人教版高中物理必修二讲义资料，复习补习资料：66万有引力定律复习与巩固(基础)
文档属性
| 名称 | 人教版高中物理必修二讲义资料，复习补习资料：66万有引力定律复习与巩固(基础) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 508.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 物理 | ||
| 更新时间 | 2019-11-24 16:22:14 | ||
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文档简介
万有引力定律复习与巩固 基础
【学习目标】
1．理解人造卫星的运动规律
2．理解天体问题的处理方法
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、开普勒行星运动三定律
1.开普勒第一定律
所有的行星围绕太阳运动的轨迹都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。
2.开普勒第二定律
行星与太阳的连线在相同的时间内扫过的面积相等。
3.开普勒第三定律
所有行星的轨道的半长轴的三次方与公转周期的二次方的比值都相等，即
要点二、万有引力定律
要点诠释：
1、万有引力定律
自然界中的任何两个物体都是相互吸引的，引力的方向沿两物体的连线，引力的大小F跟它们的质量乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比。
2、公式
，G=6.67×10-11N·m2/kg2
3、关于万有引力定律的说明
(1)万有引力存在于任何两个物体之间。只不过一般物体的质量与星球相比过于小了，它们之间的万有引力也非常小，完全可以忽略不计。
(2)万有引力定律中的距离r，其含义是两个质点间的距离。两个物体相距很远，则物体一般可以视为质点。但如果是规则形状的均匀物体相距较近，则应把r理解为它们的几何中心的距离。例如物体是两个球体，r就是两个球心间的距离。
(3)万有引力是因为物体有质量而产生的引力。从万有引力定律可以看出，物体间的万有引力由相互作用的两个物体的质量决定，所以质量是万有引力的产生原因。
4、引力恒量的测定
牛顿发现了万有引力定律，却没有给出引力恒量的数值。由于一般物体间的引力非常小，用实验测定极其困难。直到一百多年之后，才由英国的卡文迪许用精巧的扭秤测出。
卡文迪许解决问题的思路是：将不易观察的微小变化量，转化为容易观察的显著变化量，再根据显著变化量与微小量的关系，算出微小变化量。
卡文迪许在测定引力恒量的同时，也证明了万有引力定律的正确性。
要点二、万有引力定律的应用
要点诠释：
1、讨论重力加速度g随离地面高度h的变化情况
物体的重力近似为地球对物体的引力，即。所以重力加速度，可见，g随h的增大而减小。
2、求天体的质量、密度
（1）通过观测天体卫星运动的周期T和轨道半径r，就可以求出天体的质量。
根据天体做圆周运动的向心力是由万有引力提供有：
解得，M是位于圆心处天体的质量。
再根据可得天体的密度
（2）通过天体表面的重力加速度g和天体的半径R，也可以求出天体的质量。
根据重力和万有引力近似相等，可得，则
要点三、宇宙航行
1、求解卫星的有关问题
根据万有引力等于卫星做圆周运动的向心力可求卫星的速度、周期等状态量。
由得
由得
由得
2、三种宇宙速度
①第一宇宙速度v1=7.9Km/s，人造卫星的最小发射速度，但是人造卫星运行起来以后的最大运行速度；
②第二宇宙速度v2=11.2km/s，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度；
③第三宇宙速度v3=16.7km/s，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。
3、地球同步卫星
地球同步卫星的基本特征：
（1）周期为地球自转的周期
（2）轨道在赤道平面内，圆心为地心
（3）运动的角速度与地球自转的角速度相同
（4）高度一定，运行速度一定
【典型例题】
类型一、万有引力与重力的关系及重力加速度的求解
例1、火星的半径为地球半径的一半，火星质量约为地球质量的，则火星表面的重力加速度是地球表面重力加速度的多少倍？
【答案】
【解析】忽略重力与万有引力的差别，则
在地球表面上：
在火星表面上：，
所以。
即火星表面的重力加速度是地球表面重力加速度的倍。
【总结升华】比例法解决问题是这一章常见的题目类型，希望同学们体会解决思路：先寻找问题思路，找出求解通式。然后写出不同星球满足的个式，最后比例求解。
举一反三
【变式1】半径是地球的3倍，质量是地球36倍的行星，它表面的重力加速度是地球表面重力加速度的：（ ）
A、6倍 B、18倍 C、4倍 D、72倍
【答案】C
【解析】在地球表面上：
在行星表面上：，
所以
【变式2】（2019 如皋校级模拟）假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体，一矿井深度为d，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，矿井底部和地面的重力加速度大小之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令地球密度为，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，即：，可得地球的质量为：，所以重力加速度的表达式可写成：；
由题意知，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，故在深度为d的井底，受到地球的万有引力即为半径等于（R-d）的球体在其表面产生的万有引力，因此井底的重力加速度，故有
例2、一物体在地球表面重16N，它在以的加速度加速上升的火箭中的视重为9N，则此火箭离地球表面距离为地球半径的（ ）（g=10m/s2）
A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．
【思路点拨】在加速上升的火箭上，物体应该处于超重状态，但是，物体重力的测量值却是9N，可见，物体真实的重力发生变化。思考原因，是火箭所在位置的重力加速度发生变化，而引起重力加速度发生变化的原因是高度发生变化，所以要考虑这一因素。
【答案】B
【解析】分析物体受力情况如图，设当地重力重力加速度为，由牛顿第二定律可得：
其中是重力的测量值，代入数据则解得：
如果火箭所处高度为，物体在该处的重力满足：
在地球表面重力满足：
由上可得：
代入数据，解得：
【总结升华】关于高空重力加速度与地表加速度的关系式可以作为一个二级结论记住，可以为我们带来方便。当然在解题时，还是要推导的，但是，可以简化了思路。
举一反三
【变式1】离地面某一高度处的重力加速度是地球表面重力加速度的一半，则高度是地球半径的：（ ）
A、倍 B、1/2倍 C、4倍 D、2倍
【答案】A
【解析】，解得
【变式2】宇宙飞船正在离地面高h等于地球半径R的轨道上做匀速圆周运动，飞船内一弹簧秤下悬挂一质量为m的物体，g 为地面处的重力加速度，则弹簧秤的读数为：（ ）
A、mg B、mg/2 C、mg/4 D、0
【答案】D
【解析】注意重力的测量值是会变化的，这里物体处于完全失重状态，可直接得到结论。
例3、宇航员在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球。经过时间小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为。若抛出时初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为多少？已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为，万有引力常数为G。求该星球的质量M。
【解析】设抛出点的高度为h，第一次平抛的水平射程为，则有
由平抛运动规律得知，当初速度增大到2倍时，其水平射程也增大到，可得
设该星球上的重力加速度为g，由平抛运动的规律得：
由万有引力定律与牛顿第二定律得：
联立以上各式解得
【总结升华】有关万有引力的题目，通常有两个思路：（1）地球表面重力与万有引力近似相等，即
，推出是常用的一个结论。类推：若物体在距地面h的高空，，可以理解为物体在距地面h的高空受到的万有引力产生的加速度。（2）天体运动的向心力由万有引力提供，即：
类型二、用万有引力定律求天体的质量和密度
例4、把地球绕太阳公转看作匀速圆周运动，轨道平均半径约为1.5×108 km，已知万有引力常量G=6.67×10－11 N·m2 / kg2，则可估算出太阳的质量大约是多少千克？（结果取一位有效数字）
【解析】题干给出地球轨道半径r=1.5×108 km，虽没直接给出地球运转周期的数值，但日常知识告诉我们，地球绕太阳公转一周为365天，故周期
T=365×24×3600 s=3.2×107 s。
万有引力提供向心力，即 ，
故太阳质量
【总结升华】①在一些天体运动方面的估算题中，常存在一些隐含条件，应加以利用。如在地球表面物体受到地球的引力近似等于其重力。地面附近的重力加速度g=9.8 m / s2；地球自转周期T=24 h，公转周期T=365天；月球绕地球运动的周期约为27天等。
②本方法利用卫星运动的有关参量（如r、T），求出的质量M是中心天体的，而不是卫星本身的质量m，同学们应切记这一点。
③本题要求结果保留一位有效数字，有效数字运算规则告诉我们：在代入数据运算时，只要按四舍五入的方法代入两位（比要求多保留一位）有效数字即可，这样可避免无意义的冗长计算，最后在运算结果中，再按四舍五入保留到所要求的一位即可，望同学们体会运用。
通过观测天体表面运动卫星的周期T，，就可以求出天体的密度ρ。
例5、一均匀球体以角速度ω绕自己的对称轴自转，若维持球体不被瓦解的唯一作用力是万有引力，则此球的最小密度是多少？
【思路点拨】受到万有引力作用，还有可能瓦解，唯一的原因就是星球的自转引起的。自转角速度过大，则星球表面物体会有离心的趋势而导致瓦解。
【解析】地表物体会因星球自转而瓦解，首先瓦解的必然是赤道表面的物体。那么，以赤道表面的某一物体为研究对象，受力如图所示。正常维持的情况下，物体会随星球做匀速圆周运动。所以满足：
这里R为球体半径，设星球质量为M，从方程中可以推测，当自转角速度增大，必然会导致物体对地表的压力变小，当角速度增大到某一临界值时，对地面压力，这就是物体离心瓦解的临界状态。
计算临界值：， 所以
而
要维持球体不被瓦解，则
所以
则，即此球的最小密度为。
【总结升华】（1）注意题中的即是我们常说的重力值，当自转角速度增大，则会减小，到临界角速度时，物体的重力变为0，即物体会漂浮在空中。
（2）我们要学会发展、变化的思考方法。这里，我们把角速度做为一个变量来思考，才是我们搞清问题本质的关键。
举一反三
【变式】如果某行星有一颗卫星沿非常靠近此恒星的表面做匀速圆周运动的周期为T，则可估算此恒星的密度为多少?
【答案】
【解析】设此恒星的半径为R，质量为M，由于卫星做匀速圆周运动，则有
所以
而恒星的体积
所以恒星的密度。
例6、（2019 黑龙江模拟）假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为，在赤道上的大小为；地球自转周期为T，引力常量为G。地球的密度（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在地球两极处：；在赤道处：，故，则
【总结升华】解决此题的关键明确地球表面的物体所受的万有引力与重力的区别，在地球表面的物体所受的重力随纬度的不同而不同。在地球两极所受的重力大，赤道处所受重力小。
举一反三
【变式】中国紫金山天文台将1965年9月20日发现的第2752号小行星命名为吴健雄星。其直径2R=32km。如该小行星的密度和地球密度相同，则对该小行星而言，第一宇宙速度为多少？（已知地球半径为R0=6400km，地球的第一宇宙速度V18 km/s）
【答案】
【解析】第一宇宙速度，所以
对吴健雄星：
对地球：
两式相比： 所以
类型三、求解天体运动问题
例7、人造地球卫星围绕地球做匀速圆周运动，下列说法中正确的是：（ ）
A、在卫星内将重物体挂在弹簧秤上，弹簧秤的示数为零，但重物体仍受到地球的引力
B、卫星距地高度越大，运行速度越小
C、卫星距地高度越大，运行周期越小
D、卫星距地高度越大，运行角速度越大
【答案】AB
【解析】天体运动近似看成匀速圆周运动，其向心力都来源于万有引力，即
。
由此得出 ，即线速度；
，即角速度；
，即周期；，即向心加速度。
由此可见，越近的卫星运行的越快，越远的卫星，运行的越慢。所以AB正确。
【总结升华】①卫星环绕半径r与该轨道上的线速度v、角速度ω、周期T、向心加速度a存在一一对应关系，一旦r确定，则v、ω、T、a皆确定，与卫星的质量m无关。②对于环绕地球运动的卫星，若半径r增大，其周期T变大，线速度v、角速度ω、向心加速度a变小；若半径r减小，其周期T变小，线速度v、角速度ω、向心加速度a变大。
举一反三
【变式】某年，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东红一号”发射成功，开创了我国航天事业的新纪元。“东方红一号”的运行轨道为椭圆轨道，其近地点M和远地点N的高度分别为439km和2384km，则（ ）
A.卫星在M点的引力大于N点的引力
B.卫星在M点的角速度大于N点的角速度
C.卫星在M点的加速度大于N点的加速度
D.卫星在N点的速度大于7.9km/s
【答案】ABC
【解析】这里卫星只受万有引力的作用，而万有引力与离地心距离有关，所以A正确；近处速度快，相应的角速度也大，所以B正确；加速度是万有引力产生的，所以C正确；注意这是一个椭圆轨道，与贴近地球表面的圆轨道相比，其半长轴要比地球半径大，所以N点速度自然也小雨第一宇宙速度，D错。
【总结升华】椭圆轨道之间的比较要看半长轴的大小，同时，还要注意，卫星在椭圆轨道上运行时，从近地点想远地点运动时，万有引力与速度方向夹角是钝角，万有引力起减速作用，卫星的速度减小，反之，从远地点想近地点运动，则卫星做加速运动。
例8、一颗在地球赤道上空绕地球运转的同步卫星，距地面高度为，已知地球半径为R，自转周期为T，地面重力加速度为，则这颗卫星运转的速度大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】 ABC
【解析】由圆周运动的线速度公式可知，A正确。
对于卫星线速度的求解有两个基本思路，一是根据万有引力充当圆周运动的向心力，建立动力学方程求解，有：
则
根据黄金替换式则：
所以B正确。
对于CD选项中会出现根式三次方，那肯定是由下面方程才能出现：
从方程中解得根据黄金替换式则：
把轨道半径代入线速度公式则：所以C正确。
【总结升华】这里出现多项选择，主要是求解的多种思路引起的，所以必须熟悉各种求解思路。比如还可以这样求解：，得，又因为同步轨道处的重力加速度与地球表面的重力加速度的关系有：所以，化简后得：
举一反三
【变式1】地球半径为R，地面的重力加速度为g，某卫星距地面的高度也为R，设卫星做匀速圆周运动，下列说法正确的是（ ）
A．卫星的线速度为 B．卫星的角速度为
C．卫星的加速度为 D．卫星的周期为
【答案】 AB
【解析】由线速度公式，再由黄金替换式代入，则，A正确；代入角速度公式，得出：；由公式，所以C错；代入周期公式，可知，所以D错。
【变式2】已知第一宇宙速度近似为8 km/s，如果一颗人造地球卫星离地面的高度等于地球的半径，则它
围绕地球运行的速率为：（ ）
A．4km/s B．4km/s C．2km/s D．22km/s
【答案】C
【变式3】某人在某一个星球上以速率V0竖直上抛一个物体，经t秒落回手中。已知该星球的半径为R，
若要在该星球上发射一颗围绕该星球运转的人造卫星，其线速度为：（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由第一宇宙速度公式：，又星球表面的重力加速度，代入前式，则，所以C正确。
类型四、卫星变轨问题
例9、发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步轨道3。轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，如图所示。则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是（ ）
A．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率
B．卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度
C．卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它的轨道2上经过Q点时的加速度
D．卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度
【答案】BD
【解析】卫星做匀速圆周运动所需的向心力，是地球给卫星的万有引力提供的，即，所以，。
据此得出A是错误的，B是正确的。
在轨道上某点的加速度是由地球给卫星的万有引力产生的，即，所以在同一点是相等的，故D是正确的。
【总结升华】当卫星在不同轨道上同一点运行时，速度是不相等的。卫星在轨道1上做圆周运动，如果在Q点速度变大，万有引力不足以提供向心力，则卫星可能变轨到轨道2上。同理在轨道2上的P点加速时，可能变轨到轨道3上，但是在同一点万有引力相同，故加速度是相同的。
例10、某同学阅读了“火星的现在、地球的未来”一文,摘录了以下资料:
①根据目前被科学界普遍接受的宇宙大爆炸学说可知,万有引力在极其缓慢地减小.
②太阳几十亿年来一直不断地在通过发光、发热释放能量.
③金星和火星是地球的两位近邻,金星位于地球圆轨道的内侧,火星位于地球圆轨道的外侧.
④由于火星与地球的自转周期几乎相同,自转轴与公转轨道平面的倾角也几乎相同,所以火星上也有四季变化.
根据该同学摘录的资料和有关天体运动规律,可推断… ( )
A.太阳对地球的引力在缓慢减小
B.太阳对地球的引力在缓慢增加
C.火星上平均每个季节持续的时间等于3个月
D.火星上平均每个季节持续的时间大于3个月
【答案】 AD
【解析】 太阳不断地发光发热，太阳的质量在减小，由可知,太阳对地球的引力在缓慢减小，A正确，B错误；由得：，火星位于地球圆轨道外侧，半径大，周期大，因此火星上平均每个季节持续的时间大于3个月，C错误，D正确。
类型五、多星系统
例11、（2019 沈阳二中检测）如图，两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A、B运动的线速度大小分别为v1和v2，星球B与O点之间距离为L。已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧。引力常数为G。
（1）求两星球做圆周运动的周期。
（2）求星球A、B的总质量。
【解析】（1）A和B绕O做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供向心力，则A和B的向心力相等。且A和B和O始终共线，说明A和B有相同的角速度和周期。
v2=ωL ①
②
由①②得： ③
（2）设A、B两颗星球的质量分别为m1、m2，做圆周运动的半径分别为r1、r2。根据题意有：
ω1=ω2 r1+r2=r ④
根据万有引力定律和牛顿定律，有：
⑤
⑥
联立以上各式解得： ⑦
又 ⑧
由④⑦⑧得：
【总结升华】解决双星问题的关键，要抓住两点：（1）两星的角速度相同；（2）所需向心力的大小相等。
举一反三
【变式】神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律。天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX-3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成。两星视为质点，不考虑其他天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示。引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率和运行周期T。
（1）可见星A所受暗星B的引力可等效为位于O点处质量为的星体（视为质点）对它的引力，设A和B的质量分别为，试求（用表示）
（2）求暗星B的质量与可见星A的速率、运行周期T、和质量之间的关系式。
【解析】（1）设A、B的圆轨道半径分别为、，由题意知，A、B做匀速圆周运动的角速度相同，设其为。由牛顿运动定律，有，，
设A、B之间的距离为r,又，由上述各式得
由万有引力定律，有
令
比较可得
（2）由牛顿第二定律，有
又可见星A的轨道半径
综上可得
【巩固练习】
一、选择题：
1.关于万有引力定律和引力常量的发现，下列说法中哪个是正确的（ ）
A．万有引力定律是由开普勒发现的，而引力常量是由伽利略测定的
B．万有引力定律是由开普勒发现的，而引力常量是由卡文迪许测定的
C．万有引力定律是由牛顿发现的，而引力常量是由胡克测定的
D．万有引力定律是由牛顿发现的，而引力常量是由卡文迪许测定的
2、（2019 徐州模拟）某物体在地球表面，受到地球的万有引力F，若此物体受到的引力减小为，则距离地面的高度应为（R为地球的半径）（ ）
A．R B．2R C．4R D．8R
3.宇宙飞船绕地球做匀速圆周运动，飞船原来的线速度为，周期为。假设在某时刻飞船向后喷气做加速度运动后，进入新的轨道做匀速圆周运动，此时运动的线速度为，周期为，则（ ）
A． B． C． D．
4.某行星的质量是地球质量的6倍，半径是地球半径的1.5倍，则此行星上的第一宇宙速度约为（ ）
A． B． C． D．
5.人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，其速率为（ ）
A．一定等于 B．等于或小于
C．一定大于 D．介于7.9与之间
6．一艘宇宙飞船在一个不知名的行星表面上空沿圆形轨道运行。要测定行星的密度，只需要测定（ ）
A. 飞船的环绕速度 B. 行星的质量 C. 飞船的环绕半径 D.飞船的环绕周期
7、（2019 汕头市潮南区峡晖中学高三模拟）一行星绕恒星作圆周运动。由天文观测可得，其运动周期为T，速度为v，引力常量为G，则（ ）
A．恒星的质量为 B．行星的质量为
C．行星运动的轨道半径为 D．行星运动的加速度为
8.同步卫星位于赤道上方，相对地面静止不动。若地球半径为R，自转角速度为，地球表面的重力加速度为，则同步卫星离地面的高度为（ ）
A． B． C． D．
9.如图所示，有A、B两个行星绕同一恒星Ｏ做圆周运动，运转方向相同，A行星的周期为，B行星的周期为，在某一时刻两行星第一次相遇（即两行星相距最近），则（ ）
A．经过时间，两行星将第二次相遇
B．经过时间，两行星将第二次相遇
C．经过时间，两行星将第一次相距较远
D．经过时间，两行星将第一次相距最远
10、（2019 江苏模拟）过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕，“51 peg b”绕其中兴恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的，该中心恒星与太阳的质量比约为（ ）
A． B．1 C．5 D．10
11．如图是“嫦娥一号奔月”示意图，卫星发射后通过自带的小型火箭多次变轨，进入地月转移轨道，最终被月球引力捕获，成为绕月卫星，并开展对月球的探测。下列说法正确的是（ ）
A．发射“嫦娥一号”的速度必须达到第三宇宙速度
B．在绕月圆轨道上，卫星周期与卫星质量有关
C．卫星受月球的引力与它到月球中心距离的平方成反比
D．在绕月圆轨道上，卫星受地球的引力大于受月球的引力
12、（2019 天津模拟）、为相距遥远的两颗行星，距各自表面相同高处各有一颗卫星、做匀速圆周运动。图中纵坐标表示行星对周围空间各处物体的引力产生的加速度a，横坐标表示物体到行星中心的距离r的平方，两条曲线分别表示、周围的a与的反比关系，它们左端点横坐标相同，则（ ）
A．的平均密度比的大 B．的“第一宇宙速度”比的小
C．的向心加速度比的大 D．的公转周期比的大
13．在轨道上运行的人造地球卫星，若卫星上的天线突然折断，则天线将 ( )
A．做自由落体运动 B．做平抛运动
C．和卫星一起绕地球在同一轨道上运行 D．由于惯性沿轨道切线方向做直线运动
14．人造地球卫星由于受太空稀薄气体的阻力，轨道半径逐渐减小，其相应的线速度和周期的变化情况为 ( )
A．线速度增大，周期增大 B．线速度增大，周期减小
C．线速度减小，周期增大 D．线速度减小，周期减小
二、解答题：
15．天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。双星系统在银河系中很普遍。利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量。已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T，两颗恒星之间的距离为r，试推算这个双星系统的总质量。（引力常量为G）
16、（2019 老河口市第一中学高三期中考试）（1）“嫦娥一号”正在探测月球，若把月球和地球都视为质量均匀的球体，已知月球和地球的半径之比r1／r2=1／3.6，月球表面和地球表面的重力加速度之比g1／g2=1／6，根据以上数据及生活常识，试估算：分别绕月球和地球运行的同步卫星的轨道半径之比R1∶R2（结果可以保留根号）。
（2）若取月球半径r1=1.7×103 km，月球表面处重力加速度g1=1.6 m／s2，设想今后开发月球的需要而设法使月球表面覆盖一层一定厚度的大气层，使月球表面附近的大气压也等于p0=1.0×105 Pa，且大气层厚度比月球半径小得多，试估算应给月球表面添加的大气层的总质量M。（保留两位有效数字）
【答案与解析】
一、选择题：
1.D
解析：万有引力定律是由牛顿发现的，而引力常量是由卡文迪许测定的，故D选项正确。
2、A
解析：根据万有引力定律的表达式得： ，其中r为物体到地球中心的距离，假设物体离地面高度为h，则，若引力变为原来的，因中心天体M不变，因此，故，所以物体距地面的高度为R。
3.B
解析：宇宙飞船绕地球做圆周运动时，完全由万有引力提供向心力，即。
得：，
飞船向后喷气后，速度变大，所需的向心力变大，而万有引力不足以完全提供做圆周运动的向心力，飞船做远离地心的离心运动，半径增大。在新的轨道上，亦有。
由上分析可知，飞船加速后半径增大，线速度减小，周期变大。
4.A
解析：根据第一宇宙速度，故此行星上的第一宇宙速度约为，选项A正确。
5.B
解析：人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动的速率最大是，所以其速率等于或小于，故B选项正确。
6.D
解析：根据，可知只需测周期T即可。故D选项正确。
7、ACD
解析：根据圆周运动知识：由得到行星运动的轨道半径为，根据万有引力提供向心力：，得，故A正确；根据题意无法求出行星的质量，故B错误。通过以上分析，故C正确。根据得：行星运动的加速度为，故D正确。故选ACD。
8.C
解析：同步卫星运行时，卫星与地球的万有引力提供向心力，即，其中m为卫星质量，M为地球质量。设地面上有一个质量为的小物体，此小物体受到的万有引力与重力近似相等，有，所以卫星离地面高度为。故C选项正确。
9.BD
解析：由，可知，则在时间t内，A比B多转一圈时，两者第二次相遇，即第二次相遇时有，B选项正确；
在时间t内，A比B多转半圈时，两者第一次相距最远，即第一次相距最远时有
，D选项正确。
10、B
解析：行星绕某一个恒星做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式为：，得 ，又因“51 peg b”绕其中兴恒星做匀速圆周运动的周期为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的，所以该中心恒星与太阳的质量比约为。
11．C
解析：“嫦娥一号”要想脱离地球的束缚而成为月球的卫星，其发射速度必须达到第二宇宙速度，若发射速度达到第三宇宙速度，“嫦娥一号”将脱离太阳系的束缚，故选项A错误；在绕月球运动时，月球对卫星的万有引力完全提供向心力，则，，即卫星周期与卫星的质量无关，故选项B错误；卫星所受月球的引力，故选项C正确；在绕月圆轨道上，卫星受地球的引力小于受月球的引力，故选项D错误。
12、AC
解析：根据牛顿第二定律，行星对周围空间各处物体的引力产生的加速度为：，因图中左端点横坐标相同，所以、的半径相等，而纵坐标引力产生的加速度大于引力产生的加速度，因此的质量大于的质量，有由，所以的平均密度大于的平均密度，A对；第一宇宙速度，所以的“第一宇宙速度”比的大，B错；因、距各自行星表面相同高处，即、的轨道半径相等，根据，所以的向心加速度比的大，故C正确；由，所以的公转周期比的小，故D错。
13.C
解析：折断的天线由于惯性而具有卫星原来的速度，在地球引力作用下继续在原轨道上运行。
14.B
解析：由，可得正确答案B正确。
二、解答题：
15．
解析：设两颗恒星的质量分别为m1、m2，做圆周运动的半径分别为r1、r2，角速度分别为ω1、ω2。根据题意有ω1=ω2 ①
r1+r2=r ②
根据万有引力定律和牛顿运动定律，有
③
④
联立以上各式解得 ⑤
根据角速度与周期的关系知 ⑥
联立②⑤⑥式解得 ⑦
16、解析：（1）设月球质量为M1，地球质量为M2，则质量为m的物体分别在月球和地球表面时的重力与万有引力相等，有：
，
又由于，
月球自转周期T1=30天，地球自转周期T2=1天，由万有引力提供向心力，有：
解得：
（2）月球表面大气压强产生的向上的压力与大气层的重力使大气层平衡，则：
Mg1=p04π4r12
解得：
【学习目标】
1．理解人造卫星的运动规律
2．理解天体问题的处理方法
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、开普勒行星运动三定律
1.开普勒第一定律
所有的行星围绕太阳运动的轨迹都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。
2.开普勒第二定律
行星与太阳的连线在相同的时间内扫过的面积相等。
3.开普勒第三定律
所有行星的轨道的半长轴的三次方与公转周期的二次方的比值都相等，即
要点二、万有引力定律
要点诠释：
1、万有引力定律
自然界中的任何两个物体都是相互吸引的，引力的方向沿两物体的连线，引力的大小F跟它们的质量乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比。
2、公式
，G=6.67×10-11N·m2/kg2
3、关于万有引力定律的说明
(1)万有引力存在于任何两个物体之间。只不过一般物体的质量与星球相比过于小了，它们之间的万有引力也非常小，完全可以忽略不计。
(2)万有引力定律中的距离r，其含义是两个质点间的距离。两个物体相距很远，则物体一般可以视为质点。但如果是规则形状的均匀物体相距较近，则应把r理解为它们的几何中心的距离。例如物体是两个球体，r就是两个球心间的距离。
(3)万有引力是因为物体有质量而产生的引力。从万有引力定律可以看出，物体间的万有引力由相互作用的两个物体的质量决定，所以质量是万有引力的产生原因。
4、引力恒量的测定
牛顿发现了万有引力定律，却没有给出引力恒量的数值。由于一般物体间的引力非常小，用实验测定极其困难。直到一百多年之后，才由英国的卡文迪许用精巧的扭秤测出。
卡文迪许解决问题的思路是：将不易观察的微小变化量，转化为容易观察的显著变化量，再根据显著变化量与微小量的关系，算出微小变化量。
卡文迪许在测定引力恒量的同时，也证明了万有引力定律的正确性。
要点二、万有引力定律的应用
要点诠释：
1、讨论重力加速度g随离地面高度h的变化情况
物体的重力近似为地球对物体的引力，即。所以重力加速度，可见，g随h的增大而减小。
2、求天体的质量、密度
（1）通过观测天体卫星运动的周期T和轨道半径r，就可以求出天体的质量。
根据天体做圆周运动的向心力是由万有引力提供有：
解得，M是位于圆心处天体的质量。
再根据可得天体的密度
（2）通过天体表面的重力加速度g和天体的半径R，也可以求出天体的质量。
根据重力和万有引力近似相等，可得，则
要点三、宇宙航行
1、求解卫星的有关问题
根据万有引力等于卫星做圆周运动的向心力可求卫星的速度、周期等状态量。
由得
由得
由得
2、三种宇宙速度
①第一宇宙速度v1=7.9Km/s，人造卫星的最小发射速度，但是人造卫星运行起来以后的最大运行速度；
②第二宇宙速度v2=11.2km/s，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度；
③第三宇宙速度v3=16.7km/s，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。
3、地球同步卫星
地球同步卫星的基本特征：
（1）周期为地球自转的周期
（2）轨道在赤道平面内，圆心为地心
（3）运动的角速度与地球自转的角速度相同
（4）高度一定，运行速度一定
【典型例题】
类型一、万有引力与重力的关系及重力加速度的求解
例1、火星的半径为地球半径的一半，火星质量约为地球质量的，则火星表面的重力加速度是地球表面重力加速度的多少倍？
【答案】
【解析】忽略重力与万有引力的差别，则
在地球表面上：
在火星表面上：，
所以。
即火星表面的重力加速度是地球表面重力加速度的倍。
【总结升华】比例法解决问题是这一章常见的题目类型，希望同学们体会解决思路：先寻找问题思路，找出求解通式。然后写出不同星球满足的个式，最后比例求解。
举一反三
【变式1】半径是地球的3倍，质量是地球36倍的行星，它表面的重力加速度是地球表面重力加速度的：（ ）
A、6倍 B、18倍 C、4倍 D、72倍
【答案】C
【解析】在地球表面上：
在行星表面上：，
所以
【变式2】（2019 如皋校级模拟）假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体，一矿井深度为d，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，矿井底部和地面的重力加速度大小之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令地球密度为，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，即：，可得地球的质量为：，所以重力加速度的表达式可写成：；
由题意知，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，故在深度为d的井底，受到地球的万有引力即为半径等于（R-d）的球体在其表面产生的万有引力，因此井底的重力加速度，故有
例2、一物体在地球表面重16N，它在以的加速度加速上升的火箭中的视重为9N，则此火箭离地球表面距离为地球半径的（ ）（g=10m/s2）
A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．
【思路点拨】在加速上升的火箭上，物体应该处于超重状态，但是，物体重力的测量值却是9N，可见，物体真实的重力发生变化。思考原因，是火箭所在位置的重力加速度发生变化，而引起重力加速度发生变化的原因是高度发生变化，所以要考虑这一因素。
【答案】B
【解析】分析物体受力情况如图，设当地重力重力加速度为，由牛顿第二定律可得：
其中是重力的测量值，代入数据则解得：
如果火箭所处高度为，物体在该处的重力满足：
在地球表面重力满足：
由上可得：
代入数据，解得：
【总结升华】关于高空重力加速度与地表加速度的关系式可以作为一个二级结论记住，可以为我们带来方便。当然在解题时，还是要推导的，但是，可以简化了思路。
举一反三
【变式1】离地面某一高度处的重力加速度是地球表面重力加速度的一半，则高度是地球半径的：（ ）
A、倍 B、1/2倍 C、4倍 D、2倍
【答案】A
【解析】，解得
【变式2】宇宙飞船正在离地面高h等于地球半径R的轨道上做匀速圆周运动，飞船内一弹簧秤下悬挂一质量为m的物体，g 为地面处的重力加速度，则弹簧秤的读数为：（ ）
A、mg B、mg/2 C、mg/4 D、0
【答案】D
【解析】注意重力的测量值是会变化的，这里物体处于完全失重状态，可直接得到结论。
例3、宇航员在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球。经过时间小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为。若抛出时初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为多少？已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为，万有引力常数为G。求该星球的质量M。
【解析】设抛出点的高度为h，第一次平抛的水平射程为，则有
由平抛运动规律得知，当初速度增大到2倍时，其水平射程也增大到，可得
设该星球上的重力加速度为g，由平抛运动的规律得：
由万有引力定律与牛顿第二定律得：
联立以上各式解得
【总结升华】有关万有引力的题目，通常有两个思路：（1）地球表面重力与万有引力近似相等，即
，推出是常用的一个结论。类推：若物体在距地面h的高空，，可以理解为物体在距地面h的高空受到的万有引力产生的加速度。（2）天体运动的向心力由万有引力提供，即：
类型二、用万有引力定律求天体的质量和密度
例4、把地球绕太阳公转看作匀速圆周运动，轨道平均半径约为1.5×108 km，已知万有引力常量G=6.67×10－11 N·m2 / kg2，则可估算出太阳的质量大约是多少千克？（结果取一位有效数字）
【解析】题干给出地球轨道半径r=1.5×108 km，虽没直接给出地球运转周期的数值，但日常知识告诉我们，地球绕太阳公转一周为365天，故周期
T=365×24×3600 s=3.2×107 s。
万有引力提供向心力，即 ，
故太阳质量
【总结升华】①在一些天体运动方面的估算题中，常存在一些隐含条件，应加以利用。如在地球表面物体受到地球的引力近似等于其重力。地面附近的重力加速度g=9.8 m / s2；地球自转周期T=24 h，公转周期T=365天；月球绕地球运动的周期约为27天等。
②本方法利用卫星运动的有关参量（如r、T），求出的质量M是中心天体的，而不是卫星本身的质量m，同学们应切记这一点。
③本题要求结果保留一位有效数字，有效数字运算规则告诉我们：在代入数据运算时，只要按四舍五入的方法代入两位（比要求多保留一位）有效数字即可，这样可避免无意义的冗长计算，最后在运算结果中，再按四舍五入保留到所要求的一位即可，望同学们体会运用。
通过观测天体表面运动卫星的周期T，，就可以求出天体的密度ρ。
例5、一均匀球体以角速度ω绕自己的对称轴自转，若维持球体不被瓦解的唯一作用力是万有引力，则此球的最小密度是多少？
【思路点拨】受到万有引力作用，还有可能瓦解，唯一的原因就是星球的自转引起的。自转角速度过大，则星球表面物体会有离心的趋势而导致瓦解。
【解析】地表物体会因星球自转而瓦解，首先瓦解的必然是赤道表面的物体。那么，以赤道表面的某一物体为研究对象，受力如图所示。正常维持的情况下，物体会随星球做匀速圆周运动。所以满足：
这里R为球体半径，设星球质量为M，从方程中可以推测，当自转角速度增大，必然会导致物体对地表的压力变小，当角速度增大到某一临界值时，对地面压力，这就是物体离心瓦解的临界状态。
计算临界值：， 所以
而
要维持球体不被瓦解，则
所以
则，即此球的最小密度为。
【总结升华】（1）注意题中的即是我们常说的重力值，当自转角速度增大，则会减小，到临界角速度时，物体的重力变为0，即物体会漂浮在空中。
（2）我们要学会发展、变化的思考方法。这里，我们把角速度做为一个变量来思考，才是我们搞清问题本质的关键。
举一反三
【变式】如果某行星有一颗卫星沿非常靠近此恒星的表面做匀速圆周运动的周期为T，则可估算此恒星的密度为多少?
【答案】
【解析】设此恒星的半径为R，质量为M，由于卫星做匀速圆周运动，则有
所以
而恒星的体积
所以恒星的密度。
例6、（2019 黑龙江模拟）假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为，在赤道上的大小为；地球自转周期为T，引力常量为G。地球的密度（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在地球两极处：；在赤道处：，故，则
【总结升华】解决此题的关键明确地球表面的物体所受的万有引力与重力的区别，在地球表面的物体所受的重力随纬度的不同而不同。在地球两极所受的重力大，赤道处所受重力小。
举一反三
【变式】中国紫金山天文台将1965年9月20日发现的第2752号小行星命名为吴健雄星。其直径2R=32km。如该小行星的密度和地球密度相同，则对该小行星而言，第一宇宙速度为多少？（已知地球半径为R0=6400km，地球的第一宇宙速度V18 km/s）
【答案】
【解析】第一宇宙速度，所以
对吴健雄星：
对地球：
两式相比： 所以
类型三、求解天体运动问题
例7、人造地球卫星围绕地球做匀速圆周运动，下列说法中正确的是：（ ）
A、在卫星内将重物体挂在弹簧秤上，弹簧秤的示数为零，但重物体仍受到地球的引力
B、卫星距地高度越大，运行速度越小
C、卫星距地高度越大，运行周期越小
D、卫星距地高度越大，运行角速度越大
【答案】AB
【解析】天体运动近似看成匀速圆周运动，其向心力都来源于万有引力，即
。
由此得出 ，即线速度；
，即角速度；
，即周期；，即向心加速度。
由此可见，越近的卫星运行的越快，越远的卫星，运行的越慢。所以AB正确。
【总结升华】①卫星环绕半径r与该轨道上的线速度v、角速度ω、周期T、向心加速度a存在一一对应关系，一旦r确定，则v、ω、T、a皆确定，与卫星的质量m无关。②对于环绕地球运动的卫星，若半径r增大，其周期T变大，线速度v、角速度ω、向心加速度a变小；若半径r减小，其周期T变小，线速度v、角速度ω、向心加速度a变大。
举一反三
【变式】某年，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东红一号”发射成功，开创了我国航天事业的新纪元。“东方红一号”的运行轨道为椭圆轨道，其近地点M和远地点N的高度分别为439km和2384km，则（ ）
A.卫星在M点的引力大于N点的引力
B.卫星在M点的角速度大于N点的角速度
C.卫星在M点的加速度大于N点的加速度
D.卫星在N点的速度大于7.9km/s
【答案】ABC
【解析】这里卫星只受万有引力的作用，而万有引力与离地心距离有关，所以A正确；近处速度快，相应的角速度也大，所以B正确；加速度是万有引力产生的，所以C正确；注意这是一个椭圆轨道，与贴近地球表面的圆轨道相比，其半长轴要比地球半径大，所以N点速度自然也小雨第一宇宙速度，D错。
【总结升华】椭圆轨道之间的比较要看半长轴的大小，同时，还要注意，卫星在椭圆轨道上运行时，从近地点想远地点运动时，万有引力与速度方向夹角是钝角，万有引力起减速作用，卫星的速度减小，反之，从远地点想近地点运动，则卫星做加速运动。
例8、一颗在地球赤道上空绕地球运转的同步卫星，距地面高度为，已知地球半径为R，自转周期为T，地面重力加速度为，则这颗卫星运转的速度大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】 ABC
【解析】由圆周运动的线速度公式可知，A正确。
对于卫星线速度的求解有两个基本思路，一是根据万有引力充当圆周运动的向心力，建立动力学方程求解，有：
则
根据黄金替换式则：
所以B正确。
对于CD选项中会出现根式三次方，那肯定是由下面方程才能出现：
从方程中解得根据黄金替换式则：
把轨道半径代入线速度公式则：所以C正确。
【总结升华】这里出现多项选择，主要是求解的多种思路引起的，所以必须熟悉各种求解思路。比如还可以这样求解：，得，又因为同步轨道处的重力加速度与地球表面的重力加速度的关系有：所以，化简后得：
举一反三
【变式1】地球半径为R，地面的重力加速度为g，某卫星距地面的高度也为R，设卫星做匀速圆周运动，下列说法正确的是（ ）
A．卫星的线速度为 B．卫星的角速度为
C．卫星的加速度为 D．卫星的周期为
【答案】 AB
【解析】由线速度公式，再由黄金替换式代入，则，A正确；代入角速度公式，得出：；由公式，所以C错；代入周期公式，可知，所以D错。
【变式2】已知第一宇宙速度近似为8 km/s，如果一颗人造地球卫星离地面的高度等于地球的半径，则它
围绕地球运行的速率为：（ ）
A．4km/s B．4km/s C．2km/s D．22km/s
【答案】C
【变式3】某人在某一个星球上以速率V0竖直上抛一个物体，经t秒落回手中。已知该星球的半径为R，
若要在该星球上发射一颗围绕该星球运转的人造卫星，其线速度为：（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由第一宇宙速度公式：，又星球表面的重力加速度，代入前式，则，所以C正确。
类型四、卫星变轨问题
例9、发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步轨道3。轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，如图所示。则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是（ ）
A．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率
B．卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度
C．卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它的轨道2上经过Q点时的加速度
D．卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度
【答案】BD
【解析】卫星做匀速圆周运动所需的向心力，是地球给卫星的万有引力提供的，即，所以，。
据此得出A是错误的，B是正确的。
在轨道上某点的加速度是由地球给卫星的万有引力产生的，即，所以在同一点是相等的，故D是正确的。
【总结升华】当卫星在不同轨道上同一点运行时，速度是不相等的。卫星在轨道1上做圆周运动，如果在Q点速度变大，万有引力不足以提供向心力，则卫星可能变轨到轨道2上。同理在轨道2上的P点加速时，可能变轨到轨道3上，但是在同一点万有引力相同，故加速度是相同的。
例10、某同学阅读了“火星的现在、地球的未来”一文,摘录了以下资料:
①根据目前被科学界普遍接受的宇宙大爆炸学说可知,万有引力在极其缓慢地减小.
②太阳几十亿年来一直不断地在通过发光、发热释放能量.
③金星和火星是地球的两位近邻,金星位于地球圆轨道的内侧,火星位于地球圆轨道的外侧.
④由于火星与地球的自转周期几乎相同,自转轴与公转轨道平面的倾角也几乎相同,所以火星上也有四季变化.
根据该同学摘录的资料和有关天体运动规律,可推断… ( )
A.太阳对地球的引力在缓慢减小
B.太阳对地球的引力在缓慢增加
C.火星上平均每个季节持续的时间等于3个月
D.火星上平均每个季节持续的时间大于3个月
【答案】 AD
【解析】 太阳不断地发光发热，太阳的质量在减小，由可知,太阳对地球的引力在缓慢减小，A正确，B错误；由得：，火星位于地球圆轨道外侧，半径大，周期大，因此火星上平均每个季节持续的时间大于3个月，C错误，D正确。
类型五、多星系统
例11、（2019 沈阳二中检测）如图，两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A、B运动的线速度大小分别为v1和v2，星球B与O点之间距离为L。已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧。引力常数为G。
（1）求两星球做圆周运动的周期。
（2）求星球A、B的总质量。
【解析】（1）A和B绕O做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供向心力，则A和B的向心力相等。且A和B和O始终共线，说明A和B有相同的角速度和周期。
v2=ωL ①
②
由①②得： ③
（2）设A、B两颗星球的质量分别为m1、m2，做圆周运动的半径分别为r1、r2。根据题意有：
ω1=ω2 r1+r2=r ④
根据万有引力定律和牛顿定律，有：
⑤
⑥
联立以上各式解得： ⑦
又 ⑧
由④⑦⑧得：
【总结升华】解决双星问题的关键，要抓住两点：（1）两星的角速度相同；（2）所需向心力的大小相等。
举一反三
【变式】神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律。天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX-3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成。两星视为质点，不考虑其他天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示。引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率和运行周期T。
（1）可见星A所受暗星B的引力可等效为位于O点处质量为的星体（视为质点）对它的引力，设A和B的质量分别为，试求（用表示）
（2）求暗星B的质量与可见星A的速率、运行周期T、和质量之间的关系式。
【解析】（1）设A、B的圆轨道半径分别为、，由题意知，A、B做匀速圆周运动的角速度相同，设其为。由牛顿运动定律，有，，
设A、B之间的距离为r,又，由上述各式得
由万有引力定律，有
令
比较可得
（2）由牛顿第二定律，有
又可见星A的轨道半径
综上可得
【巩固练习】
一、选择题：
1.关于万有引力定律和引力常量的发现，下列说法中哪个是正确的（ ）
A．万有引力定律是由开普勒发现的，而引力常量是由伽利略测定的
B．万有引力定律是由开普勒发现的，而引力常量是由卡文迪许测定的
C．万有引力定律是由牛顿发现的，而引力常量是由胡克测定的
D．万有引力定律是由牛顿发现的，而引力常量是由卡文迪许测定的
2、（2019 徐州模拟）某物体在地球表面，受到地球的万有引力F，若此物体受到的引力减小为，则距离地面的高度应为（R为地球的半径）（ ）
A．R B．2R C．4R D．8R
3.宇宙飞船绕地球做匀速圆周运动，飞船原来的线速度为，周期为。假设在某时刻飞船向后喷气做加速度运动后，进入新的轨道做匀速圆周运动，此时运动的线速度为，周期为，则（ ）
A． B． C． D．
4.某行星的质量是地球质量的6倍，半径是地球半径的1.5倍，则此行星上的第一宇宙速度约为（ ）
A． B． C． D．
5.人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，其速率为（ ）
A．一定等于 B．等于或小于
C．一定大于 D．介于7.9与之间
6．一艘宇宙飞船在一个不知名的行星表面上空沿圆形轨道运行。要测定行星的密度，只需要测定（ ）
A. 飞船的环绕速度 B. 行星的质量 C. 飞船的环绕半径 D.飞船的环绕周期
7、（2019 汕头市潮南区峡晖中学高三模拟）一行星绕恒星作圆周运动。由天文观测可得，其运动周期为T，速度为v，引力常量为G，则（ ）
A．恒星的质量为 B．行星的质量为
C．行星运动的轨道半径为 D．行星运动的加速度为
8.同步卫星位于赤道上方，相对地面静止不动。若地球半径为R，自转角速度为，地球表面的重力加速度为，则同步卫星离地面的高度为（ ）
A． B． C． D．
9.如图所示，有A、B两个行星绕同一恒星Ｏ做圆周运动，运转方向相同，A行星的周期为，B行星的周期为，在某一时刻两行星第一次相遇（即两行星相距最近），则（ ）
A．经过时间，两行星将第二次相遇
B．经过时间，两行星将第二次相遇
C．经过时间，两行星将第一次相距较远
D．经过时间，两行星将第一次相距最远
10、（2019 江苏模拟）过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕，“51 peg b”绕其中兴恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的，该中心恒星与太阳的质量比约为（ ）
A． B．1 C．5 D．10
11．如图是“嫦娥一号奔月”示意图，卫星发射后通过自带的小型火箭多次变轨，进入地月转移轨道，最终被月球引力捕获，成为绕月卫星，并开展对月球的探测。下列说法正确的是（ ）
A．发射“嫦娥一号”的速度必须达到第三宇宙速度
B．在绕月圆轨道上，卫星周期与卫星质量有关
C．卫星受月球的引力与它到月球中心距离的平方成反比
D．在绕月圆轨道上，卫星受地球的引力大于受月球的引力
12、（2019 天津模拟）、为相距遥远的两颗行星，距各自表面相同高处各有一颗卫星、做匀速圆周运动。图中纵坐标表示行星对周围空间各处物体的引力产生的加速度a，横坐标表示物体到行星中心的距离r的平方，两条曲线分别表示、周围的a与的反比关系，它们左端点横坐标相同，则（ ）
A．的平均密度比的大 B．的“第一宇宙速度”比的小
C．的向心加速度比的大 D．的公转周期比的大
13．在轨道上运行的人造地球卫星，若卫星上的天线突然折断，则天线将 ( )
A．做自由落体运动 B．做平抛运动
C．和卫星一起绕地球在同一轨道上运行 D．由于惯性沿轨道切线方向做直线运动
14．人造地球卫星由于受太空稀薄气体的阻力，轨道半径逐渐减小，其相应的线速度和周期的变化情况为 ( )
A．线速度增大，周期增大 B．线速度增大，周期减小
C．线速度减小，周期增大 D．线速度减小，周期减小
二、解答题：
15．天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。双星系统在银河系中很普遍。利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量。已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T，两颗恒星之间的距离为r，试推算这个双星系统的总质量。（引力常量为G）
16、（2019 老河口市第一中学高三期中考试）（1）“嫦娥一号”正在探测月球，若把月球和地球都视为质量均匀的球体，已知月球和地球的半径之比r1／r2=1／3.6，月球表面和地球表面的重力加速度之比g1／g2=1／6，根据以上数据及生活常识，试估算：分别绕月球和地球运行的同步卫星的轨道半径之比R1∶R2（结果可以保留根号）。
（2）若取月球半径r1=1.7×103 km，月球表面处重力加速度g1=1.6 m／s2，设想今后开发月球的需要而设法使月球表面覆盖一层一定厚度的大气层，使月球表面附近的大气压也等于p0=1.0×105 Pa，且大气层厚度比月球半径小得多，试估算应给月球表面添加的大气层的总质量M。（保留两位有效数字）
【答案与解析】
一、选择题：
1.D
解析：万有引力定律是由牛顿发现的，而引力常量是由卡文迪许测定的，故D选项正确。
2、A
解析：根据万有引力定律的表达式得： ，其中r为物体到地球中心的距离，假设物体离地面高度为h，则，若引力变为原来的，因中心天体M不变，因此，故，所以物体距地面的高度为R。
3.B
解析：宇宙飞船绕地球做圆周运动时，完全由万有引力提供向心力，即。
得：，
飞船向后喷气后，速度变大，所需的向心力变大，而万有引力不足以完全提供做圆周运动的向心力，飞船做远离地心的离心运动，半径增大。在新的轨道上，亦有。
由上分析可知，飞船加速后半径增大，线速度减小，周期变大。
4.A
解析：根据第一宇宙速度，故此行星上的第一宇宙速度约为，选项A正确。
5.B
解析：人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动的速率最大是，所以其速率等于或小于，故B选项正确。
6.D
解析：根据，可知只需测周期T即可。故D选项正确。
7、ACD
解析：根据圆周运动知识：由得到行星运动的轨道半径为，根据万有引力提供向心力：，得，故A正确；根据题意无法求出行星的质量，故B错误。通过以上分析，故C正确。根据得：行星运动的加速度为，故D正确。故选ACD。
8.C
解析：同步卫星运行时，卫星与地球的万有引力提供向心力，即，其中m为卫星质量，M为地球质量。设地面上有一个质量为的小物体，此小物体受到的万有引力与重力近似相等，有，所以卫星离地面高度为。故C选项正确。
9.BD
解析：由，可知，则在时间t内，A比B多转一圈时，两者第二次相遇，即第二次相遇时有，B选项正确；
在时间t内，A比B多转半圈时，两者第一次相距最远，即第一次相距最远时有
，D选项正确。
10、B
解析：行星绕某一个恒星做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式为：，得 ，又因“51 peg b”绕其中兴恒星做匀速圆周运动的周期为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的，所以该中心恒星与太阳的质量比约为。
11．C
解析：“嫦娥一号”要想脱离地球的束缚而成为月球的卫星，其发射速度必须达到第二宇宙速度，若发射速度达到第三宇宙速度，“嫦娥一号”将脱离太阳系的束缚，故选项A错误；在绕月球运动时，月球对卫星的万有引力完全提供向心力，则，，即卫星周期与卫星的质量无关，故选项B错误；卫星所受月球的引力，故选项C正确；在绕月圆轨道上，卫星受地球的引力小于受月球的引力，故选项D错误。
12、AC
解析：根据牛顿第二定律，行星对周围空间各处物体的引力产生的加速度为：，因图中左端点横坐标相同，所以、的半径相等，而纵坐标引力产生的加速度大于引力产生的加速度，因此的质量大于的质量，有由，所以的平均密度大于的平均密度，A对；第一宇宙速度，所以的“第一宇宙速度”比的大，B错；因、距各自行星表面相同高处，即、的轨道半径相等，根据，所以的向心加速度比的大，故C正确；由，所以的公转周期比的小，故D错。
13.C
解析：折断的天线由于惯性而具有卫星原来的速度，在地球引力作用下继续在原轨道上运行。
14.B
解析：由，可得正确答案B正确。
二、解答题：
15．
解析：设两颗恒星的质量分别为m1、m2，做圆周运动的半径分别为r1、r2，角速度分别为ω1、ω2。根据题意有ω1=ω2 ①
r1+r2=r ②
根据万有引力定律和牛顿运动定律，有
③
④
联立以上各式解得 ⑤
根据角速度与周期的关系知 ⑥
联立②⑤⑥式解得 ⑦
16、解析：（1）设月球质量为M1，地球质量为M2，则质量为m的物体分别在月球和地球表面时的重力与万有引力相等，有：
，
又由于，
月球自转周期T1=30天，地球自转周期T2=1天，由万有引力提供向心力，有：
解得：
（2）月球表面大气压强产生的向上的压力与大气层的重力使大气层平衡，则：
Mg1=p04π4r12
解得：