高中数学第三章函数的应用3.1函数与方程知识导航素材新人教A版必修1

3.1 函数与方程
名师导航
知识梳理
一、方程的根与函数的零点
1.函数零点的概念
对于函数y=f(x)(x∈D)，把使__________成立的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点.
2.函数零点的意义
方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与__________轴有交点函数y=f(x)有__________.
3.函数零点的求法
求函数y=f(x)的零点：
(1)代数法：求方程f(x)=0的__________；
(2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来，并利用__________找出零点.
4.零点存在性定理及应用
(1)探究：作出y=x2-4x+3的图象，求出f(2),f(1)和f(0)的值,观察f(2)和f(0)的符号.
(2)观察函数y=f(x)的图象，如图3-1-1，在区间［a,b］上_____(有/无)零点；f(a)·f(b) _____0(＜或＞. 在区间［b,c上_____ (有/无)零点；f(b)·f(c) _____0(＜或＞.在区间［c,d］上_____ (有/无)零点；f(c)·f(d) _____0(＜或＞.
图3-1-1
(3)定理：如果函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是_____的一条曲线，并且有f(a)·f(b) _____0,那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b),使得f(c) _____0，这个c也就是方程f(x)=0的根.
(4)应用：求函数f(x)=lnx+2x-6的零点的个数.(试讨论一些函数值→分别用代数法、几何法)
二、二分法求方程的近似解
二分法的思想及步骤
(1)定义二分法的概念：对于在区间［a,b］上_____且_____的函数y=f(x)，通过不断地把函数的零点所在的区间_____，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法(bisection).
(2)探究：给定精度ε，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤如下：
A.确定区间［a,b］，验证_____，给定精度ε;
B.求区间(a,b)的中点x1;
C.计算f(x1);若f(x1)=0，则__________就是函数的零点；若f(a)·f(x1)<0，则令__________=x1(此时零点x0∈(a,x1))；若f(x1)·f(b)<0，则令__________=x1(此时零点x0∈(x1,b));
D.判断是否达到精度ε:即若__________，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤B~D.
疑难突破
二次函数的零点
剖析：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，其零点的情况如下：
(１)Δ＞0，方程ax2+bx+c=0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点.
(2)Δ＝0，方程ax2+bx+c=0有两相等实根(二重根)，二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点.
(3)Δ＜0，方程ax2+bx+c=0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点.