高中数学第一章集合与函数概念1.1.1集合的含义与表示教材梳理素材新人教A版必修1

1.1.1 集合的含义与表示
疱丁巧解牛
知识·巧学·升华
一、集合与元素
1.元素与集合的概念
一般地，我们把某些指定的对象集在一起就成为一个集合,也简称为集,常用大写字母A、B、C、D…表示;集合中的每个对象叫做元素,常用小写字母a、b、c、d…表示;例如“高一(3)班的全体同学”“方程x2-5x+6=0的实根”“数轴上的所有点”分别作为一个整体看待时，都是集合，其元素分别为“高一(3)班的每一个同学”“2，3”“数轴上的每一个点”.
要点提示 注意此处空半格“集合”是数学的一个基本概念，它同“点”、“线”、“面”等概念一样都是不定义的概念.本书中所谓集合的概念，也只是一个描述性的说明.
2.集合中元素的特性
(1)确定性——因集合是由“指定的对象在一起”所组成的整体，既然其中的元素都是“指定的对象”，那么，集合中元素当然是确定的；即设A是一个集合，a是某一具体对象，则a或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.
判断一组对象的全体是否构成集合，关键是看能否找到一个明确的标准，来判定整体中的元素是否是确定的.若元素确定，则可构成集合；若元素不确定，则不能构成集合.例如：“我们学校高一（3）班的同学”构成一个集合，“中国的四大佛教名山”也可以构成一个集合，因为它们都有一个确定的标准，可以判定某一同学或某一座山是不是该集合的元素.而“善良的人”、“美丽的花”等不能构成集合，为什么？因为我们无法找到一个标准来确定什么样的人是“善良的人”，什么样的花才算“美丽的花”.
(2)互异性——集合中的元素是互不相同的，若出现了两个（或几个）相同的元素只能算作一个，即集合中的元素不能重复.
例如，方程（x-1）2（x+1）=0的所有根组成的集合.它的根是x1=x2=1，x3=-1，其中二重根是x1=x2=1，写入集合时只能出现一次，即只能写成由-1和1两个元素组成的集合，而不能写成由1、-1、1三个元素组成的集合.
(3)无序性——集合中的元素无先后次序之分.
只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的.也就是说，两个集合是否相等只与构成两个集合的元素有关，而与元素的排列顺序无关.例如由元素a、b组成的集合与元素b、a组成的集合是相等的.
3.元素与集合的从属关系
集合是由元素组成的，元素与集合是“属于”与“不属于”的关系.
如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作：a∈A，读作“a属于A”；如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作：aA（或a∈-A）.
例如，方程x2+3x+2=0的根是x1=-1或x2=-2，设两个根组成的集合为A，显然，-1∈A，3A.
用A表示“1—20以内的所有质数”组成的集合，它的元素2，3，5，7，11，13，17，19都属于A，而像1，4，6，8，9，10，12，14，15，16，18等都不属于A.
组成集合的元素可以是数、点、图形、多项式，也可以是人或物等.又如由1，2，3，4，5组成的集合M，1是它的元素，即1∈M；由x，x2+1，x-y组成的集合B，x是它的元素，x∈B，而y不是它的元素，yB.
二、数学中的一些常见的数集及其记法
全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N；
所有正整数组成的集合称为正整数集，记作N*或N+；
全体整数组成的集合称为整数集，记作Z；
全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q；
全体实数组成的集合称为实数集，记作R.
记忆要诀 注意此处空半格自然数集中除去0就是正整数集；有理数集就是分数集.
三、集合的表示法
1.列举法
把集合的元素一一列举出来，并用大括号{ }括起来表示集合的方法.元素与元素之间用逗号分开，常用于表示有限集.
例如方程x2-4=0的根组成的集合可表示为{-2，2}；
又如大于3小于11的偶数组成的集合可表示为{4，6，8，10}，由于集合中元素的无序性，它也可以表示为{4，6，10，8}，{10，8，6，4}，{6，8，4，10}等，都是一样的.
特别地，当所给集合中的元素具有规律性时，即使元素很多亦可用列举法来表示，此时只要列举出若干个能够反映这种规律的元素，其余元素用省略号代替即可.
如{小于100的自然数}，这个集合可用列举法表示为{0，1，2，3，…,99}.
要点提示 注意此处空半格(1)用列举法表示集合时，只需把它的元素一一列举出来即可，不必考虑元素间的顺序.能否用列举法表示集合的唯一依据是，看它的元素能否一一列举出来.
(2) 用列举法表示集合时，要注意文字语言与集合语言的转换，既善于把用文字语言描述的集合中的元素一一确定出来，又善于把列举法表示的集合用文字语言表述出来.如方程x2=1的根组成的集合是{-1，1}，可描述为方程x2=1的根或绝对值等于1的值等.
误区警示 注意此处空半格并不是任何集合都能用列举法来表示，根据列举法的定义，只有能够列举出所有元素的集合才能用列举法来表示.如x2＜3的解集就不能用列举法来表示，因为这个集合的元素是永远列举不完的.
列举法表示集合时，若集合中只含有一个元素a时可表示为{a}，显然a与{a}是元素与集合的关系，即a∈{a}.
2.描述法
将所给集合中全部元素的共同特征和性质用文字或符号语言描述出来的方法称为描述法,常用于无限集.具体方法是：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
其一般格式是：A={x∈I｜p（x）}，其中x是A的元素，P(x)是这些元素的共同特征或性质.
如{不等式x-3＞2的解},此解集可用描述法表示为{x∈R|x-3＞2}；{绝对值小于3的整数}可表示为{x∈Z||x|＜3};{偶数}可表示为{x|x=2n,n∈Z};{所有的非负数组成的集合}可表示为{x∈R｜x≥0}.
在不致引起混淆的情况下， {所有的非负数组成的集合}可记为{x｜x≥0}.当集合是数集时，在没有标明x范围的前提下，我们认为x的值是使式子有意义的所有x的值.如{y｜y=}，此时我们认为x∈R且x≠0，由反比例函数的性质可知，该集合可化为{y｜y∈R且y≠0}.
当用文字语言来描述集合中元素的特征或性质时,分隔号及前面的部分常常省去;如“所有四边形组成的集合”记为{x｜x是四边形}.在不致混淆的情况下，可以省去“｜”及其左边的部分，直接写成{四边形}.
误区警示 注意此处空半格“所有四边形组成的集合”不能写成{所有四边形}，因为大括号本身有全部的意思，故用文字描述集合时，应去掉含有“整体”、“全部”等意义的词.
在使用描述法时，应注意以下六点：
(1)写清楚该集合中元素的代号（字母或用字母表示的元素符号）；
(2)说明该集合中元素的特征；
(3)不能出现未被说明的字母；
(4)多层描述时，应当准确使用“或”、“且”、“非”；
(5)所有描述的内容都要写在集合括号内；
(6)用于描述的语句力求简明、确切,如{x|x为中国的直辖市}.
资料剖析 注意此处空半格(教材P5) 例2
集合除了常用列举法和描述法表示以外，有时也可采用文字语言来表示.本例的两个问题若采用文字语言表示，则为：
(1){方程x2-2=0的实数根}；
(2){大于10小于20的整数}.
问题·思路·探究
问题1 如何理解集合中元素的确定性？判断一组对象的全体是否构成集合，关键是看哪些方面?
思路：从确定性的含义考虑.
探究:集合中的确定性是指集合中的所有元素是固定的，集合中的元素有一个共同的判断标准.如果能找到一个明确的标准，来判定整体中的对象是确定的，则这些对象可构成集合；若对象不确定，则不能构成集合.例如：今天天气好吗？原因是这句话是不确定的.也就是说，疑问性的语言不能组成集合.
问题2 集合的表示法常见的有描述法和列举法，通过本节学习你能归纳如何选择这两种方法吗？除这两种方法外是否还有其他表示集合的方法？
思路：比较列举法和描述法的定义，从集合中元素的个数和元素呈现的规律性考虑.
探究：当集合中元素的个数有限但公共属性难以概括时，只能用列举法，如{x，x2+1，x-y}；当集合中元素的个数无法一一列出时，可先抽象出元素的特征性质，用描述法描述它.
当集合的元素不是实数或式子，常采用文字语言表示，如{东方汽车厂的汽车}.对于用文字语言描述的集合，要试着分别用列举法和描述法去表示它，如B={大于10且小于20的整数}，可以写作B={x∈Z｜10＜x＜20}或B={11，12，13，14，15，16，17，18，19}.这说明描述法、列举法也可相互转化，同时也可转化成文字语言表示.
典题·热题·新题
例1 判断下列对象能否构成一个集合.如果能，用适当的方法表示该集合；如不能，请说明理由.
（1）小于5的自然数；
（2）著名数学家；
（3）高一（1）班身材高的同学；
（4）高一（1）班体重不低于50 kg的同学.
思路解析：判断某些对象是否构成一个集合，关键是看满足条件的对象能否确定，若满足某一条件的对象能被确定，则构成集合；否则不能构成集合.
解：（1）“小于5的自然数”有0，1，2，3，4，这些元素的全体组成一个集合，可用列举法表示为{0，1，2，3，4}.
（2）“著名数学家”不能构成集合，因为组成它的元素是不确定的.
（3）“高一（1）班身材高的同学”也不能构成集合，因为组成它的元素也是不确定的.
（4）“高一（1）班体重不低于50 kg的同学”构成一个集合，所有体重等于50 kg或超过50 kg的同学都在这个集合内，可用描述法表示为{x|x是高一（1）班体重不低于50 kg的同学}.
深化升华 注意此处空半格集合中的元素是确定的，某一元素a要么a∈A，要么aA，两者必居其一.这也是判断一组对象能否构成集合的依据.用什么方法表示一个集合，要看题目的条件，一般情况下，元素个数较少时，宜用列举法；元素个数较多时，宜用描述法.
例2 判断下面说法是否正确，正确的在括号内填“√”，错误的填“×”.
（1）所有在N中的元素都在N*中；（ ）
（2）所有在N中的元素都在Z中；（ ）
（3）所有不在N*中的数都不在Z中；（ ）
（4）所有不在Q中的实数都在R中；（ ）
（5）由既在R中又在N*中的数组成的集合中一定包含数0；（ ）
（6）不在N中的数不能使方程4x=8成立.（ ）
思路解析：判断常见数集中的元素与集合的从属关系，一定要了解各个记号所表示的数集和各个数集的分类依据.
答案：（1）× 在N中有元素0，而在N*中没有元素0.
（2）√
（3）× 如-2不在N*中，但-2是Z中的元素.
（4）√
（5）× 因为在N*中没有元素0.
（6）√ 因为4x=8的解是x=2，是N中的一个元素.
误区警示 注意此处空半格0是自然数，即0∈N，但0不是N*的元素，即0N*，认识常见数集时，特别要注意0的归属.
例3 已知集合A={x|ax2-3x+2=0，a∈R}，若A中元素至多只有一个，求a的取值范围.
思路解析：A中元素至多只有一个，意味着方程ax2-3x+2=0至多只有一个实根，可分为没有实根和一个实根两种情况进行讨论.
解：（1）a=0时，原方程为-3x+2=0x=，符合题意；
（2）a≠0时，方程ax2-3x+2=0为一元二次方程，Δ=9-8a≤0a≥，
∴当a≥时，方程ax2-3x+2=0无实根或有两个相等实数根，符合题意 .
综合（1）（2），知a=0或a≥.
误区警示 注意此处空半格利用一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程根的情况，当二次项系数为参数时，一定要先考虑它是不是一元二次方程，即二次项系数是不是有可能为零.在解答此题的过程中，往往疏忽对a是否为零进行讨论.
例4 （1）已知A={x∈N|∈N}，试用列举法表示集合A；
（2）用特征性质描述法表示直角坐标系中不在坐标轴上的点构成的集合.
思路解析：要准确地写出一个集合，首先要搞清代表元素是什么，本题中（1）的代表元素是数，（2）的代表元素是点；其次，元素各满足什么条件.
解：（1）∵x∈N，∈N，
∴x=0，1，2，3，4，5.
此时的值分别为1，，，2，3，6.
∴x的值为0，3，4，5，即A={0，3，4，5}.
（2）{（x，y）｜x≠0，x∈R，y≠0，y∈R}.