人教版高中物理必修二讲义资料，复习补习资料：62万有引力定律的应用(基础)

万有引力理论的成就
【学习目标】
1．了解万有引力定律在天文学上的重要应用．
2．会用万有引力定律计算天体的质量．
3．理解并运用万有引力定律处理天体问题的思路、方法．
【要点梳理】
要点一、万有引力与重力
要点诠释：
地球对物体的引力是物体受到重力的根本原因，但重力又不完全等于引力．这是因为地球在不停地自转，地球上的一切物体都随着地球的自转而绕地轴做匀速圆周运动，这就需要向心力．这个向心力的方向是垂直指向地轴的，它的大小是，式中的r是物体与地轴的距离，ω是地球自转的角速度．这个向心力来自哪里?只能来自地球对物体的引力F，它是引力F的一个分力，如图所示，引力F的另一个分力才是物体的重力mg．
/
在不同纬度的地方，物体做匀速圆周运动的角速度ω相同，而圆周的半径r不同，这个半径在赤道处最大，在两极最小(等于零)．纬度为α处的物体随地球自转所需的向心力(R为地球半径)．由公式可见，随着纬度的升高，向心力将减小，作为引力的另一个分量，重力则随纬度的升高而增大，在两极处r＝Rcos90°＝0，，所以在两极，引力等于重力．在赤道上，物体的重力、引力和向心力在一条直线上，方向相同，此时重力等于引力与向心力之差，即．此时重力最小．从图中还可以看出重力mg一般并不指向地心，只有在南北两极和赤道上重力mg才指向地心．
(1)重力是由万有引力产生的，重力实际上是万有引力的一个分力，物体的重力随其纬度的增大而增大，并且除两极和赤道上外，重力并不指向地心．
(2)物体随地球自转所需的向心力一般很小，物体的重力随纬度的变化很小，因此在一般粗略计算中，可以认为物体所受的重力等于物体所受地球的万有引力，即．
要点二、天体质量计算的几种方法
要点诠释：
万有引力定律从动力学角度解决了天体运动问题．天体运动遵循与地面上物体相同的动力学规律．行星(或卫星)的运动可视为匀速圆周运动，由恒星对其行星(或行星对其卫星)的万有引力提供向心力．
运用万有引力定律，不仅可以计算太阳的质量，还可以计算其他天体的质量．下面以地球质量的计算为例，介绍几种计算天体质量的方法．
(1)若已知月球绕地球做匀速圆周运动的周期为T，半径为r，根据万有引力等于向心力，即，可求得地球的质量
．
(2)若已知月球绕地球做匀速圆周运动的半径r和月球运行的线速度v，由于地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，得
．
可得地球的质量为．
(3)若已知月球运行的线速度v和运行周期T，由于地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，得
，
．
以上两式消去r，解得
．
(4)若已知地球的半径R和地球表面的重力加速度g，根据物体的重力近似等于地球对物体的引力，得
，
解得地球的质量为．
要点三、天体密度的计算
要点诠释：
(1)利用天体表面的重力加速度来求天体的自身密度．
由和，
得 ．
其中g为天体表面的重力加速度，R为天体半径．
(2)利用天体的卫星来求天体的密度．
设卫星绕天体运动的轨道半径为r，周期为T，天体半径为R，则可列出方程：
，
，
得 ．
当天体的卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则天体密度为
．
要点四、发现未知天体
要点诠释：
发现海王星
天王星的“出轨”现象，激发了法国青年天文学家勒维耶和英国剑桥大学学生亚当斯的浓厚兴趣．勒维耶经常到巴黎天文台去查阅天王星观察资料，并把这些资料跟自己理论计算的结果对比．亚当斯也不断到剑桥大学天文台去，他还得到一份英国皇家格林尼治天文台的资料，这使他的理论计算能及时跟观察资料比较他们两人根据自己的计算结果，各自独立地得出结论：在天王星的附近，还有一颗新的行星！
1846年9月23日晚，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星，人们称其为“笔尖下发现的行星”．这就是海王星．
凭借着万有引力定律，通过计算，在笔尖下发现了新的天体，这充分地显示了科学理论的威力．
要点五、解决天体运动问题的基本思路
要点诠释：
(1)将行星绕恒星的运动、卫星绕行星的运动均视为匀速圆周运动，所需向心力是由万有引力提供的．根据圆周运动的知识和牛顿第二定律列式求解有关天体运动的一些物理量，有如下关系：
．
若已知环绕中心天体运动的行星(或卫星)绕恒星(或行星)做匀速圆周运动的周期为T，半径为r，根据万有引力提供向心力可知：，得恒星或行星的质量．
此种方法只能求解中心天体的质量，而不能求出做圆周运动的行星或卫星的质量．
(2)若已知星球表面的重力加速度g′和星球的半径，忽略星球自转的影响，则星球对物体的万有引力等于物体的重力，有，所以．
其中是在有关计算中常用到的一个替换关系，被称为“黄金代换”．
【典型例题】
类型一、万有引力的计算
例1、已知太阳的质量M=2.0×1030kg，地球的质量m=6.0×1024kg，太阳与地球相距r=1.5×1011m，求
（1）太阳对地球的万有引力；
（2）地球对太阳的万有引力。
【思路点拨】太阳对地球的万有引力与地球对太阳的万有引力是作用力与反作用力。
【解析】根据万有引力定律有：
根据作用力与反作用力的关系，地球对太阳的引力与太阳对地球的引力大小相等，方向相反，即F'=F=3.56×1022N
【总结升华】根据万有引力定律，任何两个物体之间都相互吸引，引力的大小与两物体质量的乘积成正比，与其距离的平方成反比，即，地球对太阳的引力与太阳对地球的引力大小相等，方向相反，二者的关系是作用力与反作用力。
例2、甲、乙两物体之间的万有引力大小为F，若乙物体质量不变，甲物体质量减少1/2，同时甲、乙物体间距离也减少1/2，则甲、乙物体之间万有引力的大小变为（ 　）
A、F　　 B、F/2　　 C、F/4　　 D、2F
【答案】D
【思路点拨】注意到公式中各量之间的比例关系可以较快速解题。
【解析】根据万有引力定律有：
/
/
【总结升华】正确理解万有引力定律中的万有引力大小跟什么有关系，正确应用比例的方法求解。
举一反三
【变式】两大小相同的实心小铁球紧靠在一起时，它们之间的万有引力是F，若两个半径是小铁球半径2倍的实心大铁球紧靠在一起，则它们之间的万有引力为：（　 ）
A、2F　　 B、4F　　 C、8F　　 D、16F
【答案】D
【解析】小铁球之间的万有引力：
/
大铁球的半径是小铁球的2倍，其质量：
对小铁球：/
对于大铁球：/
则两大铁球间的万有引力：
/ //
∴ 正确答案选D
类型二、补偿法计算万有引力
例3. 如图所示，一个质量为M的匀质实心球，半径为R．如果从球上挖去一个直径为R的球，放在相距为d的地方．求下列两种情况下，两球之间的引力分别是多大?
/
(1)从球的正中心挖去；
(2)从与球面相切处挖去；
并指出在什么条件下，两种计算结果相同?
【思路点拨】所求万有引力可由均质实心球与m间的万有引力减去所挖去的小球与m间万有引力求得。
【解析】根据匀质球的质量与其半径的关系，两部分的质量分别为
，．
(1)如图甲所示，根据万有引力定律，这时两球之间的引力为
．
(2)如图乙所示，在这种情况下，不能直接用万有引力公式计算．为此，可利用等效割补法，先将M′转化为理想模型，即用同样的材料将其填补为实心球M，这时，两者之间的引力为
．
由于填补空心球而增加的引力为
，
所以，这时M′与m之间的引力为
，
当时，M′可以视为质点．这时，引力变为
．
即这时两种计算结果相同．
【点评】万有引力定律表达式只适用于计算质点间变力，在高中阶段常见的质点模型是质量分布均匀的球体，因而利用“割补法”构成质点模型，再利用万有引力定律与力的合成知识可求“缺失”球间的引力．
举一反三
【变式】（2019 衡阳高三月考）如图所示，O为地球球心，A为地球表面上的点，B为O、A连线问的点，AB=d，将地球视为质量分布均匀的球体，半径为R。设想挖掉以B为圆心、以为半径的球。若忽略地球自转，则挖出球体后A点的重力加速度与挖去球体前的重力加速度之比为（ ）
/
A． B． C． D．
【思路点拨】本题采用割补法，设想没有挖掉以B为圆心、以为半径的球，则A点物体所受的引力是以B为圆心、以为半径的球的引力和剩余部分的引力的矢量和。
【答案】B
【解析】设地球质量为M，以B为圆心、以为半径的球的质量为M1，
则，
根据万有引力定律，有：，
所以F剩=F－F1
根据牛顿第二定律，得，B正确。
【点评】本题关键是能想到用割补法求出挖出球后的A点的重力加速度，是割补法的基本应用。
类型三、天体表面重力加速度问题
例4.1990年5月，紫金山天文台将他们发现的第2752号小行星命名为吴健雄星，该小行星的半径为16km。若将此小行星和地球均看成质量分布均匀的球体，小行星密度与地球相同。已知地球半径R=6400km，地球表面重力加速度为g。这个小行星表面的重力加速度为（ ）
A.400g B. C.20g D.
【答案】B
【思路点拨】 此题属于天体表面重力加速度问题，需用黄金代换法求解。
【解析】质量分布均匀的球体的密度
地球表面的重力加速度：
吴健雄星表面的重力加速度：
故B选项正确。
【总结升华】对天体来说，可以认为重力等于万有引力。随着高度的增加重力加速度减小，物体所受的重力减小。
举一反三
【变式1】如果地球表面的重力加速度为g，物体在距地面3倍的地球半径时的重力加速度为g'。则二者之比是　　 。
A、1：91　　 B、9：1　　 C、1：16　　 D、16：1
【答案】D
【解析】距地面的高度为3R，则距地心为4R，根据万有引力公式有：
解上述方程得
【变式2】假定 Z星和地球都是球体。Z星质量和地球质量之比为p，Z星的半径与地球半径之比为q。那么离Z星表面高处的重力加速度和离地球表面高处的重力加速度之比等于多少？
【解析】因物体的重力来自万有引力，所以离Z星表面高处有：
可得：
同理可得：
故
类型四、天体质量、密度的计算
例5.月球绕地球转动的周期为T，轨道半径为r，地球半径为R，引力常量为G，请写出地球质量和地球密度的表达式。
【思路点拨】 本题属于计算天体质量问题，要考虑天体质量的计算公式和的应用。
【解析】地球对月球的万有引力提供月球绕地球运动的向心力，由
解得
地球密度
【总结升华】（1）利用这种方法可以比较精确地测出地球的质量和密度。（2）利用这种方法求解的是中心天体的质量，而不是绕中心天体运转的天体的质量。（3）这种通过可直接测量的量（轨道半径和周期），间接测量出原本无法直接测量的量的方法，是科学研究的重要方法。
举一反三
【万有引力定律的应用 例1】
【变式】一宇航员为了估测一星球的质量，他在该星球的表面做自由落体实验：让小球在离地面h高处自由下落，他测出经时间t小球落地，又已知该星球的半径为R，试估算该星球的质量。
【答案】
类型五、双星问题
例6、（2019 沈阳二中检测）如图，两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A、B运动的线速度大小分别为v1和v2，星球B与O点之间距离为L。已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧。引力常数为G。
/
（1）求两星球做圆周运动的周期。
（2）求星球A、B的总质量。
【解析】（1）A和B绕O做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供向心力，则A和B的向心力相等。且A和B和O始终共线，说明A和B有相同的角速度和周期。
v2=ωL ①
②
由①②得： ③
（2）设A、B两颗星球的质量分别为m1、m2，做圆周运动的半径分别为r1、r2。根据题意有：
ω1=ω2 r1+r2=r ④
根据万有引力定律和牛顿定律，有：
⑤
⑥
联立以上各式解得： ⑦
又 ⑧
由④⑦⑧得：
【总结升华】解决双星问题的关键，要抓住两点：（1）两星的角速度相同；（2）所需向心力的大小相等。
举一反三
【变式1】神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律。天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX-3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成。两星视为质点，不考虑其他天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示。引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率和运行周期T。
（1）可见星A所受暗星B的引力可等效为位于O点处质量为的星体（视为质点）对它的引力，设A和B的质量分别为，试求（用表示）
（2）求暗星B的质量与可见星A的速率、运行周期T、和质量之间的关系式。
/
【解析】（1）设A、B的圆轨道半径分别为，由题意知，A、B做匀速圆周运动的角速度相同，设其为。由牛顿运动定律，有，，
设A、B之间的距离为r,又，由上述各式得
由万有引力定律，有
令
比较可得
（2）由牛顿第二定律，有
又可见星A的轨道半径
综上可得
【万有引力的应用 例8】
【变式2】所谓“双星”，就是太空中有两颗质量分别为M1和 M2的恒星，保持它们之间的距离不变，以它们连线上的某一位置为圆心，各自作匀速圆周运动, 如图所示．不计其它星球对它们的作用力。则 ( )
A．它们运行的周期之比T1:T2＝M2:M1
B．它们的回转半径之比r1:r2==M2:M1
C．它们的线速度大小之比v1:v2=M2:M1
D．它们的向心加速度大小之比a1:a2=M2:M1
/
【答案】BCD
【巩固练习】
一、选择题：
1．关于万有引力定律应用于天文学研究的历史事实，下列说法中正确的是( )
A．天王星、海王星和冥王星，都是运用万有引力定律，经过大量计算以后而发现的
B．在l8世纪已经发现的7颗行星中，人们发现第七颗行星——天王星的运动轨道总是同根据万有引力定律计算出来的结果有比较大的偏差，于是有人推测，在天王星轨道外还有一颗行星，是它的存在引起了上述偏差
C．第八颗行星，是牛顿运用自己发现的万有引力定律，经过大量计算而发现的
D．冥王星是英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶合作研究后共同发现的
2．据媒体报道，“嫦娥一号”卫星环月工作轨道为圆轨道，轨道高度200 km，运行周期127分钟．若还知道引力常量和月球平均半径，仅利用以上条件不能求出的是( )
A．月球表面的重力加速度 B．月球对卫星的引力
C．卫星绕月运行的速度 D．卫星绕月运行的加速度
3．已知引力常量G＝6.67×N·m2/kg2，重力加速度g取9.8 m/s2，地球半径R＝6.4×106m，则可知地球质量的数量级是( )
A．1018 kg B．1020 kg C．1022 kg D．1024 kg
4、（2019 徐州模拟）某物体在地球表面，受到地球的万有引力F，若此物体受到的引力减小为，则距离地面的高度应为（R为地球的半径）（ ）
A．R B．2R C．4R D．8R
5.设想把质量为m的物体放在地球的中心，地球质量为M，半径为R，则物体与地球间的万有引力是（ ）
A．零 B．无穷大 C． D．无法确定
6.已知地球半径为R，将一物体从地面移到离地面高h处时，物体所受万有引力减少到原来的一半，则h为（ ）
A．R B．2R C． D．
7、（2019 江苏模拟）过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕，“51 peg b”绕其中兴恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的，该中心恒星与太阳的质量比约为（ ）
A． B．1 C．5 D．10
8、（2019 汕头市潮南区峡晖中学高三模拟）一行星绕恒星作圆周运动。由天文观测可得，其运动周期为T，速度为v，引力常量为G，则（ ）
A．恒星的质量为 B．行星的质量为
C．行星运动的轨道半径为 D．行星运动的加速度为
二、计算题：
1．两艘轮船，质量都是，相距，它们之间的万有引力是多大？将这个力与轮船所受的重力比较，看看相差多少？
2.已知太阳的质量为，地球的质量为，太阳和地球的平均距离为，太阳和地球之间的万有引力是多大？
3.把地球绕太阳公转看作匀速圆周运动，轨道平均半径约为，已知万有引力常量，则可估算出太阳的质量大约是多少kg？
4、（2019 老河口市第一中学高三期中考试）（1）“嫦娥一号”正在探测月球，若把月球和地球都视为质量均匀的球体，已知月球和地球的半径之比r1／r2=1／3.6，月球表面和地球表面的重力加速度之比g1／g2=1／6，根据以上数据及生活常识，试估算：分别绕月球和地球运行的同步卫星的轨道半径之比R1∶R2（结果可以保留根号）。
（2）若取月球半径r1=1.7×103 km，月球表面处重力加速度g1=1.6 m／s2，设想今后开发月球的需要而设法使月球表面覆盖一层一定厚度的大气层，使月球表面附近的大气压也等于p0=1.0×105 Pa，且大气层厚度比月球半径小得多，试估算应给月球表面添加的大气层的总质量M。（保留两位有效数字）
5.“黑洞”是爱因斯坦广义相对论中预言的一种特殊天体，它的密度极大，对周围的物质（包括光子）有极强的吸引力。根据爱因斯坦理论，光子是有质量的，光子到达黑洞表面时也将被吸入，最多恰能绕黑洞表面做圆周运动。根据天文观测，银河系中心可能有一个黑洞，距该黑洞远处的星体正以的速度绕它旋转。据此估算该黑洞的最大半径R是多少？（保留1位有效数字）
【答案与解析】
一、选择题：
B
解析：天王星是在1781年发现的，而卡文迪许测出引力常量是在1789年，在此之前人们还不能用万有引力定律做具有实际意义的计算，选项A错，选项B正确．太阳的第八颗行星是1846年发现的，而牛顿发现万有引力定律是1687年．选项C错．冥王星是英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶各自独立地利用万有引力定律计算出轨道位置，由德国的伽勒首先发现的，选项D错．
B
解析：设月球的质量为M，平均半径为R，月球表面的重力加速度为g，卫星的质量为m，周期为T，离月球表面的高度为h，月球对卫星的引力完全提供向心力，由万有引力定律知
， ①
在月球表面上有， ②
由①②可得．故选项A不正确；因为卫星的质量未知，故不能求出月球对卫星的引力．故选项B正确；卫星绕月运行的速度，故选项C错误；卫星绕月运行的加速度，故选项D错误．
D
解析：依据万有引力定律有： ①
而在地球表面，物体所受的重力约等于地球对物体的吸引力：F＝mg ②
解得：，
即地球质量的数量级是1024 kg，正确选项为D．
4、A
解析：根据万有引力定律的表达式得： ，其中r为物体到地球中心的距离，假设物体离地面高度为h，则，若引力变为原来的，因中心天体M不变，因此，故，所以物体距地面的高度为R。
5.A
解析：当两个物体间的距离r趋向零时，两个物体不能看作质点，万有引力定律不适用。物体放在地球的中心时，地球各个部分对物体都有引力，相互平衡，所以质量为m的物体所受的合力为零。
6.D
解析：根据题意有：，解得
点评：本题目的是让同学们更深刻地理解公式中的r指的是“两点间的距离”
7、B
解析：行星绕某一个恒星做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式为：，得 ，又因“51 peg b”绕其中兴恒星做匀速圆周运动的周期为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的，所以该中心恒星与太阳的质量比约为。
8、ACD
解析：根据圆周运动知识：由得到行星运动的轨道半径为，根据万有引力提供向心力：，得，故A正确；根据题意无法求出行星的质量，故B错误。通过以上分析，故C正确。根据得：行星运动的加速度为，故D正确。故选ACD。
二、计算题：
1.解析：可以将轮船看作质点，根据万有引力定律
而重力大小
它们的比值
2.
解析：根据万有引力定律有：
3.
解析：地球绕太阳公转的周期为365天，故周期
万有引力提供向心力，故太阳质量
4、
解析：（1）设月球质量为M1，地球质量为M2，则质量为m的物体分别在月球和地球表面时的重力与万有引力相等，有：
，
又由于，
月球自转周期T1=30天，地球自转周期T2=1天，由万有引力提供向心力，有：

解得：
（2）月球表面大气压强产生的向上的压力与大气层的重力使大气层平衡，则：
Mg1=p04π4r12
解得：
5.
解析：设黑洞的半径为R，质量为M，光子的质量为m，光速为；星体的质量为，速度为。
对光子：
得黑洞质量： ①
对星体：
得黑洞质量： ②
由①②可得
解得