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《25.3用频率估计概率》导学案
课题 用频率估计概率 学科 数学 年级 九年级上册
教学目标 1.理解每次试验可能的结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，利用统计频率的方法估计概率.2.经历利用频率估计概率的学习，使学生明白在同样条件下，大量重复试验时，根据一个随机事件发生的频率所逐渐稳定到的常数，可以估计这个事件发生的概率.3.通过研究如何用统计频率求一些现实生活中的概率问题，培养使用数学的良好意识，激发学习兴趣，体验数学的应用价值.
重点难点 重点：对利用频率估计概率的理解和应用. 难点：利用频率估计概率的理解.
教学过程
知识链接 用列举法求概率的条件是什么 ? 想一想：抛掷一枚质地不均匀的骰子，能不能用列举法求出“出现 5 点”的概率？
合作探究 ※活动1抛硬币实验1.全班同学分组，每组六名同学分为三小组，分别做投掷试验。 2.统计试验结果，按要求计算频率（频率结果保留两位小数），向组长汇报，并由组长填写好表格.投掷试验的总次数不少于100次. 3.组长将表格交给老师. 填表方法：第1组的数据填在第1行；第1，2组的数据之和填在第2行，…，10个组的数据之和填在第10行. ※活动2分析试验结果及下面数学家大量重复试验数据，大家有何发现？ 历史上，有些人曾做过成千上万次抛掷硬币的试验，试验结果如下：随着试验次数逐渐 ，“正面向上”的频率越来越接近_____※活动3 随着抛掷次数的增加，“正面向上”的频率变化趋势有何规律？ ●归纳结论：一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率m/n稳定于某个常数P，那么事件A发生的概率P（A）=P. 频率与概率的区别： 例1、某林业部门要考查某种幼树在一定条件下的移植成活率，应采用什么具体做法？ 幼树移植成活率是实际问题中的一种概率，这种实际问题中的移植试验不属于各种结果可能性相等的类型.因而要考查成活率只能用频率去估计. 上述问题可设计如下模拟统计表，补出表中空缺并完成表后填空. 从表中可以发现，幼树移植成活的频率在左右摆动，且随着统计数据的增加，这种规律愈加明显，所以估计幼树移植成活的频率为：. 例2、某水果公司以2元/千克价格购进10000千克的水果，且希望这些水果能获得税前利润5000元，那么在出售这些水果（已去掉损坏的水果）时，每千克大约定价为多少元较合适？
自主尝试 1.均匀的正四面体的各面依次标有 1，2，3，4 四个数字.小明做了 60 次投掷试验，结果统计如下：(1)计算上述试验中“ 4 朝下”的频率是______.(2)“根据试验结果，投掷一次正四面体，出现 2 朝下的概率是”的说法是______的(填“正确”或“错误”).
当堂检测 1.在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是( )A．频率就是概率 B．频率与试验次数无关 C．概率是随机的，与频率无关 D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率2.在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有3个红球．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值大约为( )A．12 B．15 C．18 D．213.在做种子发芽试验时，10 000颗有9 801颗发芽，据此估计，种子的发芽率为________(精确到0.01)．4.色盲是伴X染色体隐性先天遗传病，患者中男性远多于女性，从男性体检信息库中随机抽取体检表，统计结果如下表：根据上表，估计在男性中，男性患色盲的概率为________(结果精确到0.01)．5.为了估计暗箱里白球的数量(箱内只有白球)，将5个红球放进去，随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸出一个球记下颜色，多次重复后发现红球出现的频率约为0.2，那么可以估计暗箱里白球的数量大约为________个．6．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有60个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同．小刚通过多次摸球试验后发现其中摸到红色，黑色球的频率稳定在15%和45%，则口袋中白色球的个数很可能是________个．7.节能灯根据使用寿命分成优等品、正品和次品三个等级，其中使用寿命大于或等于8 000小时的节能灯是优等品，使用寿命小于6 000小时的节能灯是次品，其余的节能灯是正品，质监部门对某批次的一种节能灯(共200个)的使用寿命进行追踪调查，并将结果整理成下表． 寿命(小时) 频数 频率 4 000≤t<5 000 10 0.05 5 000≤t<6 000 20 a 6 000≤t<7 000 80 0.40 7 000≤t<8 000 b 0.15 8 000≤t<9 000 60 c 合计 200 1 (1)根据分布表中的数据，分别求出a，b，c的值；(2)某人从这200个节能灯中随机购买1个，求这个节能灯恰好不是次品的概率．
小结反思 1.你知道什么时候用频率来估计概率吗？ 2.你会用频率估计概率来解决实际问题吗？
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《25.3用频率估计概率》导学案
课题 用频率估计概率 学科 数学 年级 九年级上册
教学目标 1.理解每次试验可能的结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，利用统计频率的方法估计概率.2.经历利用频率估计概率的学习，使学生明白在同样条件下，大量重复试验时，根据一个随机事件发生的频率所逐渐稳定到的常数，可以估计这个事件发生的概率.3.通过研究如何用统计频率求一些现实生活中的概率问题，培养使用数学的良好意识，激发学习兴趣，体验数学的应用价值.
重点难点 重点：对利用频率估计概率的理解和应用. 难点：利用频率估计概率的理解.
教学过程
知识链接 用列举法求概率的条件是什么 ? 想一想：抛掷一枚质地不均匀的骰子，能不能用列举法求出“出现 5 点”的概率？不能的话该怎么办呢？本节课我们一起来学习用频率估计概率。
合作探究 ※活动1抛硬币实验1.全班同学分组，每组六名同学分为三小组，分别做投掷试验。 2.统计试验结果，按要求计算频率（频率结果保留两位小数），向组长汇报，并由组长填写好表格.投掷试验的总次数不少于100次. 3.组长将表格交给老师. 填表方法：第1组的数据填在第1行；第1，2组的数据之和填在第2行，…，10个组的数据之和填在第10行. 如果在抛掷n次硬币时，出现m次“正面向上”，则随机事件“正面向上”出现的频率为m/n.教师注意引导：分组是为了减少劳动强度加快试验速度，当然如果条件允许，组数分得越多，获得的数据就会越多，就更容易观察出规律.让学生再次经历数据的收集，整理描述与分析的过程，进一步发展学生的统计意识，发现数据中隐藏的规律. ※活动2分析试验结果及下面数学家大量重复试验数据，大家有何发现？ 历史上，有些人曾做过成千上万次抛掷硬币的试验，试验结果如下：随着试验次数逐渐增加，“正面向上”的频率越来越接近0.5※活动3 随着抛掷次数的增加，“正面向上”的频率变化趋势有何规律？ 在学生讨论的基础上，教师帮助归纳，使学生认识到每次试验中随机事件发生的频率具有不确定性，同时发现随机事件发生的频率也有规律性，在试验次数较少时，“正面向上”的频率起伏较大，而随着试验次数逐渐增加，一般地，频率会趋于稳定，“正面向上”的频率越来越接近0.5，也就是说，在0.5左右摆动的幅度越来越小.我们就用0.5这个常数表示“正面向上”发生的可能性的大小. 瑞士数学家雅各布．伯努利（１６５４－１７０５）最早阐明了可以由频率估计概率即：在相同的条件下，大量的重复实验时，根据一个随机事件发生的频率所逐渐稳定的常数，可以估计这个事件发生的概率.●归纳结论：一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率m/n稳定于某个常数P，那么事件A发生的概率P（A）=P. 频率与概率的区别： 1.概率是指某件事情发生的可能性大小，是在试验次数非常多的情况下趋近稳定的数值，而不是有限次地试验后必然就发生的事情． 2．频率是波动的，而概率是一个定值，当试验的次数不多时，事件发生的频率与概率甚至差异很大．联系：频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值。例1、某林业部门要考查某种幼树在一定条件下的移植成活率，应采用什么具体做法？ 幼树移植成活率是实际问题中的一种概率，这种实际问题中的移植试验不属于各种结果可能性相等的类型.因而要考查成活率只能用频率去估计. 在同样的条件下，大量地对这种幼树进行移植，并统计成活情况，计算成活的频率，若随着移植棵树n的越来越大，频率m/n越来越稳定于某个常数.则这个常数就可以作为成活率的近似值. 上述问题可设计如下模拟统计表，补出表中空缺并完成表后填空. 从表中可以发现，幼树移植成活的频率在左右摆动，且随着统计数据的增加，这种规律愈加明显，所以估计幼树移植成活的频率为：. 答案：（1）表中空出依次填：0.940，0.923，0.883，0.897 （2）0.9，0.9例2、某水果公司以2元/千克价格购进10000千克的水果，且希望这些水果能获得税前利润5000元，那么在出售这些水果（已去掉损坏的水果）时，每千克大约定价为多少元较合适？ 解：要定出合适的价格，必须考虑该水果的“完好率”或“损坏率”，如考查“损坏率”就需要从水果中随即抽取若干，进行损坏数量的统计，并把结果记录下来，为此可仿照上述问题制定如下表格： 从表格可看出，水果损坏率在某个常数（例如0.1）左右摆动，并且随统计量的增加，这种规律逐渐明显，那么可以把水果损坏的概率估计为这个常数，如果估计这个概率为0.1，则水果完好的概率为0.9. ∴在10000千克水果中完好水果的质量为10000×0.9=9000（千克） 设每千克水果的销售价为x元，则有： 9000x-2×10000=5000 x≈2.8 ∴出售这批水果的定价大约为2.8元/千克，可获利5000元. 思考为简单起见，能否直接把上表中500千克对应的损坏率作为损坏的概率？ 答：可以.总结：用频率估计概率时，一般是通过观察所计算的各频率数值的变化趋势，即观察各数值主要集中在哪个常数的附近，这个常数就是所求概率的估计值.
自主尝试 1.均匀的正四面体的各面依次标有 1，2，3，4 四个数字.小明做了 60 次投掷试验，结果统计如下：(1)计算上述试验中“ 4 朝下”的频率是______.答案：(2)“根据试验结果，投掷一次正四面体，出现 2 朝下的概率是”的说法是______的(填“正确”或“错误”).答案：错误
当堂检测 1.在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是( )DA．频率就是概率 B．频率与试验次数无关 C．概率是随机的，与频率无关 D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率2.在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有3个红球．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值大约为( )BA．12 B．15 C．18 D．213.在做种子发芽试验时，10 000颗有9 801颗发芽，据此估计，种子的发芽率为________(精确到0.01)．答案：0.984.色盲是伴X染色体隐性先天遗传病，患者中男性远多于女性，从男性体检信息库中随机抽取体检表，统计结果如下表：根据上表，估计在男性中，男性患色盲的概率为________(结果精确到0.01)．答案：0.075.为了估计暗箱里白球的数量(箱内只有白球)，将5个红球放进去，随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸出一个球记下颜色，多次重复后发现红球出现的频率约为0.2，那么可以估计暗箱里白球的数量大约为________个．答案：206．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有60个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同．小刚通过多次摸球试验后发现其中摸到红色，黑色球的频率稳定在15%和45%，则口袋中白色球的个数很可能是________个．答案：247.节能灯根据使用寿命分成优等品、正品和次品三个等级，其中使用寿命大于或等于8 000小时的节能灯是优等品，使用寿命小于6 000小时的节能灯是次品，其余的节能灯是正品，质监部门对某批次的一种节能灯(共200个)的使用寿命进行追踪调查，并将结果整理成下表． 寿命(小时) 频数 频率 4 000≤t<5 000 10 0.05 5 000≤t<6 000 20 a 6 000≤t<7 000 80 0.40 7 000≤t<8 000 b 0.15 8 000≤t<9 000 60 c 合计 200 1 (1)根据分布表中的数据，分别求出a，b，c的值；(2)某人从这200个节能灯中随机购买1个，求这个节能灯恰好不是次品的概率．解：(1)a＝20÷200＝0.1；b＝200×0.15＝30；c＝60÷200＝0.3. (2)这批节能灯中，优等品有60个，正品有110个，次品有30个，此人购买的1个节能灯恰好不是次品的概率为：P＝＝.
小结反思 1.你知道什么时候用频率来估计概率吗？ 2.你会用频率估计概率来解决实际问题吗？
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(共25张PPT)
25.3用频率估计概率
人教版 九年级上
新知导入
用列举法求概率的条件是什么 ?
①试验的所有结果是有限个 (n)；
②各种结果的可能性相等.
想一想：抛掷一枚质地不均匀的骰子，能不能用列举法求出“出现 5 点”的概率？
新知讲解
掷硬币试验
【试验要求】
1.全班同学分组，每组六名同学分为三小组，分别做投掷试验。
2.统计试验结果，按要求计算频率（频率结果保留两位小数），
向组长汇报，并由组长填写好表格.投掷试验的总次数不少于
100次.
3.组长将表格交给老师.
试验投掷时要细心、认真哟！
活动1
新知讲解
（以两个小组为例）
0.46
0.52
0.51
0.502
0.53
0.49
0.52
0.510
0.50
0.51
试验者（一组） 1号与6号 2号与5号 3号与4号 小组合计
正面向上次数m 46 78 102 226
总投掷次数n 100 150 200 450
正面向上频率m/n
试验者（二组） 1号与6号 2号与5号 3号与4号 小组合计
正面向上次数m 84 88 109 281
总投掷次数n 160 180 210 550
正面向上频率m/n
新知讲解
试验汇报：（以一组为例）
0.502
0.510
0.517
0.49
0.483
1490
2995
0.523
0.497
0.50
实验者 一组 二组 三组 四组 五组 六组 全班
合计
正面向
上次数m
226
281
260
238
246
259
总投掷
次数n
450
550
503
487
510
495
正面向上频率m/n
新知讲解
分析试验结果及下面数学家大量重复试验数据，大家有何发现？
抛掷的次数________，频率越接近________
越多
0.5
活动2
试验者 抛掷次数n “正面向上”次数m “正面向上”
频率( )
棣莫弗 2048 1061 0.518
布 丰 4040 2048 0.5069
费 勒 10000 4979 0.4979
皮尔逊 12000 6019 0.5016
皮尔逊 24000 12012 0.5005
新知讲解
则估计抛掷一枚硬币正面朝上的概率为＿＿
0.5
活动3
新知讲解
人们在长期的实践中发现,在随机试验中,由于众多微小的偶然因素的影响,每次测得的结果虽不尽相同,但大量重复试验所得结果却能反应客观规律.这称为大数法则,亦称大数定律.
由频率可以估计概率是由瑞士数学家雅各布·伯努利（1654－1705）最早阐明的，因而他被公认为是概率论的先驱之一．
瑞士数学家雅各布．伯努利（１６５４－１７０５）最早阐明了可以由频率估计概率即： 在相同的条件下，大量的重复实验时，根据一个随机事件发生的频率所逐渐稳定的常数，可以估计这个事件发生的概率.
新知讲解
当试验次数很大时,一个事件发生频率也稳定在相应的概率附近.因此,我们可以通过多次试验,用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率.
用频率估计概率：
新知讲解
频率与概率的区别：
区别：
1.概率是指某件事情发生的可能性大小，是在试验次数非常多的情况下趋近稳定的数值，而不是有限次地试验后必然就发生的事情．
2．频率是波动的，而概率是一个定值，当试验的次数不多时，事件发生的频率与概率甚至差异很大．
联系：
巩固练习
1.均匀的正四面体的各面依次标有 1，2，3，4 四个数字.小明做了 60 次投掷试验，结果统计如下：
(1)计算上述试验中“ 4 朝下”的频率是______.
例题讲解
例1 某林业局要考察一种树苗移植的存活率，对该地区这种树苗移植成活情况进行了统计，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题：
例题讲解
（1）这种树苗成活的频率稳定在______，成活的概率估计值为_____.
（2）该地区已经移植这种树苗5万棵
①估计这种树苗成活了_______万棵；
②如果该地区计划成活18万棵这样的树苗，那么还需要移植这种树苗约多少万棵？
0.9
0.9
解：①5×0.9＝4.5（万棵）所以估计这种树苗成活了4.5万棵．
②∵ 18－4.5＝13.5（万棵），
∴ 还需移植13.5÷0.9＝15（万棵）．
例题讲解
例2 某水果公司以2元/千克的成本新进了10000千克柑橘，如果公司希望这些柑橘能够获得利润5000元，那么在出售柑橘（已去掉损坏的柑橘）时，每千克大约定价为多少元比较合适？
由表可知:柑橘损坏率是______
完好率是 .
0.10
0.90
柑橘总质量（n）千克 损坏柑橘质量（m）千克 柑橘损坏的频率(m/n)
50 5.50 0.110
100 10.50 0.105
150 15.15 0.101
200 19.42 0.097
250 24.35 0.097
300 30.32 0.101
350 35.32 0.101
400 39.24 0.098
450 44.57 0.099
500 51.54 0.103
例题讲解
根据估计的概率可以知道，在10000kg柑橘中完好柑橘的质量为10000×0.9＝9000（kg）
完好柑橘的实际成本为
设每千克柑橘的售价为x元，则
（x-2.22）×9000=5000
解得 x≈2.8（元）
因此，出售柑橘时，每千克定价大约2.8元，可获利润5000元.
当堂检测
1.在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是( )
A．频率就是概率
B．频率与试验次数无关
C．概率是随机的，与频率无关
D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
D
当堂检测
2.在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有3个红球．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值大约为( )
A．12 B．15 C．18 D．21
3.在做种子发芽试验时，10 000颗有9 801颗发芽，据此估计，种子的发芽率为________(精确到0.01)．
B
0.98
当堂检测
4.色盲是伴X染色体隐性先天遗传病，患者中男性远多于女性，从男性体检信息库中随机抽取体检表，统计结果如下表：
根据上表，估计在男性中，男性患色盲的概率为________(结果精确到0.01)．
0.07
抽取的体检表数n 50 100 200 400 500 800 1 000 1 200 1 500 2 000
色盲患者的频数m 3 7 13 29 37 55 69 85 105 138
色盲患者的频率m/n 0.060 0.070 0.065 0.073 0.074 0.069 0.069 0.071 0.070 0.069
当堂检测
5.为了估计暗箱里白球的数量(箱内只有白球)，将5个红球放进去，随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸出一个球记下颜色，多次重复后发现红球出现的频率约为0.2，那么可以估计暗箱里白球的数量大约为________个．
6．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有60个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同．小刚通过多次摸球试验后发现其中摸到红色，黑色球的频率稳定在15%和45%，则口袋中白色球的个数很可能是________个．
20
24
当堂检测
7.节能灯根据使用寿命分成优等品、正品和次品三个等级，其中使用寿命大于或等于8 000小时的节能灯是优等品，使用寿命小于6 000小时的节能灯是次品，其余的节能灯是正品，质监部门对某批次的一种节能灯(共200个)的使用寿命进行追踪调查，并将结果整理成下表．
寿命(小时) 频数 频率
4 000≤t<5 000 10 0.05
5 000≤t<6 000 20 a
6 000≤t<7 000 80 0.40
7 000≤t<8 000 b 0.15
8 000≤t<9 000 60 c
合计 200 1
当堂检测
(1)根据分布表中的数据，分别求出a，b，c的值；
(2)某人从这200个节能灯中随机购买1个，求这个节能灯恰好不是次品的概率．
寿命(小时) 频数 频率
4 000≤t<5 000 10 0.05
5 000≤t<6 000 20 a
6 000≤t<7 000 80 0.40
7 000≤t<8 000 b 0.15
8 000≤t<9 000 60 c
合计 200 1
课堂总结
对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，显示出一定的稳定性.
1. 频率的特性
2. 频率与概率的关系
作业布置
教材148页4、5
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