江西省宜春九中（外国语学校）2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试卷（含答案）

宜春九中（外国语学校）2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试卷
考试时间:120分钟 试卷总分：150分
选择题（本大题共12小题，共60.0分）
如果,那么下列不等式正确的是（ ）
A. B. C. D.
已知数列满足,且,则? ?
B. C. D. 2
设的内角A,B,C所对边分别为a,b,c若,,,则(? ???)．
B. C. 或 D.
不等式的解集是(?? ??)
B. C. 或 D.
等差数列的首项为1,公差不为若,,成等比数列,则前6项的和为(??? ?)
B. C. 3 D. 8
在中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若a、b、c成等比数列,且,则? ?
B. C. D.
若x,,且,则的最小值是? ? ?
A. 5 B. C. D.
某变量x,y,z满足约束条件,则的最大值为　　
B. 10 C. 3 D. 9
已知边长为2的正方形ABCD中,E为AD中点,连BE,则　　
B. C. 1 D. 2
在中,,,,则的值等于(?? ??)
B. C. D.
已知向量,,设函数,则下列关于函数的性质的描述正确的是(?? ??)
关于直线对称 B. 关于点对称C. 周期为 D. 在上是增函数
设x,y满足约束条件,若仅在点处取得最大值,则a的值可以为　　
4 B. 2 C. D.
填空题（本大题共4小题，共20.0分）
已知某扇形的半径为10,面积为,那么该扇形的圆心角为______ ．
设向量,,且,则______．
如图,测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D,测得,,,并在点C测得塔顶A的仰角为,则塔高AB等于______．

在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,,,且C为锐角,则面积的最大值为______．
解答题（本大题共6小题，17题10分，其余每题12分，共70.0分）
已知向量,．设与的夹角为,求的值；若与垂直,求实数的值.
18.在中,a、b、c分别为角A、B、C所对的边,且．
求角C的大小；若,,求边a的值及的面积．
19.已知关于x的不等式的解集为
求的值；
当时,解关于x的不等式．

已知公差不为零的等差数列满足：,且是与的等比中项．求数列的通项公式；设数列满足,求数列的前n项和．
21. 的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,,．

求边c；设D为BC边上一点,且,求的面积．
22. 已知数列的前n项和为,且满足．
证明：数列为等比数列,并求数列的通项公式；若,数列的前n项和为,求满足不等式的n的最小值．
理科数学答案
选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1如果,那么下列不等式正确的是? ? ?
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】【分析】本题以命题的真假判断与应用为载体考查了不等式的基本性质,熟练掌握不等式的基本性质是解答的关键,题目比较基础．由已知中,结合不等式的基本性质,利用作差法逐一分析四个答案的真假,可得结论．【解答】解：,,故A错误；故B错误；,故,即,故C错误；因为,所以,故D正确．故选D．
2已知数列满足,且,则? ?
A. B. C. D. 2
【答案】D
【解析】【分析】本题考查了数列的递推关系、数列的周期性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题．数列满足,,可得,利用周期性即可得出．【解答】
解：数列满足,,可得,,,,数列的周期为3,．故选D．
3设的内角A,B,C所对边分别为a,b,c若,,,则(????)．
A. B. C. 或 D.
【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了正弦定理,大边对大角,特殊角的三角函数值在解三角形中的应用,属于基础题．
由已知及正弦定理可求,利用大边对大角可求B为锐角,利用特殊角的三角函数值即可得解B的值．【解答】
解：,,,由正弦定理可得：,,为锐角,．故选A．
4不等式的解集是(????)
A. B. C. 或 D.
【答案】B
【解析】【分析】本题考查一元二次不等式的求解,属基础题．把原不等式的右边移项到左边,通分计算后,然后转化为两个一元一次不等式组,求出不等式组的解集即为原不等式的解集．【解答】解：不等式,移项得：,即,可化为解得：,则原不等式的解集为．故选B．
5等差数列的首项为1,公差不为若,,成等比数列,则前6项的和为(????)
A. B. C. 3 D. 8
【答案】A
【解析】【分析】本题主要考查等差数列前n项和的求法,解题时要认真审题,注意等差数列、等比数列的性质的合理运用,属于基础题．利用等差数列通项公式、等比数列性质列出方程,求出公差,由此能求出前6项的和．【解答】
解：等差数列的首项为1,公差不为,,成等比数列,,,且,,解得,前6项的和为．故选A．
6在中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若a、b、c成等比数列,且,则? ?
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】本题考查等比数列的性质,余弦定理的应用,考查计算能力,常考题型．由题意,结合余弦定理求出cosC,即可得到C的值．【解答】解：a、b、c成等比数列,所以,所以,由余弦定理可知,又,所以．故选A．
7若x,,且,则的最小值是? ? ?
A. 5 B. C. D.
【答案】A
【解析】?本题主要考查了利用基本不等式求解最值问题,解题的关键是基本不等式的应用条件的配凑,属于中档题．将方程变形,代入可得,然后利用基本不等式即可求解．【解答】解：,,,,,当且仅当即时取等号．故选A．
8某变量x,y,z满足约束条件,则的最大值为　　
A. B. 10 C. 3 D. 9
【答案】B
【解析】【分析】本题考查简单的线性规划,考查数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法,是中档题由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合定点最优解,联立方程组求得最优解的坐标,代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件,作出可行域如图,
联立,得,化目标函数为,由图可知,当直线过点A时,直线在y轴上的截距最小,z有最大值为．故选B．
9已知边长为2的正方形ABCD中,E为AD中点,连BE,则　　
A. B. C. 1 D. 2
【答案】B
【解析】解：如图, ；．故选B．可画出图形,据图可得出,从而便得到,这样进行数量积的运算即可．考查向量加法的几何意义,相反向量的概念,以及数量积的运算及计算公式．
10在中,,,,则的值等于(????)
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】本题考查了正余弦定理,三角形面积公式的应用,属于中档题．利用三角形面积公式求,利用余弦定理求a,再借助正弦定理求解．【解答】
解：,,,,,,．故选A．
11已知向量,,设函数,则下列关于函数的性质的描述正确的是(????)
A. 关于直线对称 B. 关于点对称C. 周期为 D. 在上是增函数
【答案】D
【解析】【分析】本题考查了三角恒等变换,正弦函数的图象与性质,考查向量的数量积,属于中档题．利用三角恒等变换化简的解析式,根据正弦函数的性质判断．【解答】解：,当时,,不关于直线对称,选项A错误；当时,,关于点对称,不关于点对称,选项B错误；得周期,选项C错误；当时,,在在上是增函数,选项D正确．故选D．
12设x,y满足约束条件,若仅在点处取得最大值,则a的值可以为　　
A. 4 B. 2 C. D.
【答案】A
【解析】【分析】作出其平面区域,由图确定若目标函数其中仅在点处取得最大值时斜率的要求,从而求出a的取值范围本题考查了简单的线性规划的应用,注意作图要仔细,而且注意参数的几何意义是解决问题的关键,属中档题．【解答】解：由题意,作出x,y满足约束条件平面区域如下图：目标函数其中可化为,则由目标函数其中仅在点处取得最大值,得：,即．故选：A．
填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13已知某扇形的半径为10,面积为,那么该扇形的圆心角为______ ．
【答案】
【解析】【分析】此题考查了扇形面积的计算此题比较简单,注意熟记公式与性质是解此题的关键,属于基础题．由已知利用扇形的面积公式即可计算得解．【解答】
解：设扇形的圆心角大小为,半径为r,则扇形的面积为．由已知可得：,解得：．故答案为：．
14设向量,,且,则______．
【答案】
【解析】【分析】本题考查向量的数量积的应用,向量的垂直条件的应用,考查计算能力．利用已知条件,通过数量积判断两个向量垂直,然后列出方程求解即可．【解答】解：,可得．向量,,可得,解得．故答案为．
15如图,测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D,测得,,,并在点C测得塔顶A的仰角为,则塔高AB等于______．
【答案】?
【解析】【分析】在中利用正弦定理求得BC的值,在中利用直角三角形的边角关系求得AB的值本题考查了正弦定理与直角三角形的边角关系应用问题,是基础题．【解答】解：由题意,在中,,,,又,由正弦定理得,；在中,,,；则塔高AB等于．故答案为．
16在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,,,且C为锐角,则面积的最大值为______．
【答案】
【解析】【分析】本题主要考查了正弦定理,余弦定理,基本不等式,三角形面积公式在解三角形中的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题．【解答】解：因为,又,所以,又C为锐角,所以．因为,所以,当且仅当时等号成立,即,即当时,面积的最大值为．故答案为．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17已知向量,．设与的夹角为,求的值；若与垂直,求实数的值
【答案】解：向量,,则,且,；设与的夹角为,则；若与垂直,则,即,所以,解得．
【解析】根据平面向量的坐标表示与数量积运算,即可求出、的夹角余弦值；根据两向量垂直,数量积为0,列出方程求出的值．本题考查了平面向量的坐标表示与数量积运算问题,是基础题目．
18在中,a、b、c分别为角A、B、C所对的边,且．
求角C的大小；若,,求边a的值及的面积．
【答案】解：,,结合余弦定理得：,,或．,,,,由余弦定理得：,整理得,解得,?．
【解析】本题考查余弦定理的应用,三角形的解法,面积的求法,考查计算能力．利用余弦定理以及同角三角函数基本关系式化简求解即可；利用余弦定理求出a,然后求解三角形的面积．
19已知关于x的不等式的解集为
求的值；
当时,解关于x的不等式．
【答案】解：由题意知,b是方程的两个实根,
所以解得
,．
由,不等式可化为,
当时,不等式的解集为
当时,不等式的解集为或,
当时,不等式的解集为?．
综上,当时,不等式的解集为；
当时,不等式的解集为或；
当时,不等式的解集为?．
【解析】熟练掌握一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系和分类讨论的思想方法是解题的关键．利用一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系即可求出；对m分类讨论即可求出不等式的解集．
20已知公差不为零的等差数列满足：,且是与的等比中项．求数列的通项公式；设数列满足,求数列的前n项和．
【答案】解：设等差数列的公差为d,,且是与的等比中项,,解得,,．,．?
【解析】本题考查了等差数列的通项公式,等比数列的性质,裂项相消法求和,属于中档题．根据等差数列的通项公式及等比数列的性质列方程组,求出首项和公差即可得出通项公式；利用裂项法求和即可．
21的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,,．?求c；设D为BC边上一点,且,求的面积．
【答案】解：,,,．由余弦定理可得,即,即,解得舍去或,故． ,,,,,,又,．
【解析】本题考查了余弦定理和三角形的面积公式,以及解三角形的问题,属于中档题．先根据同角的三角函数的关系求出A,再根据余弦定理即可求出；先根据夹角求出cosC,求出CD的长,得到,然后求出三角形ABC的面积从而得到三角形ABD的面积．
22已知数列的前n项和为,且满足．
证明：数列为等比数列,并求数列的通项公式；若,数列的前n项和为,求满足不等式的n的最小值．
【答案】证明：当时,,．,,当时,,两式相减得：,即,,数列为以2为首项,2为公比的等比数列,,则,；解：,,,两式相减得：,,由,得,设,,数列为递增数列,,,满足不等式的n的最小值为11．
【解析】本题考查数列递推式,考查了利用错位相减法求数列的前n项和,考查数列的函数特性,是中档题．当时,求得当时,,与原递推式联立得：,即,可得,得到数列为以2为首项,2为公比的等比数列,由此可得数列的通项公式；,然后利用错位相减法求数列的前n项和为,代入,可得,设,可知数列为递增数列,结合,得答案．