高中数学第三章函数的应用3.1.1方程的根与函数的零点教材梳理素材新人教A版必修1

3.1.1 方程的根与函数的零点
疱丁巧解牛
知识·巧学·升华
一、函数的零点
对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
有时我们也把一个函数的图象与x轴的公共点，叫做这个函数的零点.
当两个零点重合时，我们称这个零点为二重零点.
例如：函数f（x）=3x-2在实数处的函数值等于零，即f（）=0，则叫做这个函数的零点.
又如函数f（x）=x2-6x+5，令f（x）=0，
即x2-6x+5=0.解得x=1或x=5.
由于f（1）=0，f（5）=0，
∴x=1或x=5是二次函数f（x）=x2-6x+5的零点.这样，函数的零点就是方程f（x）=0的实根，也就是函数y=f（x）的图象与x轴交点的横坐标.
要点提示 注意此处空半格
（1）函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零；
（2）一般我们只讨论函数的实数零点.
函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根，也即函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标.由此可以得到：方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点.
二、二次函数的零点与二次方程的实根及一元二次不等式的关系
判别式Δ
Δ＞0
Δ=0
Δ＜0
二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象
一元二次方程ax2+bx+c=0的根
有两相异实根x1、x2（x1＜x2)
有两相等实根x1=x2=-
没有实根
二次函数y=ax2+bx+c的零点
有两个零点x1、x2
有一个二重零点x1=x2
没有零点
ax2+bx+c＞0（a＞0）的解集
{x|x＜x1或x＞x2}
{x|x≠-}
R
ax2+bx+c＜0（a＞0）的解集
{x|x1＜x＜x2}
判断函数是否有零点可转化成方程是否有实根的问题.对二次函数可借助判别式“Δ”来判定零点的个数.考虑函数是否有零点是研究函数性质和精确地画出函数图象的主要一步.解一元二次不等式的关键是先令ax2+bx+c=0（a≠0），找出函数f（x）=ax2+bx+c的零点，再结合二次函数图象的开口方向，写出不等式的解集.当Δ=0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实根（重根），这时二次函数有一个二重零点.
三、函数零点的性质
对二次函数而言
1.二次函数的图象是连续的，当它通过零点（不是二重零点）时，函数值改变符号；
2.在相邻的两个零点之间所有的函数值保持同号.
如果函数y=f（x）在区间［a，b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）·f（b）＜0，那么，函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，这个c也就是方程f（x）=0的根.
误区警示 注意此处空半格如果函数y=f（x）在［a，b］上的图象是连续不断的曲线，且x是函数在这个区间上的一个零点，却不一定有f（a）·f（b）＜0.
通过寻找连续函数的零点，结合零点处的性质可作出函数的草图.如教材中例1.函数的连续性，形象地说就是图象在指定区间上没有间断点.
给出函数零点的概念后，要明确“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切的联系，但不能将它们混为一谈.之所以介绍通过求函数的零点求方程的根，是因为函数的图象和性质，为理解函数的零点提供了直观认识，并为判断零点是否存在和求出零点提供了支持，这就使方程的求解与函数的变化形成联系，有利于分析问题的本质.
虽然有的函数在区间上不连续，但它可能有零点存在；有的函数在区间是连续的，也不存在零点；例如:
f(x)=y=0,x∈R.
问题·思路·探究
问题 你认为方程ax2+3x+4a=0对应的函数是怎样的函数？为什么？面临这样的情况，你打算如何处理该问题？你如何利用方程ax2+3x+4a=0两根都小于1这一条件？
思路：充分利用函数与方程的关系，使得问题解答大大简化，尤其是借助于二次函数的图象，从图象中抽象出与方程有关的最本质的关系式，这是我们解决与方程的根的分布有关的问题的关键.
探究：可能是一次函数，也可能是二次函数.因为方程中的a∈R，所以它有可能等于0.当a=0时，方程ax2+3x+4a=0可化为x=0，其为一元一次方程，对应的是一次函数；当a≠0时，方程ax2+3x+4a=0是一元二次方程，对应的是二次函数.通过分类讨论.处理该问题时结合图象进行总结，当a=0时，x=0满足题意.当a≠0时，设f（x）=ax2+3x+4a.若要使方程ax2+3x+4a=0两根都小于1，只要
综上，方程的根都小于1时，有0＜a≤.
典题·热题·新题
例1 设函数f(x)=ax+2a+1(a≠0)，在-1≤x≤1上，f(x)存在一个零点，求实数a的取值范围.
思路解析：函数f(x)为关于x的一次函数，当它穿过零点时，函数值变号.
解：∵函数f(x)在-1≤x≤1上存在零点，∴或
即f(-1)·f(1)≤0.∴(-a+2a+1)·(a+2a+1)≤0，即(a+1)(3a+1)≤0.
令g(a)=(a+1)(3a+1)=0，得函数g(a)的两个零点a1=-1,a2=-.
作出g(a)的图象如右图：
由图象可知，g(a)≤0时，a的取值范围是-1≤a≤-.
深化升华 注意此处空半格连续函数在零点（不是二重零点）的两侧对应的函数值异号时，把文字语言转化成符号语言，利用图象解题.
例2 求下列函数的零点：
（1）f(x)=-x2-2x+3；（2）f(x)=x4-1.
思路解析:根据函数零点与相应方程的根之间的关系，就是求该方程相对应的方程的根.
解：（1）由于f(x)=-x2-2x+3=-(x+3)(x-1)，
∴方程-x2-2x+3=0的两根分别是-3，1.故函数的零点是-3，1.
（2）由于f(x)=x4-1=(x2+1)(x+1)(x-1)，
∴方程x4-1=0的实数根是-1，1.故函数的零点是-1，1.
拓展延伸 注意此处空半格求函数的零点就是求相应的方程的根，一般可以借助求根公式或因式分解等办法求出方程的根，从而得到函数的零点.此题可以进一步变式.例如：
（1）若函数f(x)=x2+ax+b的零点是2和-4，求a,b的值；
（2）若函数y=ax2-x-1只有一个零点，求实数a的取值范围.
例3 求函数f(x)=x3-x的零点，并画出它的图象.
思路解析：解方程f(x)=0，求零点，若方程是高次，一般考虑利用因式分解.
解：因为x3-x=x(x2-1)=x(x+1)(x-1)，令f(x)=0，即x(x+1)(x-1)=0，
解得已知函数的零点为-1，0，1，这三个零点把x轴分成4个区间：(-∞,-1］,(-1,0］，（０，1］，（1，+∞），在这四个区间内，取x的一些值（包括零点），列出这个函数的对应值表：
x
…
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
…
y
…
-1.875
0
0.375
0
-0.375
0
1.875
…
在直角坐标系内描点作图，这个函数的图象如右图：
要点提示 注意此处空半格利用函数的零点，可研究函数的性质，并较准确地画出函数的图象.事实上，由于该函数是奇函数，可只作出当x≥0时的部分图象，再利用对称性画出另一部分.
例4 已知函数f(x)=mx2+(m-3)x+1的图象的零点至少有一个在原点右侧，求实数m的范围.
思路解析：对于“形式二次函数”（二次项系数含有字母），要注意对二次项系数是否为零加以讨论.
解：（1）当m=0时，f(x)=-3x+1，直线与x轴的交点为(,0)，即函数的零点为，在原点右侧，符合题意.
（2）当m≠0时，∵f(0)=1，
∴抛物线过点(0,1).
若m＜0，f(x)的开口向下，如图甲所示，二次函数的两个零点必然是一个在原点右侧，一个在原点左侧；
若m＞0，f(x)的开口向上，如图乙所示，要使函数的零点在原点右侧，当且仅当
0＜m≤1.
综上所述，所求m的范围是(-∞,1］.
要点提示 注意此处空半格对于函数图象性质的研究，一是要注意特殊点，如本题中有f(0)=1，即图象过点(0,1)；二是要根据题意，画出示意图，再根据图象特征，解决问题.研究二次函数在给定区间上的零点时，可从判别式、对称轴、开口方向、区间的端点值等几个方面去考虑.