北师大版九年级数学上册 第2章 一元二次方程 综合测试卷（含答案）

第2章一元二次方程 综合测试卷
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．在下列方程中，是一元二次方程的有( )
①2x2－1＝0；②ax2＋bx＋c＝0；③(x＋2)(x－3)＝x2－3；④2x2－＝0.
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
2．对于方程(x－1)(x－2)＝x－2，下面给出的说法不正确的是( )
A．与方程x2＋4＝4x的解相同
B．两边都除以x－2，得x－1＝1，可以解得x＝2
C．方程有两个相等的实数根
D．移项、分解因式，得(x－2)2＝0，可以解得x1＝x2＝2
3.下面方程，最适合用因式分解法解的是( )
A．(x－1)(x－2)＝3
B．3(x－3)2＝x2－9
C．x2＋2x－1＝0
D．x2＋4x＝2
4. 一元二次方程x2－6x－6＝0配方后化为( )
A．(x－3)2＝15 B．(x－3)2＝3
C．(x＋3)2＝15 D．(x＋3)2＝3
5．根据下面表格中的对应值：
x 3.23 3.24 3.25 3.26
ax2＋bx＋c －0.06 －0.02 0.03 0.09

判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的一个解x的范围是( )
A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24
C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26
6．在一幅长80 cm，宽50 cm的矩形风景画的四周镶上一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5000 cm2，设金色纸边的宽为x cm，那么满足的方程是( )
A．x2＋130x－1400＝0 B．x2－130x－1400＝0
C．x2＋65x－250＝0 D．x2－65x－250＝0

7. 已知a、b、c为常数，点P(a，c)在第二象限，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0根的情况是( )
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
8. 关于x的一元二次方程x2＋(a2－2a)x＋a－1＝0的两个实数根互为相反数，则a的值为( )
A．2 B．0
C．1 D．2或0
9．定义：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)满足a＋b＋c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2＋bx＋c＝0(a≠0)是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是( )
A．a＝c B．a＝b
C．b＝c D．a＝b＝c
10．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8 cm，BC＝6 cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始运动．点P的速度为1 cm/s，点Q的速度为2 cm/s，点P运动到点B停止，点Q运动到点C后停止．若使△PBQ的面积为15 cm2，则需经过 ( )
A．2 s B．3 s
C．4 s D．5 s

二．填空题（共8小题，3*8=24）
11．方程(x＋5)(x－7)＝－26，化成一般形式是___________________，其二次项的系数和一次项系数的和是_________．
12．已知一元二次方程(m－2)x2－3x＋m2－4＝0的一个根为0，则m＝________．
13．方程2x2＋4x＋1＝0的解是x1＝____________；x2＝____________.
14. 若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋4x＋1＝0有实数根，则k的取值范围是_______________.
15. 用一条长40 cm的绳子围成一个面积为64 cm2的矩形．设矩形的一边长为x cm，则可列方程为________________．
16. 已知关于x的方程x2＋px＋q＝0的两根为－3和－1，则p＝__ __，q＝__ __．
17. 在△ABC中，BC＝2，AB＝2，AC＝b，且关于x的方程x2－4x＋b＝0有两个相等的实数根，则AC边上的中线长为_________．
18．定义新运算“*”，规则：a*b＝，如1*2＝2，(－)*＝.若x2＋x－1＝0的两根为x1，x2，则x1*x2＝_______________．
三．解答题（共7小题，66分）
19．(6分) 用适当的方法解下列方程：
(1)x(x－2)＋x－2＝0; (2)x2－4x－192＝0；





(3)3x2－5x＋1＝0; (4) 4x2－3＝12x.






20．(6分) 已知方程x2－ax－3a＝0的一个根是6，求a的值和方程的另一个根．




21．(6分) 一张长为30 cm，宽为20 cm的矩形纸片，如图1所示，将这张纸片的四个角各剪去一个边长相同的正方形后，把剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒，如图2所示，如果折成的长方体纸盒的底面积为264 cm2，求剪掉的正方形纸片的边长．


　22．(6分) 先化简，再求值：÷(m＋2－)，其中m是方程x2＋3x－1＝0的根．





23．(6分) 某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次(即最低档次)的产品每天生产76件，每件利润10元．调查表明：生产每提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元．
(1)若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，此批次蛋糕属第几档次产品；
(2)由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？
　



24．(8分) 已知关于x的方程x2＋(2k－1)x＋k2－1＝0有两个实数根x1，x2.
(1)求实数k的取值范围；
(2)若x1，x2满足x12＋x22＝16＋x1x2，求实数k的值．





25．(8分) 阅读下列内容，并答题：我们知道，计算n边形的对角线条数公式为：n(n－3)．如果一个n边形共有20条对角线，那么可以得到方程n(n－3)＝20.整理得n2－3n－40＝0；解得n＝8或n＝－5，∵n为大于等于3的整数，∴n＝－5不合题意，舍去．∴n＝8，即多边形是八边形．
根据以上内容，问：
(1)若一个多边形共有14条对角线，求这个多边形的边数；
(2)A同学说：“我求得一个多边形共有10条对角线”，你认为A同学说法正确吗？为什么？

　26．(10分) 如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16 cm，AD＝6 cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以2 cm/s的速度向点D移动．
(1)P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33 cm2?
(2)P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10 cm?






27．(10分) 某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内(含10部)，每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元．
(1)若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为__ __万元；
(2)如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少部汽车？(盈利＝销售利润＋返利)









参考答案：
1-5ABBAC 6-10CBBAB
11. x2－2x－9＝0，－1
12. －2
13. ，
14. k≤5且k≠1
15. x(20－x)＝64
16.4,3
17. 2
18.
19. 解：(1)x1＝2，x2＝－1
(2)x1＝16，x2＝－12
(3) x1＝，x2＝
(4)x1＝，x2＝
20. 解：根据题意得62－6a－3a＝0，
即36－9a＝0，
解得a＝4；
则方程为x2－4x－12＝0，
解得x1＝－2，x2＝6，
即方程的另一根是－2
21. 解：设剪掉的正方形纸片的边长为x cm.
由题意得：(30－2x)(20－2x)＝264.
整理得：x2－25x＋84＝0.
解方程得：x1＝4，x2＝21(不符合题意，舍去)．
答：剪掉的正方形的边长为4 cm
22. 解：原式＝÷
＝·
＝
＝，
∵m是方程x2＋3x－1＝0的根．
∴m2＋3m－1＝0，
即m2＋3m＝1，
∴原式＝
23. 解：(1)(14－10)÷2＋1＝3(档次)．
答：此批次蛋糕属第三档次产品
(2)设烘焙店生产的是第x档次的产品，
根据题意得：(2x＋8)×(76＋4－4x)＝1080，整理得：x2－16x＋55＝0，
解得：x1＝5，x2＝11(不合题意，舍去)．
答：该烘焙店生产的是第五档次的产品
24. 解：(1)∵关于x的方程x2＋(2k－1)x＋k2－1＝0有两个实数根x1，x2，
∴Δ＝(2k－1)2－4(k2－1)＝－4k＋5≥0，
解得：k≤，
∴实数k的取值范围为k≤
(2)∵关于x的方程x2＋(2k－1)x＋k2－1＝0有两个实数根x1，x2，
∴x1＋x2＝1－2k，x1·x2＝k2－1.
∵x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝16＋x1·x2，
∴(1－2k)2－2×(k2－1)＝16＋(k2－1)，
即k2－4k－12＝0，
解得：k＝－2或k＝6(不符合题意，舍去)．
∴实数k的值为－2
25. 解：(1)根据题意得：n(n－3)＝14，
整理得：n2－3n－28＝0，
解得：n＝7或n＝－4.
∵n为大于等于3的整数，
∴n＝－4不合题意，舍去．
∴n＝7，即多边形是七边形
(2)A同学说法是不正确的，理由如下：
当n(n－3)＝10时，
整理得：n2－3n－20＝0，
解得：n＝，
∴符合方程n2－3n－20＝0的正整数n不存在，
∴多边形的对角线不可能有10条
26. 解：(1)设P，Q两点从出发开始到x s时，四边形PBCQ的面积为33 cm2，
则PB＝(16－3x) cm.QC＝2x cm.
根据梯形的面积公式得(16－3x＋2x)×6＝33.
解得x＝5.
答：P、Q两点从出发开始到5 s时四边形PBCQ的面积为33 cm2
(2)设P，Q两点从出发经过t s时，点P和点Q的距离是10 cm.
作QE⊥AB，垂足为E.则QE＝AD＝6 cm，PQ＝10 cm.
∵PA＝3t，BE＝CQ＝2t，∴PE＝AB－AP－BE＝|16－5t|.
由勾股定理，得(16－5t)2＋62＝102，
解得t1＝4.8，t2＝1.6.
答：P，Q两点从出发开始到1.6 s或4.8 s时，点P和点Q的距离是10 cm
27. 解：(1)26.8
(2)设需要售出x部汽车，
由题意可知，每部汽车的销售利润为：
28－[27－0.1(x－1)]＝(0.1x＋0.9)(万元)，
当0≤x≤10，根据题意，得x·(0.1x＋0.9)＋0.5x＝12，
整理，得x2＋14x－120＝0，
解这个方程，得x1＝－20(不合题意，舍去)，x2＝6，
当x＞10时，根据题意，得x·(0.1x＋0.9)＋x＝12，
整理，得x2＋19x－120＝0，解这个方程，得x1＝－24(不合题意，舍去)，x2＝5，
因为5＜10，所以x2＝5舍去．
答：需要售出6部汽车





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