为 矩形．
（1）证明：四边形ABCD为 矩形；
（2）点M是边AB上一动点．
如图b ， O是对角线AC的中点，若点N在边BC上， ，连接 求 的值；
连结AC，CM，当△AMC为等腰三角形时，将△CBM沿着CM翻折，点B的对称点为B’,连结AB’
求 的值.
13.如图，在平面直角坐标系中，过点A 的直线l分别与x轴、y轴交于点C，D.

（1）求直线l的函数表达式.
（2）P为x轴上一点，若△PCD为等腰三角形直接写出点P的坐标.
（3）将线段AB绕B点旋转90°，直接写出点A对应的点A的坐标.
14.如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，cosA＝ ，D是AB边的中点，E是AC边上一点，联结DE，过点D作DF⊥DE交BC边于点F，联结EF.

（1）如图1，当DE⊥AC时，求EF的长；
（2）如图2，当点E在AC边上移动时，∠DFE的正切值是否会发生变化，如果变化请说出变化情况；如果保持不变，请求出∠DFE的正切值；
（3）如图3，联结CD交EF于点Q，当△CQF是等腰三角形时，请直接写出BF的长.
15.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA＝10厘米，OC＝6厘米，现有两动点P，Q分别从O，A同时出发，点P在线段OA上沿OA方向作匀速运动，点Q在线段AB上沿AB方向作匀速运动，已知点P的运动速度为1厘米/秒．

（1）设点Q的运动速度为0.5厘米/秒，运动时间为t秒，
①当△CPQ的面积最小时，求点Q的坐标；
②当△COP和△PAQ相似时，求点Q的坐标．
（2）设点Q的运动速度为a厘米/秒，问是否存在a的值，使得△OCP∽△PAQ∽CBQ？若存在，请求出a的值，并写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

2019-2020北师大版九年级数学相似三角形综合题尖子生辅导训练试题
（第十二周）
1. （1）解：设直线AB的解析式为y=kx+b，
∵A（0，6），B（8，0），
∴ ，
∴ ，
∴直线AB的解析式为y= x+6
（2）解：方法1、如图1，

∵A（0，6），B（8，0），
∴OA=6，OB=8，AB=10，
过点B作BC∥OA交AP的延长线于C，
∴∠C=∠OAP，
∵AP平分∠OAB，
∴∠OAP=∠BAP，
∴∠C=∠BAP，
∴BC=AB=10，
∵BC∥OA，
∴△AOP∽△CBP，
∴ = ，
∴ ，
∴OP=3，
∴P（3，0）；

方法2、如图3，过点P作PM⊥AB于M，
∵AP是∠OAB的角平分线，
∴OP=PM，
设OP=m，
∴PM=m，
∴BP=OB-OP=8-m
易知，△AOP≌△AMP，
∴AM=OA=6，
∴BM=AB-AM=4，
在Rt△BMP中，根据勾股定理得，m2+16=（8-m）2 ，
∴m=3，
∴P（3，0）.
故答案为：（1）y= x+6；（2）P（3，0）
2. （1）解：作PG⊥x轴于G，PN⊥y轴于N，

∵
∴
∵A（5，0），B（0，5），
∴OA=5，OB=5，
∵PG⊥x轴，
∴PG∥OB，
∴△AGP∽△AOB，
∴ ，即 ，
解得，PG=2，
同理，PN=3，
∴P点坐标为（3，2）
（2）解：作BG⊥AC交AC的延长线于G，作BH⊥CD于H，

∴四边形BOAG为矩形，
∴BO=BG，
∵OA=OB，
∴矩形BOAG为正方形，
∵AC∥OB
∴∠CBO=∠BCG，
∵∠CBO=∠DCB，
∴∠BCG=∠DCB，
在△BCH和△BCG中，
?，
∴△BCH≌△BCG（AAS），
∴∠CBH=∠CBG，BG=BH，
∴BO=BH，
在Rt△BOD和Rt△BHD中，
?
∴Rt△BOD≌Rt△BHD（HL），
∴∠BOD=∠HOD，
∴∠CBD=∠DBH+∠CBH= ∠OBG=45°
（3）解：如图，

∵∠BEO=45°+∠EOF，∠BEO+∠EOF=90°，
∴∠BEO=67.5°，∠EOF=22.5°，
则∠OBE=22.5°，
作∠BOP=∠OBE=22.5°，
则PB=PO，∠OPF=45°，
设OF=a，则PF=OF=a，
由勾股定理得，OP= a，
∴PB= a，
∴BF= a+a，
∵∠BOP=∠OBE，∠OFB=∠EFO=90°，
∴△OFB∽△EFO，
∴EF= a-a，
∴
3. （1）解：∵点A的横坐标是a，∴点A的纵坐标为 ，∴AE= ，
∵AE⊥x轴，∴CO∥AE，∴△BOC∽△BEA，∴ = ，∴CO= ，
把y= 代入y= ，解得x= a，∴D点坐标为（ a， ）

（2）解：∵OC=3，∴D点纵坐标为3，把y=3代入y= 可得x=4，∴D（4，3），∴CD=4，
∵四边形BCDE是平行四边形，∴BE=CD=4，且CD∥BE，∴△ACF∽△ABE，
∴ ，即 = ，解得a=2，∴A（2，6），且C（0，3），
∴可设直线l的函数表达式为y=kx+3，把x=2，y=6代入，可得6=2k+3，解得k= ，
∴直线l的函数表达式为y= x+3.
4. （1）证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
（2）证明：如图2，过点 作 于 ，

设 ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
在 中，根据面积相等，得 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
（3）解：如图3，过点 作 于 ，

，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
5. （1）解：∵矩形ABCD中，AD∥CF，
∴∠DAF＝∠AFC，
∵AF平分∠DAC，
∴∠DAF＝∠CAF，
∴∠FAC＝∠AFC，
∴AC＝CF，
∵AB＝4，BC＝3，
∴ ＝ ＝5，
∴CF＝5，
∵AD∥CF，
∴△ADE∽△FCE，
∴ ，
设DE＝x，则 ，
解得x＝
∴ ；

（2）证明：∵AD∥FH，AF∥DH，
∴四边形ADFH是平行四边形，
∴AD＝FH＝3，
∴CH＝2，BH＝5，
∵AD∥BH，
∴△ADG∽△HBG，
∴ ，
∴ ，
∴DG＝ ，
∵DE＝ ，
∴ ＝ ，
∴EG∥BC，
∴∠1＝∠AHC，
又∵DF∥AH，
∴∠AHC＝∠DFC，
∠1＝∠DFC.
6. （1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，又 ，
∴ ∽

（2）解：当 时，四边形 为平行四边形，
∵ ， ，
∴四边形 为平行四边形

（3）解：∵ ，
∴ ，
∵ ∽ ，
∴ ，即 ，
解得， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
解得， ，
则四边形 的面积 ，
∴当 时，四边形 的面积最大，最大值为 .
7. （1）
（2）①由（1）可知直线AB的解析式为y＝ x+4.
当x＝0时，y＝ x+4＝4，
∴点B的坐标为（0，4），
∴OB＝4.
∵点E为OB的中点，
∴BE＝OE＝ OB＝2.
∵点A的坐标为（8，0），
∴OA＝8.
∵四边形OCED是平行四边形，
∴CE∥DA，
∴ ，
∴BC＝AC，
∴CE是△ABO的中位线，
∴CE＝ OA＝4.
∵四边形OCED是平行四边形，
∴OD＝CE＝4，OC＝DE.
在Rt△DOE中，∠DOE＝90°，OD＝4，OE＝2，
∴DE＝ ，
∴C平行四边形OCED＝2（OD+DE）＝2（4+2 ）＝8+4 .
②设点C的坐标为（x， +4），则CE＝|x|，CD＝| x+4|，

∴S△CDE＝ CD?CE＝|﹣ x2+2x|＝ ，
∴x2+8x+33＝0或x2+8x﹣33＝0.
方程x2+8x+33＝0无解；
解方程x2+8x﹣33＝0，得：x1＝﹣3，x2＝11，
∴点C的坐标为（﹣3， ）或（11， ）.
8. （1）解： ，
， ，
，
， ，
，
， ，
四边形 是矩形，
点 的坐标为

（2）解：设 交 轴于点 ，
如图1，当 时， ，

，
，
，即 ，
，
；
如图2，当 时， ，

，
，
，即 ，
，
；
综上所述，

（3）解：由题意知，当点 在 上时，显然不能构成等腰三角形；
当点 在 上运动时，设 ，
， ，
， ， ，
①当 时， ，解得 ，
则 ；
②当 时， ，解得 ，
则 ；
③当 时， ，解得 ，
则 ；
综上， 或 或 ．
9. （1）解：如图,过M分别作ME∥AB交BC于点E,MF∥BC交AB于点F,

则四边形BEMF是平行四边形
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ABC=90°,∠ABD=∠CBD=∠BME=45°
∴ME= BE
∴平行四边形MEBF是正方形．
∴ME=MF
∵CM⊥MN,
∴∠CMN=90°
∵∠FME=90°
∴．∠CME=∠FMN
∴△MFN≌△MEC,
∴MN=MC

（2）证明:由(1)得:FM∥AD,EM∥CD
.
AF=24.CE=24.
△MFN≌△MEC
∴FN=EC=2.4
N=4.8,BN=6-4.8=1.2
AN=4BN

（3）解：把△DMC绕点C逆时针旋转90°得到△BHC,连接GH

∵△DMC≌△BHC,∠BCD=90°,
∴MC=HC,DM=BH,∠CDM=∠CBH,∠DCM=∠BCH=45°
∴∠MBH=90°,∠MCH=90°
MC=MN,MC⊥MN
∴△MNC是等腰直角三角形
∠MNC=45°
∴∠NCH=45°
∴△MCG≌△HCG
∴MG=HG
∵BG:MG=3:5,
∴设BG=3a,则MG=GH=5a
在Rt△BGH中,BH= ?=4a,则MD=4a
∵正方形ABCD的边长为6,
.BD=6
∴DM+MG+BG=12a=6
∴a=
∴BG= ,MG=
∵∠MGC=∠NGB,∠MNG=∠GBC=45°
∴△MGC∽△MGB.
∴
∴CG·NG=BG·MG≈
10. （1）解：如图1中，

∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
由翻折可知： ． ，设 ，则 ．
在 中， ，
∴ ，
在 中，则有： ，
∴ ，
∴

（2）解：①如图2中，

∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
当 时， 有最小值，最小值 ．
②存在．有两种情形：如图3-1中，当 时，

∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
如图3-2中，当 时，作 于 ．

∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由 ，可得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
综上所述，满足条件的 的值为 或
11. （1）解：如图1，过点C作CE⊥y轴于点E，

∵矩形ABCD中，CD⊥AD，
∴∠CDE+∠ADO＝90°，
又∵∠OAD+∠ADO＝90°，
∴∠CDE＝∠OAD＝30°，
∴在Rt△CED中，CE＝ CD＝2，DE＝ ＝2 ，
在Rt△OAD中，∠OAD＝30°，
∴OD＝ AD＝3，
∴点C的坐标为(2，3+2 )

（2）解：∵M为AD的中点，
∴DM＝3，S△DCM＝6，
又S四边形OMCD＝ ，
∴S△ODM＝ ，
∴S△OAD＝9，
设OA＝x、OD＝y，则x2+y2＝36， xy＝9，
∴x2+y2＝2xy，即x＝y，
将x＝y代入x2+y2＝36得x2＝18，
解得x＝3 (负值舍去)，
∴OA＝3

（3）解：OC的最大值为8，
如图2，M为AD的中点，

∴OM＝3，CM＝ ＝5，
∴OC≤OM+CM＝8，
当O、M、C三点在同一直线时，OC有最大值8，
连接OC，则此时OC与AD的交点为M，过点O作ON⊥AD，垂足为N，
∵∠CDM＝∠ONM＝90°，∠CMD＝∠OMN，
∴△CMD∽△OMN，
∴ ，即 ，
解得MN＝ ，ON＝ ，
∴AN＝AM﹣MN＝ ，
在Rt△OAN中，OA＝ ，
∴cos∠OAD＝
12. （1）证明：设正方形ABEF的边长为a，
∵AE是正方形ABEF的对角线，
∴∠DAG=45? ，
由折叠性质可知AG=AB=a，
∠FDC=∠ADC=90? ，
则四边形ABCD为矩形，
∴△ADG是等腰直角三角形．
∴AD=DG=a，
∴AB：AD=a：a=：1．
∴四边形ABCD为矩形；

（2）解：如图，作OP⊥AB，OQ⊥BC，垂足分别为P，Q．

∵四边形ABCD是矩形，∠B=90? ， ∴四边形BQOP是矩形． ∴∠POQ=90? ， OP//BC，OQ//AB． ∴OP：BC=AO：AC，OQ：AB=CO：CA． ∵O为AC中点， ∴OP=BC，OQ=AB. ∵∠MON=90? ， ∴∠QON=∠POM． ∴Rt△QON∽Rt△POM． ∴ON：OM=OQ：OP=AB：BC=. ∴tan∠OMN=ON：OM=.
②解：设AM=x, 则BM=a-x, MC=AM=x, 在Rt△BMC中，由勾股定理得，MC2=BM2+BC2 ，
x2=(a-x)2+a2, 解得x=a , ∵∠PB‘C+∠QB’M=90°，∠PB‘C+∠PCB‘=90°，∴∠QB’M=∠PCB‘，
∴△PB’C≌△QB'M，得B'Q：PC=B'M：B'C，设 B‘Q=x, 则x：PC=(a-a)：a, 解得PC=2x,
在△CB’P中，由勾股定理得PC2+PB'2=CB'2 ， (2x)2+(a-x)2=a2, 解得x=a ,
∴S△AB'M=AM×B'Q=a×a=a2,
S△AB'C=S△ABC-2S△MBC-S△AB'M=a2-2×a×a-a2=a2,
∴.

13. （1）解：设直线l的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），
将A（1， ），B（4， ）代入y＝kx+b，
得： ，解得： ，
∴直线l的函数表达式为y＝﹣ x+8

（2）解：当x＝0时，y＝﹣ x+8＝8，
∴点D的坐标为（0，8）；
当y＝0时，﹣ x+8＝0，
解得：x＝6，
∴点C的坐标为（6，0），
∴CD＝10.
分三种情况考虑（如图1所示）：

①当DC＝DP时，OC＝OP1 ，
∴点P1的坐标为（﹣6，0）；
②当CD＝CP时，CP＝10，
∴点P2的坐标为（﹣4，0），点P3的坐标为（16，0）；
③当PC＝PD时，设OP4＝m，
∴（6+m）2＝82+m2 ，
解得：m＝ ，
∴点P4的坐标为（﹣ ，0）.
综上所述：点P的坐标为（﹣6，0），（﹣4，0），（16，0）或（﹣ ，0）

（3）解：过点B作直线l的垂线，交y轴于点E，如图2所示，

∵点B（4， ），点D（0，8），
∴BD＝ ＝ ，
∵∠CDO＝∠EDB，∠DOC＝∠DBE＝90°，
∴△DOC∽△DBE，
∴ ，即 ，
∴DE＝ ，
∴点E的坐标为（0，﹣ ）.
利用待定系数法可求出直线BE的函数表达式为y＝ x﹣ ，
设点A′的坐标为（n， n﹣ ），
∵A′B＝AB，
∴（4﹣n）2+[ ﹣（ n﹣ ）]2＝（4﹣1）2+（ ﹣ ）2 ，
即n2﹣8n＝0，
解得：n1＝0，n2＝8，
∴点A′的坐标为（0，﹣ ）或（8， ）.
14. （1）解：∵ ，
∴
∵
∴
∵ 是 边的中点
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵在 中，
∴
∵
∴
又∵
∴四边形 是矩形
∴
∵在 中，
∴

（2）解：不变
过点 作 ， ，垂足分别为点 、

由（1）可得 ，
∵ ，
∴
又∵ ，
∴四边形 是矩形
∴
∵
∴ 即
又∵
∴
∴
∵
∴

（3）解：1°当 时，易证 ，即
又∵ ，D是AB的中点
∴
∴
2°当 时，易证
∵在 中，
∴设 ，则 ，
当 时，易证 ，
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴ 解得
∴
∴
3°在BC边上截取BK=BD=5，由勾股定理得出
当 时，易证
∴设 ，则 ，
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴ 解得
∴
∴
15. （1）解：①先设两点运动的时间是t时，△CPQ面积最小．
S△CPQ＝S梯形QCOA﹣S△COP﹣S△APQ＝ （AQ+OC）×OA﹣ AP?AQ﹣ OC?OP
＝ （0.5t+6）×10﹣ ×0.5t×（10﹣t）﹣ ×6×t
＝ （t﹣6）2+21
∵a＝ ＞0，
∴当t＝6时，S△CPQ有最小值，
那么AQ＝0.5t＝0.5×6＝3，
∴Q点的坐标是（10，3）．
②△COP和△PAQ相似，有△COP∽△PAQ和△COP∽△QAP两种情况：
（i）当△COP∽△PAQ时：
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
即t2﹣7t＝0，
解得，t1＝0（不合题意，舍去），t2＝7．
∴t＝7，
∴AQ＝0.5t＝0.5×7＝3.5．
∴Q点的坐标是（10，3.5）．
（ii）当△COP∽△QAP时：
＝ ，
∴ ＝ ，
即t2+12t﹣120＝0
解得：t1＝﹣6+2 ，t2＝﹣6﹣2 （不合题意，舍去）
∴AQ＝0.5t＝﹣3+ ．
∴Q点的坐标是（10，﹣3+ ）；

（2）解：∵△COP∽△PAQ∽△CBQ，
∴ ，
即 ，
解得，t1＝2，t2＝18，
又∵0＜t＜10，
∴t＝2．代入任何一个式子，可求a＝ ．
∴AQ＝at＝
∴Q点的坐标是（10， ）．