高中数学第三章函数的应用3.2.2函数模型的应用实例教材梳理素材新人教A版必修1

3.2.2 函数模型的应用实例
疱丁巧解牛
知识·巧学·升华
1.在研究某些实际问题时，常需要实施以下一系列过程
（1）建立实际问题中的变量之间的函数关系，从而将实际问题转化为函数问题；
（2）运用所学知识研究函数问题，得到函数问题的解；
（3）将函数问题的解翻译或解释成实际问题的解，从而解决实际问题.
2.数学模型方法
通过建立实际问题的数学模型来解决问题的方法称为数学模型方法，简称建模.
资料剖析:建立数学模型的三个步骤：
（1）建模.抽象出实际问题的数学模型；
（2）推理、演算.对数学模型进行逻辑推理或数学演算，得到问题的数学意义上的解；
（3）评价、解释.对求得的数学结果进行深入地讨论，作出评价、解释，返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解.
建模的三个步骤图示如下：
深化升华从图表中的第一步：，这一步应从审题开始，通过分析和抽象找出题设和结论的数学关系，进一步转化为函数问题来求解，即建立合理的数学模型，因此，这一步称之为数学化；第二步：，这一步就是采用数学的方法，解决函数模型所表述的数学问题，因此，这一步称之为数学解决；第三步：数学模型的解→实际问题的解，这一步就是将数学结论转化为实际问题的结论，因此，这一步称之为实际化；最后一步是对实际问题的结论作出解答.
问题·思路·探究
问题1 建立数学模型是解决数学问题的主要方法，数学建模一般分为识模、析模、建模、解模、验模五个步骤.我们应如何走好这5步骤呢？
探究:识模就是把应用问题的外部信息和自己已有的内部经验相对照，初步判断问题解决的方向；析模就是精读问题，做到“咬文嚼字”，抓住关键字词，化简转换问题，注意已知量，发现未知量，挖掘隐含量；建模是通过数学符号化，把问题转化为数学模型的过程；解模时我们可以借助计算机等数学工具对所建模型求解；由于应用问题本身的繁杂性、开放性，根据自己理解所建立的模型也有局限性，最后要对模型的解检验，或取或舍，或重新修正模型，直到满意为止.有些问题还需要我们利用信息技术收集数据、绘图、计算、拟合函数.
问题2 如何理解数学家华罗庚曾经说过的这段话：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，日用之繁，无处不用数学”？
探究:这是因为指数函数、对数函数以及幂函数是描述客观变化规律的重要数学模型，比如价格与利润、成本与收入、纳税、交通安全、人口等问题都可以借助函数模型来解决.
典题·热题·新题
例1 某工厂计划出售一种产品，固定成本为200万元，生产每台产品的可变成本为3 000元，每台产品的售价为5 000元，求总产量x对总成本Q、单位成本P、销售收入R以及利润L的函数关系，并作出简要分析.
思路解析：（1）从利润关系可见，欲获得较大利润，应增加产量（在不考虑销售的情况下），若x＜1 000，则要亏损；若x=1 000，则利润为零；若x＞1 000，则可赢利.这也可从图象看出，两条直线的交点就是平衡点.
（2）从单位成本与总产量呈反比例的关系可见，为了降低成本，应增加产量，这样才能降低成本，形成规模效益.
解：总成本与总产量的关系Q=2 000 000+3 000x；
单位成本与总产量的关系P=+3 000；
销售收入与总产量的关系R=5 000x；
利润与总产量的关系L=R-Q=2 000x-2 000 000.
深化升华 注意此处空半格在构建函数模型的过程中，如果涉及的变量较多，模型较为复杂，可采用层层分解的办法去找出变量间较为简单的对应关系，再解决较为复杂的函数模型间的关系.同时要注意借助于图形的直观性去寻找问题的答案.
例2 “依法纳税是每个公民应尽的义务”，国家征收个人工资、薪金所得税是分段计算的：总收入不超过1 000元的，免征个人工资、薪金所得税；超过1 000元部分需征税.设全月纳税所得额（所得额指工资、薪金中应纳税的部分）为x，x=全月总收入-1 000元，税率见下表：
级 数
全月应纳税所得额x
税 率
1
不超过500元部分
5%
2
超过500元至2 000元部分
10%
3
超过2 000元至5 000元部分
15%
…
…
…
9
超过100 000元部分
45%
（1）若应纳税额为f（x），试用分段函数表示1—3级纳税额f（x）的计算公式；
（2）某人2000年10月份工资总收入为4 200元，试计算这个人10月份应纳个人所得税多少元？
思路解析：因为在不同的收入段有不同的税率，所以，这也是分段函数问题，解题时要在每一段自变量建立相应的函数表达式.
解：（1）依税率表，有
第一段：x·5%；
第二段：（x-500）·10%+500·5%；
第三段：（x-2 000）·15%+1 500·10%+500·5%，
即f（x）=
（2）这个人10月份纳税所得额
x=4 200-1 000=3 200，
f（3 200）=0.15x（3 200-2 000）+175=355.
答：这个人10月份应缴纳个人所得税355元.
深化升华 注意此处空半格要求某人收入纳税时，需求出超过1 000元部分，即函数自变量x的值，然后对照分段函数，确定其属于哪一段，即可计算纳税值.
例3 某蔬菜基地种植西红杮，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红杮市场售价与上市时间的关系用图①的一条折线表示；西红杮的种植成本与上市时间的关系用图②的抛物线段表示.
（1）写出图①表示的市场售价与时间的函数关系式P=f（t）；写出图②表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g（t）；
（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红杮收益最大？
（注：市场售价和种植成本的单位：元/102 kg，时间单位：天）
思路解析：：解此题，应先由函数的图象建立函数关系式f（t）、g（t），然后求函数的最大值，把喜闻乐见的一个实际问题转化成一个数学问题.
解：（1）由图①可知，市场售价与时间的函数关系为
f（t）=
由图②可得种植成本与时间的函数关系为
g（t）=（t-150）2+100（0≤t≤300）.
（2）设t时刻的纯收益为h（t），则由题意得
h(t)=f(t)-g(t)=
讨论：①当0≤t≤200时，配方整理，得
h（t）=-（t-50）2+100,
∴当t=50时，h（t）在区间［0，200］上取得最大值100；
②当200∴当t=300时，h（t）在区间（200，300）上取得最大值87.5.
综合以上讨论，由100＞87.5，可知h（t）在区间［0，300］上可以取得最大值100，此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红杮收益最大.
拓展延伸 注意此处空半格分段函数是同一函数，分段函数的最大值是每段上最大值中的最大值.
例4 我国农业科学家在某地区研究玉米植株生长与时间的函数关系，通过观测、分析，列出了该地区玉米在不同阶段的高度数据：
生长阶段
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
植株高度（cm）
0.67
0.85
1.28
1.75
2.27
2.75
3.69
4.71
6.36
7.73
9.91
生长阶段
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
植株高度（cm）
12.75
16.55
20.1
27.35
32.55
37.55
44.75
53.38
71.61
83.89
97.46
生长阶段
23
24
25
26
27
28
29
30
31
植株高度（cm）
112.73
135.12
153.6
160.32
167.05
174.9
177.87
180.19
180.79
（1）画出函数图形，近似地写出一个函数关系式表达两个变量之间的关系；
（2）利用得出的关系式，与表中实际数据比较；
（3）说出关系式给出的一些信息.
思路解析：指数函数、对数函数以及幂函数是描述客观变化规律的重要数学模型，本题通过画出函数图形，假设为指数函数，结合图表，可以清楚地看出，第1到第6个生长阶段与实际得到的数据误差很小，后面的数据误差较大.
解：（1）画出函数图形（如下图所示），函数的图形近似于“S”形.
（2）以我们现有的知识很难找出一个函数关系式来近似地表达这个图形，但我们仔细观察第1个生长阶段至第25个生长阶段的函数图象后会发现，它与我们比较熟悉的指数函数的图象相像.
下面我们来考虑给出第1至第25个生长阶段的一个指数函数关系式.
假设指数函数为y=aebx，并且通过点（2，0.85）和（23，112.73），把这两个点的坐标代入函数关系式，解方程组得a=0.534，b=0.233.
因此，用指数函数近似得到的关系式为
y=f（x）=0.534e0.233x.
由得到的关系式计算出各个生长阶段的近似值如下表：
生长阶段x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
函数值f(x)
0.67
0.85
1.07
1.36
1.71
2.16
2.73
3.44
4.34
5.48
6.92
8.74
11.03
生长阶段x
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
函数值f(x)
13.93
17.58
22.2
28.02
35.37
44.66
56.37
71.16
89.84
113.41
143.17
180.73
从表中我们可以清楚地看出，第1到第6个生长阶段与实际得到的数据误差很小，后面的数据误差较大.
（3）这个指数函数在玉米生长的后几个阶段增长较快，与实际数据中稳定于某一数值附近不符.
深化升华 注意此处空半格在把实际问题向数学问题的转化过程中，能画图的要画图，可借助于图形的直观性，研究两个变量间的联系.由于所建模型带有主观性，所以必须检验数学模型的解与实际数据的拟合程度.