高中数学第三章函数的应用3.1.2用二分法求方程的近似解教材梳理素材新人教A版必修1

3.1.2 用二分法求方程的近似解
疱丁巧解牛
知识·巧学·升华
一、二分法
对于在区间［a,b］上连续不断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f(a)·f(b)＜0的函数，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
（1）函数零点的性质：所谓函数的零点，从“数”的角度看，就是求f(x)=0的点；从“形”的角度看，就是函数f(x)的图象同x轴的交点.特别地，若函数f(x)的图象在x=x0处与x轴相切，则零点x，通常叫做不变号零点.若曲线在x=x0处与x轴相交，则零点x0叫做函数的变号零点.用二分法求近似值的零点都是指变号零点.
例如：函数f(x)=3x-6的零点x=2是变号零点；函数f(x)=x2-x-12的两个零点x=-3,x=4都是变号零点；函数f(x)=x2-2x+1的零点x=1是不变号零点；函数f(x)=x2+1不存在零点.
（2）怎样判断一个函数在给定的区间上存在零点呢？如果函数f(x)在给定区间［a,b］上是连续不间断的且在两个端点处的函数值满足f(a)·f(b)＜0，那么该函数在给定区间上至少存在一个变号零点.那么，
若f(a)·f(b)＞0，是不是就不存在变号零点呢？
二、二分法的理论依据
如果y=f(x)是连续的，并且f(a)及f(b)的符号相反，则存在一个根在a与b之间，如下图所示.
基本方法：首先找一个包含根的区间，然后在包含根之处多次减少区间一半，直至根落在要求的区域.
我们用中间数去缩减区间(b,a)的一半，因此，我们有两个区间(b, )和(,a)，其中一个区间一定包含根.如果f()是正数及f(b)是负数，我们便知道(b, )包含根，不断重复相似步骤，根最终跌落在要求的区间.
三、给定精确度ε
用二分法求零点近似值的步骤如下：
1.确定区间［a,b］D，使f(a)·f(b)＜0.令a0=a,b0=b.
2.取区间［a0,b0］的中点，x0=(a0+b0)，计算f(x0)与f(a0).
一般规律：（1）如果f(x0)=0，则x0就是f（x）的零点，计算终止；
（2）如果f(a0)·f(x0)＜0，则零点位于区间［a0,x0］中，令a1=a0,b1=x0；
（3）如果f(a0)·f(x0)＞0，则零点位于区间［x0,b0］中，令a1=a0,b1=b0.
3.取区间［a1,b1］的中点，则该中点的横坐标为x1=(a1+b1)，计算f(x1).
（1）若f(x1)=0，则x1就是f(x)的零点，计算终止；
（2）如果f(a1)·f(x1)＜0，则零点位于区间［a1,x1］上，令a2=a1,b2=x1；
（3）如果f(a1)·f(x1)＞0，则零点位于区间［x1,b1］上，令a2=x1,b2=b1；
……
4.判断是否达到精确度ε，即若|a-b|＜ε，则得到零点近似值a（或b）；否则重复步骤2—4.
问题·思路·探究
问题1 如何找一个包含根的区间，然后在包含根之处多次减少区间一半，直至根落在要求的区域，找到它的零点近似值？
思路：利用二分法思想，逐步逼近.
探究：通过根的存在性定理.根据变号零点的性质，逐步逼近，不断“压缩”区间长度直到达到精确度要求.在确定初始变方区间［a，b］时，|b-a|的长度越短，越容易找到它的零点近似值.
问题2 通过二分法了解算法这一数学思想，用二分法求零点近似值，如何给定精确度ε，用二分法求函数的零点近似值？
思路：算法是指按照一定的程序使计算一步步地进行下去，直到找到问题结果为止的求解过程.区间［an，bn］的长度|bn-an|越小，就越接近它的零点值.
探究：用二分法求函数零点的近似值，首先要选好选准计算的初始区间，这个区间既要符合条件，又要尽量使其长度小；其次要依据给定的精确度及时检验计算中得到的区间是否满足这一精确度，以决定是停止计算还是继续计算.通过不断地求中点，变换存在零点近似值的区间，直到它的长度|bn-an|＜2ε为止，此时xn=即为所求.
典题·热题·新题
例1 求函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个为正数的零点（精确到0.1）.
思路解析：一般地，对于高次多项式函数及其他的一些函数，不适宜作具体计算，有必要寻求其零点的近似解的方法.
解：函数f(x)=x3+x2-2x-2的图象如右图，由于f(0)=-2＜0，f(2)＞0，可取区间［0,2］作为计算的初始区间.
用二分法逐次计算，列表如下：
端点（中点）坐标
计算中点的函数值
取区间
f（0）=-2＜0
f（2）=6＞0
［0，2］
x1=（0+2）/2=1
f（x1）=-2＜0
［1，2］
x2=（1+2）/2=1.5
f（x2）=0.625＞0
［1，1.5］
x3=（1+1.5）/2=1.25
f（x3）=-0.984＜0
［1.25，1.5］
x4=（1.25+1.5）/2=1.375
f（x4）=-0.26＜0
［1.375，1.5］
x5=（1.375+1.5）/2=1.438
f（x5）=0.165＞0
［1.375，1.438］
x6=（1.375+1.438）/2=1.406 5
f（x6）=0.028 9>0
由上表的计算可知，区间［1.375，1.438］的长度小于0.1，所以这个区间的中点x6≈1.406 5可作为所求函数的一个正实数零点的近似值.
拓展延伸 注意此处空半格利用函数的图象和性质，用二分法求方程的近似解，这种方法简单有效，仅仅要求函数f(x)在某一区间[a,b]内连续，并且在此区间端点的函数值异号.但是用它不能求偶次重根，只能求实根.但是由于计算量较大，通常我们要借助计算器或计算机来完成计算和分析.
例2 使用计算器或计算机，用二分法求函数f(x)=x5-x3-5x2+5的无理零点（精确到0.01）.
思路解析:求函数的无理零点或求方程的无理根问题可以通过因式分解，发现其有理根，然后转化为求另一函数的无理零点的问题，再利用二分法求其零点的近似值.
解：因为x5-x3-5x2+5=x3(x2-1)-5(x2-1)=(x+1)(x-1)(x3-5)，
所以已知函数的零点是-1，1，，其中x=是它的一个无理零点.
不妨设g(x)=x3-5，由于g(1)=-4＜0,g(2)=3＞0，可取区间［1,2］作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：
端点（中点）坐标
计算中点的函数值
取区间
g（1）＜0
g（2）＞0
［1，2］
x1==1.5
g（x1）=-1.625＜0
［1.5，2］
x2==1.75
g（x2）=0.359 4>0
［1.5，1.75］
x3==1.625
g（x3）=-0.709 0＜0
［1.625，1.75］
x4==1.687 5
g（x4）=-0.194 6＜0
［1.687 5，1.75］
x5==1.718 8
g（x5）=0.077 4＞0
［1.687 5，1.718 8］
x6==1.703 2
g（x6）=-0.059 6＜0
［1.703 2，1.718 8］
x7==1.711
g（x7）=0.010＞0
［1.703 2，1.711］
x8==1.714 9
g（x8）=0.043 3＞0
由上表计算可知，区间［1.703 2，1.711］的长度小于0.01，所以该区间的中点x8≈1.71，即为函数f（x）=x3-5的一个无理零点近似值.
深化升华 注意此处空半格用二分法求函数零点的近似值，首先要选好选准计算的初始区间，这个区间既要符合条件，又要尽量使其长度小；其次要依据给定的精确度及时检验计算中得到的区间是否满足这一精确度，以决定是停止计算还是继续计算.
例3 借助计算器或计算机，用二分法求方程x+log3x=3在（1，3）内的近似解.（精确到0.1）
思路解析:构造一个函数，从而借助计算器或计算机列出x与f（x）的对应值表或图象，确定零点所在的大致区间，进而用二分法求解，从中体会函数与方程之间的联系.
解：原方程即x+log3x-3=0.
令f（x）=x+log3x-3，用计算机或计算器作出函数f（x）=x+log3x-3的对应值表与图象.
x
1
2
3
4
y=x+log3x-3
-2
-0.37
1
2.24
观察图象或对应值表可知f（2）·f（3）＜0，说明这个函数在区间（2，3）内有零点x0.
取区间（2，3）的中点x1=2.5，用计算器可算得f（2.5）≈0.34.
因为f（2）·f（2.5）＜0，所以x0∈（2，2.5）再取（2，2.5）的中点x2=2.25，
用计算器可算得f（2.25）≈-0.01，
因为f（2.25）·f（2.5）＜0，所以x0∈（2.25，2.5）.
同理可得x0∈（2.25，2.375），x0∈（2.25，2.312 5），
由于|2.312 5-2.25|=0.062 5＜0.1，此时区间（2.25，2.312 5）的两个端点精确到0.1的近似值都是2.3，所以原方程精确到0.1的近似解为2.3.
深化升华 注意此处空半格二分法是求函数零点近似值的一种方法，根据题目精确度的要求，只需进行有限次的重复运算便可得解.可从“数”“形”两个角度去体会函数零点的意义，掌握常见函数零点的求法.
例4 （经典回放）已知函数f（x）=ax+（a＞1）.
（1）求证：f（x）在（-1，+∞）上为增函数；
（2）若a=3，求方程f（x）=0的正根（精确到0.01）.
思路解析:问题（1）可依据增函数定义通过作差通分来求证，问题（2）可以通过用二分法，根据题目精确度的要求，只需进行有限次的重复运算便可得解，求出方程f（x）=0的正根.
（1）证明：任取x1、x2∈（-1，+∞），且x1＜x2，
则x2-x1＞0，＞1，且ax1＞0，
∴＞0，
又∵x1+1＞0，x2+1＞0，
∴-=＞0，
于是f（x2）-f（x1）=+-＞0，
故函数f（x）在（-1，+∞）上为增函数.
（2）解：由（1）知，当a=3时，f（x）=3x+也在（-1，+∞）上为增函数，故在（0，+∞）也单调递增，因此f（x）=0的正根仅有一个，以下用二分法求这一正根.由于f（0）=-1＜0，f（1）=＞0，取［0，1］为初始区间，用二分法逐次计算，列出下表：
区 间
中 点
中点函数值
［0，1］
0.5
0.732
［0，0.5］
0.25
-0.084
［0.25，0.5］
0.375
0.322
［0.25，0.375］
0.312 5
0.124
［0.25，0.312 5］
0.281 25
0.021
［0.25，0.281 25］
0.265 6
-0.032
［0.265 6，0.281 25］
0.273 43
-0.005 52
［0.273 43，0.28 125］
由于区间［0.273 43，0.281 25］的长度为0.007 82＜0.01，所以这一区间的两个端点的近似值0.28就是方程的根的近似值，即原方程的正根是0.28.
拓展延伸 注意此处空半格若所求函数的零点被界定在某一区间上，可直接判断求解；若没有界定区间，可通过分析题目条件，尽量缩短区间的长度.
例5 某电器公司生产A种型号的家庭电器.1996年平均每台电脑生产成本为5 000元，并以纯利润20%标定出厂价.1997年开始，公司更新设备，加强管理，逐步推行股份制，从而使生产成本逐年降低.2000年平均每台A种型号的家庭电脑尽管出厂价仅是1996年出厂价的80%，但却实现了纯利润50%的高效率.求：
（1）2000年每台电脑的生产成本；
（2）以1996年的生产成本为基数，用二分法求1996—2000年生产成本平均每年降低的百分数（精确到0.01）.
思路解析:这是一个降低成本提高效率的问题.注意：这里“以纯利润20%标定出厂价”指成本的20%.成本+利润=出厂价；利润=成本×利润率.
解：（1）设2000年每台电脑的成本为p元，根据题意，得
p(1+50%)=5 000×(1+20%)×80%，解得p=3 200（元）.
（2）设1996—2000年间每年平均生产成本降低的百分率为x，根据题意，得5 000(1-x)4=3 200(0＜x＜1＝，令f(x)=5 000(1-x)4-3 200，作出x、f(x)的对应值表，如下表：
x
0
0.15
0.3
0.45
0.6
0.75
0.9
1.05
f(x)
1 800
-590
-2 000
-2 742
-3 072
-3 180
-3 200
-3 200
观察上表，可知f(0)·f(0.15)＜0，说明此函数在区间（0，0.15）内有零点x0，
取区间（0，0.15）的中点x1=0.075，用计算器可算得
f(0.075)≈460，因为f(0.075)·f(0.15)＜0，所以x0∈(0.075,0.15)再取（0.075，0.15）的中点x2=0.112 5，用计算器可算得f(0.112 5)≈-98，
因为f(0.075)·f(0.112 5)＜0，所以x0∈(0.075,0.112 5).
同理，可得x0∈(0.009 375,0.112 5)，x0∈(0.103 125,0.112 5)，
x0∈(0.103 125,0.107 812 5),x0∈(0.105 468 75,0.107 812 5).
由于|0.107 812 5-0.105 468 75|=0.002 343 75＜0.01，此时区间（0.105 468 75，0.107 812 5）的两个端点精确到0.01的近似值都是0.11，所以原方程精确到0.01的近似解为0.11.
答：（1）2000年每台电脑的生产成本为3 200元；
（2）1996—2000年生产成本平均每年降低的百分数为11%.
深化升华 注意此处空半格在第（2）问中所要解的方程5 000（1-x）4=3 200(0＜x＜1)要求用二分法来解，主要目的是熟悉二分法的解题步骤，虽然比较繁杂，但是能让学生体会到“逐步逼近”的数学思想.