2019_2020学年新教材高中数学第1章集合与常用逻辑用语1.1.2集合的基本关系学案新人教B版必修第一册

1.1.2　集合的基本关系
学 习 目 标 核 心 素 养
1.理解集合之间的包含与相等的含义．(重点) 2．能识别给定集合的子集、真子集． 3．了解维恩图的含义，会用Venn图表示两个集合间的关系. 1.通过对集合之间包含关系与相等的含义以及子集，真子集概念的理解，培养数学抽象素养． 2．借助子集和真子集的求解，培养数学运算及逻辑推理的数学素养． 3．利用Venn图，培养直观想象数学素养.


1.维恩图
一般地，如果用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合，那么可作出示意图来形象地表示集合之间的关系，这种示意图称为维恩图．
维恩图的优点及其表示
(1)优点：形象直观．
(2)表示：通常用封闭曲线的内部代表集合．
2．子集、真子集、集合相等的相关概念

思考：(1)任何两个集合之间是否有包含关系？
(2)符号“∈”与“?”有何不同？
提示：(1)不一定，如集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，这两个集合就没有包含关系．
(2)符号“∈”表示元素与集合间的关系；
而“?”表示集合与集合之间的关系．
3．集合间关系的性质
(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A?A.
(2)对于集合A，B，C.
①若A?B，且B?C，则A?C；
②若AB，BC，则AC.
③若A?B，A≠B，则AB.

1．下列集合中与{2,3}是同一集合的是(　　)
A．{{2}，{3}}　　 B．{(2,3)}
C．{(3,2)} D．{3,2}
D　[与{2,3}是同一集合的是{3,2}．故选D.]
2．下列命题：
①空集没有子集；
②任何集合至少有两个子集；
③空集是任何集合的真子集；
④若?A，则A≠?.其中正确的个数是(　　)
A．0　　　　B．1 C．2　　　　D．3
B　[在①中，空集的子集是空集，故①错误；
在②中，空集只有一个子集，还是空集，故②错误；
在③中，空集是任何非空集合的真子集，故③错误；
在④中，若?A，则A≠?，故④正确．故选B.]
3．已知集合P＝{x|0≤x≤2}，且M?P，则M可以是(　　)
A．{0,1} B．{1,3}
C．{－1,1} D．{0,5}
A　[A.0∈P,1∈P，则M?P成立，
B．3?P，则M?P不成立，
C．－1?P，则M?P不成立，
D．5?P，则M?P不成立，
故选A.]
4．已知集合A{2 018,2 019}，则这样的集合A共有________个．
3　[满足A{2 018,2 019}的集合A为：?，{2 018}，{2 019}，共3个．]


理解子集、真子集、空集的概念
【例1】　已知集合A＝{x|x2－x＝0}，B＝{x|ax＝1}，且A?B，求实数a的值．
[解]　A＝{x|x2－x＝0}＝{0,1}．
(1)当a＝0时，B＝??A，符合题意．
(2)当a≠0时，B＝{x|ax＝1}＝，
∵≠0，要使A?B，只有＝1，即a＝1.
综上，a＝0或a＝1.

集合A的子集可分三类：?、A本身、A的非空真子集，解题中易忽略?.


1．已知集合A＝{x|1[解]　(1)当2a－3≥a－2，即a≥1时，B＝??A，符合题意．
(2)当a<1时，要使A?B，需这样的实数a不存在．
综上，实数a的取值范围是{a|a≥1}．

集合的子集、真子集的确定
【例2】　(1)写出集合{a，b，c，d}的所有子集；
(2)若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有多少个子集？多少个真子集？验证你的结论．
[解]　(1)?，{a}，{b}，{c}，{d}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}，{a，b，c，d}．
(2)若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有2n个子集，2n－1个真子集．如?，有一个子集，0个真子集．

为了罗列时不重不漏，要讲究列举顺序，这个顺序有点类似于从1到100数：先是一位数，然后是两位数，在两位数中，先数首位是1的等等.


2．适合条件{1}?A{1,2,3,4,5}的集合A的个数是(　　)
A．15　　 　B．16　　 　C．31　　 　D．32
A　[这样的集合A有{1}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,3,4}，{1,3,5}，{1,4,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,3,4,5}共15个．]

集合间关系的应用
【例3】　(1)下列各式中，正确的个数是(　　)
①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}?{2,1,0}；③??{0,1,2}；④?＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0}
A．1 B．2
C．3 D．4
(2)指出下列各组集合之间的关系：
①A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；
②A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；
③M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．
(1)B　[对于①，是集合与集合的关系，应为{0}{0,1,2}；对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集；对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以?{0}；对于⑤，{0,1}是含有两个元素0与1的集合，而{(0,1)}是以有序数组(0,1)为元素的单元素集合，所以{0,1}与{(0,1)}不相等；对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③是正确的，应选B.]
(2)[解]　①集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．
②等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB.
③法一：两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故NM.
法二：由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，所以N M.

判断集合间关系的方法
1用定义判断.,首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A?B，否则A不是B的子集；,其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B?A，否则B不是A的子集；,若既有A?B，又有B?A，则A＝B.
2数形结合判断.,对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍.


3．能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的维恩图是(　　)

B　[解x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0,1}，易得NM，其对应的维恩图如选项B所示．]

1．对子集、真子集有关概念的理解
(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，这是判断A?B的常用方法．
(2)不能简单地把“A?B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝?时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素．
(3)在真子集的定义中，AB首先要满足A?B，其次至少有一个x∈B，但x?A.
2．集合子集的个数
求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集．
集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．写集合的子集时，空集和集合本身易漏掉．

1．下列集合中，结果是空集的是(　　)
A．{x∈R|x2－1＝0}　 B．{x|x＞6或x＜1}
C．{(x，y)|x2＋y2＝0} D．{x|x＞6且x＜1}
D　[A.{x∈R|x2－1＝0}＝{1，－1}，
B．{x|x＞6或x＜1}不是空集，
C．{(x，y)|x2＋y2＝0}＝{(0,0)}，
D．{x|x＞6且x＜1}＝?，故选D.]
2．集合P＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1,0,1}，则P与T的关系为(　　)
A．P?T B．P∈T
C．P＝T D． PT
A　[集合P＝{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，T＝{－1,0,1}，∴P?T，故选A.]
3．下列正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的维恩图是(　　)

B　[由N＝{x|x2＋x＝0}，得N＝{－1,0}．∵M＝{－1,0,1}，∴NM，故选B.]
4．已知集合A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x＜a}，若A?B，则实数a的取值范围________．
[4，＋∞)　[∵集合A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x＜a}，A?B，
∴a≥4.∴实数a的取值范围是[4，＋∞)．]







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