高中数学第一章集合与函数概念1.1.2集合间的基本关系教材梳理素材新人教A版必修1
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| 名称 | 高中数学第一章集合与函数概念1.1.2集合间的基本关系教材梳理素材新人教A版必修1 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 63.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-11-25 12:35:46 | ||
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文档简介
1.1.2 集合间的基本关系
疱丁巧解牛
知识·巧学·升华
一、子集
1.子集的定义
一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任何一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，子集是研究集合间的包含关系的，它仅仅与构成两个集合的元素有关.
记作：AB（或BA），读作“A包含于B”（或B包含A）.
辨析比较 注意此处空半格元素和集合是从属关系，符号“∈”用在元素与集合之间；集合与集合之间是包含或相等的关系，符号“”用在集合与集合之间.
2.子集的图形表示
在数学中，我们经常用平面上封闭的内部代表集合，这种图称为Venn图.这样，上述集合A和集合B的包含关系，可以用下图表示.
对于集合A、B、C，如果AB，BC，则AC.
任何一个集合A都是它自身的子集，即AA.若AB，则可用Venn图表示它们之间的关系.
即表示集合A、B的区域完全重合，或区域A在区域B的内部.
要点提示 注意此处空半格（1）集合中的元素具有传递性.它类似于不等式的传递性，即若a≤b，b≤c，则a≤c.（2）Venn图可以形象直观地表示集合间的关系，表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形，也可以是其他封闭曲线等.
资料剖析 注意此处空半格(教材P8)思考
［研析］{a}A表示的是集合与集合之间的关系，即集合{a}是集合A的子集，而a∈A表示的是集合的元素与集合之间的从属关系，即a是集合A的元素，如{1}{1,2，3},而1∈{1,2，3}.
3.子集的语言表示
集合A中的任何一个元素x，都满足x∈B，即任意x∈A，都有x∈B.或 ABx∈A,x∈B.
例如：已知集合A={1，2}，集合B={1，2，3}，因为A中所有的元素1∈B，2∈B，所以AB.
对于元素个数较少的有限集是如此，当给定的集合是元素个数较多的有限集或无限集呢？那只能根据给定集合的元素的性质去证明，若x∈A，则x∈B即可.特别地，当给定集合A、B的代表元素都是函数值时，要证明“AB”，只需比较两个函数的函数值的取值范围即可.例如：已知集合A={y|y=x2+1，x∈R}，集合B={m|m=n2，n∈R}，则集合A与B存在怎样的包含关系呢？显然集合A、B的代表元素都是实数，结合二次函数的性质化简它们得A={y|y≥1}，B={m|m≥0}，因为A中的所有元素都属于B，所以AB.
那么，如何证明集合A不是集合B的子集呢？如果集合A中存在元素不是集合B的元素，我们就说集合A不是集合B的子集，记作“AB”或“BA”，读作“A不包含于B”或“B不包含A”.例如：已知集合A={1，2}，集合B={1，3}，试判断A、B的包含关系.因为2∈A，且2B，所以AB；又因为3∈B，且3A，所以BA.由此可见，判断两个集合的“包含”与“不包含”关系，关键是看两个集合中元素的关系.你能据此写出常见数集N*、N、Z、Q、R之间的包含关系吗？
方法点拨 注意此处空半格（1）判断A、B之间的包含关系，通常将集合A、B化成最简形式.（2）若证明AB，只需在A中找一个元素a，使得aB即可.也就是说，要否定一个问题，只需举一反例即可.
二、集合相等
1.集合相等的定义
如果集合A是集合B的子集（AB），且集合B是集合A的子集（BA），此时，集合A与集合B中的元素是一样的，我们就说集合A与集合B相等，记作A=B.
集合“A=B”可用韦恩图表示为
即表示集合A、B的区域完全重合.
要点提示 注意此处空半格集合“A=B”是指集合A、B中的元素完全相同，与A、B中元素的排列顺序无关.
2.集合相等的证明
所谓“A=B”就是集合A、B中的元素完全一致.例如：试比较集合A={x｜x2-1=0}与集合B={-1，1}的关系.化简集合A={-1，1}，与集合B的元素完全一致，所以A=B；当集合A、B中的元素较多或无限多时，要证明“A=B”，只需根据集合中元素的性质证明AB，且BA即可.
辨析比较 注意此处空半格集合“A=B”可与实数中的结论“若a≥b，且b≥a，则a=b”相类比，即“若AB，且BA，则A=B”.
三、真子集
如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，记作AB或BA，读作“A真包含于B”或“B真包含A”.
若AB，可用韦恩图表示为
即把表示A的区域画在表示B的区域内，但区域A不能与B重合.
对于集合A、B、C，如果AB，BC，则AC.例如：{1}{1，2}，{1，2}{1，2，3}，所以{1}{1，2，3}.证明AB，应先证明AB，再证明B中至少有一个元素a，使得aA即可.
要点提示 注意此处空半格（1）真子集是以子集为前提，研究集合间的关系.若A不是B的子集，则A一定不是B的真子集.
（2）由子集、集合相等及真子集的定义可知，子集包括集合相等与真子集两种情况.
（3）“AB”或“AB”都具有传递性.
（4）任何集合都不是自身的真子集.
四、空集
我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作.例如：x2+1=0的实数根，|x|＜-1的解组成的集合，都因找不到它们的元素，所以它们的解集都是空集，规定空集是任何集合的子集，即A.有的同学说，可以把子集定义为：子集是由原来集合中的部分元素组成的集合，你认为这种说法妥当吗？答案是否定的.因为空集是不含任何元素的集合，它不可能是由某一集合的部分元素组成的，集合本身也无法理解为它是由它的部分元素组成的，AA.由以上子集的定义及详解，你能写出集合A={1，2}的所有子集吗？答案显然是、{1}、{2}、{1，2}.
虽然空集是任何集合的子集，但是不是任何集合的真子集？你能结合实例与定义，说明以上两个问题吗？根据真子集的定义及详解，你能写出集合A={1，2}的真子集吗？显然答案是、{1}、{2}.
要点提示 注意此处空半格（1）空集也是空集的子集，即.空集是任何非空集合的真子集.（2）一个集合的子集，除了空集外，其他子集可看作是由原集合的部分或全部元素组成的集合.
资料剖析 注意此处空半格(教材P8)例3
注意：在写出某个集合的子集时，可以按照集合元素的多少逐一写出，但一定要考虑空集这一特殊的集合，因为空集是任何集合的子集；若是要求写出某个集合的真子集，则不能将集合本身也计算在内，因为任何一个集合都是本身的子集，但不是本身的真子集.
问题·思路·探究
问题1 {0}与、 与{}有何区别？
思路：从的定义、集合与元素的概念以及二者之间的关系考虑.
探究：{0}是由一个元素0组成的有限集合，是不含任何元素的集合.因此，{0}，而不能写成={0}或∈{0}；同样道理，{}是由一个元素组成的有限集合，是不含任何元素的集合.因此有：∈{}或 {}或{}.
问题2 集合中元素的个数与该集合的子集、真子集的个数之间有何关系？
思路：可通过举例，从而归纳出一般规律.
探究：如写出{a,b}、{a,b,c}的所有子集，{a,b}的所有子集为：，{a},{b},{a,b}，所以子集有4个，真子集3个；{a,b,c}的所有子集为：,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}，子集共8个，真子集共7个.
因此，一个集合的子集个数与集合中的元素个数有关，若一个集合含有n个元素，则它有 2n个子集， 2n-1个真子集， 22-2个非空真子集.
典题·热题·新题
例1 M={x|3＜x＜4=,a=π，则下列关系正确的是（ ）
A. aM B. aM C. {a}∈M D.{a}M
思路解析：元素与集合之间的关系是∈与的关系，所以A不正确；又3＜π＜4,所以a∈M，故B不正确；集合与集合的关系是、、、的关系，而不能用∈与表示，因此C不正确；{a}M显然成立.
答案：D
例2 判断如下A与B之间有怎样的包含或相等关系.
（1）A={x|x=2k-1.k∈Z},B={x|x=2m+1,m∈Z}；
（2）A={x|x=2m.m∈Z},B={x|x=4n,n∈Z}.
思路解析：判断两个集合的包含或相等关系，主要观察两个集合间元素的关系.
解：（1）因为A={x|x=2k-1,k∈Z}，B={x|x=2m+1,m∈Z},故A、B都是由奇数构成的，即A=B.
（2）因 A={x|x=2m,m∈Z}，B={x|x=4n,n∈Z}，又x=4n=2·2n，即若有x∈B,则x∈A,所以BA.
例3 已知M={2，a，b}，N={2a，2，b2}，且M=N，求a，b的值.
思路解析：由M=N可知，两个集合中的元素应该完全相同，由此，可用集合中元素的性质解题.
解法一：根据集合中元素的互异性，有
或
解方程组得或或
再根据集合中元素的互异性，得或
解法二：∵M=N，∴M、N中元素分别对应相同.
∴
即
∵集合中元素互异，
∴a、b不能同时为0.
∴b≠0.由②得a=0或b=.
当a=0时，由①知b=1或b=0（舍去）；当b=时，由①得a=.
∴或
深化升华 注意此处空半格两个集合相等，是指两个集合的元素完全相同.元素个数较少时，可直接分析对应元素相等，以此为依据列方程或方程组求解，但求解后一定要根据集合中元素的互异性这一性质进行检验.
例4 在下列各式中：①1∈{0，1，2}；②{1}∈{0，1，2}；③{0，1，2}{0，1，2}；④{0，1，2}；⑤{0，1，2}={2，0，1}.其中错误命题的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
思路解析：元素与集合之间是从属关系，而集合与集合之间是“包含”或“相等”关系；空集是任何非空集合的真子集；两个集合如果元素完全相同，则这两个集合相等.所以①正确，②错误，③正确，④正确，⑤正确.
答案：A
例5 已知集合A={1，2}，B={1，2，3，4，5}，且AMB，写出满足上述条件的集合M.
思路解析：关键是要搞清满足条件AMB的集合M是由哪些元素组成的.∵AM，∴M中一定含有A的全部元素1、2，且至少含有一个不属于A的元素.又∵MB，∴M中的元素除了含有B的元素1、2外，还有元素3、4、5中的1个、2个或3个.故求M的问题转化为研究集合{3，4，5}的非空子集的问题，显然所求集合M有23-1=7个，按元素的多少把它们一一列举出来即可.
答案：满足条件的集合M是{1，2，3}、{1，2，4}、{1，2，5}、{1，2，3，4}、{1，2，3，5}、{1，2，4，5}、{1，2，3，4，5} .
深化升华 注意此处空半格集合是由元素构成的，要确定一个集合，一是把集合中的元素一一找出来，用列举法去表示；二是明确集合中元素的范围及其满足的性质，用描述法表示.
例6 集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m-1}
（1）若BA，求实数m的取值范围.
（2）若x∈Z时，求A的非空真子集的个数.
（3）当x∈R时，没有元素使x∈A与x∈B同时成立，求实数m的取值范围.
思路解析：BA，即B是A的子集，包括B可能是空集，解决有关集合之间的关系，空集这一重要的集合不能忘.
解：（1）当 m+1＞2m-1即m＜2时，B=满足BA.
当m+1≤2m-1即m≥2时，要使BA成立，
需
可得 2≤m≤3.
综上可得 m≤3时，有BA.
（2）当x∈Z时，A={-2,-1,0,1,2,3,4,5},
所以 A的非空真子集个数为28-2=254.
（3）∵x∈R，且A={x|-2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m-1}又没有元素使x∈A与 x∈B同时成立，
则①若B=，即m+1＞2m-1得m＜2时满足条件;
②若B≠，则要满足条件有：
或解之得m＞4.
综上有m＜2或m＞4.
误区警示 注意此处空半格BA，B可能为易被忽视，要注意这一“陷阱”，在条件不明确时，要注意分类讨论思想的运用.
疱丁巧解牛
知识·巧学·升华
一、子集
1.子集的定义
一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任何一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，子集是研究集合间的包含关系的，它仅仅与构成两个集合的元素有关.
记作：AB（或BA），读作“A包含于B”（或B包含A）.
辨析比较 注意此处空半格元素和集合是从属关系，符号“∈”用在元素与集合之间；集合与集合之间是包含或相等的关系，符号“”用在集合与集合之间.
2.子集的图形表示
在数学中，我们经常用平面上封闭的内部代表集合，这种图称为Venn图.这样，上述集合A和集合B的包含关系，可以用下图表示.
对于集合A、B、C，如果AB，BC，则AC.
任何一个集合A都是它自身的子集，即AA.若AB，则可用Venn图表示它们之间的关系.
即表示集合A、B的区域完全重合，或区域A在区域B的内部.
要点提示 注意此处空半格（1）集合中的元素具有传递性.它类似于不等式的传递性，即若a≤b，b≤c，则a≤c.（2）Venn图可以形象直观地表示集合间的关系，表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形，也可以是其他封闭曲线等.
资料剖析 注意此处空半格(教材P8)思考
［研析］{a}A表示的是集合与集合之间的关系，即集合{a}是集合A的子集，而a∈A表示的是集合的元素与集合之间的从属关系，即a是集合A的元素，如{1}{1,2，3},而1∈{1,2，3}.
3.子集的语言表示
集合A中的任何一个元素x，都满足x∈B，即任意x∈A，都有x∈B.或 ABx∈A,x∈B.
例如：已知集合A={1，2}，集合B={1，2，3}，因为A中所有的元素1∈B，2∈B，所以AB.
对于元素个数较少的有限集是如此，当给定的集合是元素个数较多的有限集或无限集呢？那只能根据给定集合的元素的性质去证明，若x∈A，则x∈B即可.特别地，当给定集合A、B的代表元素都是函数值时，要证明“AB”，只需比较两个函数的函数值的取值范围即可.例如：已知集合A={y|y=x2+1，x∈R}，集合B={m|m=n2，n∈R}，则集合A与B存在怎样的包含关系呢？显然集合A、B的代表元素都是实数，结合二次函数的性质化简它们得A={y|y≥1}，B={m|m≥0}，因为A中的所有元素都属于B，所以AB.
那么，如何证明集合A不是集合B的子集呢？如果集合A中存在元素不是集合B的元素，我们就说集合A不是集合B的子集，记作“AB”或“BA”，读作“A不包含于B”或“B不包含A”.例如：已知集合A={1，2}，集合B={1，3}，试判断A、B的包含关系.因为2∈A，且2B，所以AB；又因为3∈B，且3A，所以BA.由此可见，判断两个集合的“包含”与“不包含”关系，关键是看两个集合中元素的关系.你能据此写出常见数集N*、N、Z、Q、R之间的包含关系吗？
方法点拨 注意此处空半格（1）判断A、B之间的包含关系，通常将集合A、B化成最简形式.（2）若证明AB，只需在A中找一个元素a，使得aB即可.也就是说，要否定一个问题，只需举一反例即可.
二、集合相等
1.集合相等的定义
如果集合A是集合B的子集（AB），且集合B是集合A的子集（BA），此时，集合A与集合B中的元素是一样的，我们就说集合A与集合B相等，记作A=B.
集合“A=B”可用韦恩图表示为
即表示集合A、B的区域完全重合.
要点提示 注意此处空半格集合“A=B”是指集合A、B中的元素完全相同，与A、B中元素的排列顺序无关.
2.集合相等的证明
所谓“A=B”就是集合A、B中的元素完全一致.例如：试比较集合A={x｜x2-1=0}与集合B={-1，1}的关系.化简集合A={-1，1}，与集合B的元素完全一致，所以A=B；当集合A、B中的元素较多或无限多时，要证明“A=B”，只需根据集合中元素的性质证明AB，且BA即可.
辨析比较 注意此处空半格集合“A=B”可与实数中的结论“若a≥b，且b≥a，则a=b”相类比，即“若AB，且BA，则A=B”.
三、真子集
如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，记作AB或BA，读作“A真包含于B”或“B真包含A”.
若AB，可用韦恩图表示为
即把表示A的区域画在表示B的区域内，但区域A不能与B重合.
对于集合A、B、C，如果AB，BC，则AC.例如：{1}{1，2}，{1，2}{1，2，3}，所以{1}{1，2，3}.证明AB，应先证明AB，再证明B中至少有一个元素a，使得aA即可.
要点提示 注意此处空半格（1）真子集是以子集为前提，研究集合间的关系.若A不是B的子集，则A一定不是B的真子集.
（2）由子集、集合相等及真子集的定义可知，子集包括集合相等与真子集两种情况.
（3）“AB”或“AB”都具有传递性.
（4）任何集合都不是自身的真子集.
四、空集
我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作.例如：x2+1=0的实数根，|x|＜-1的解组成的集合，都因找不到它们的元素，所以它们的解集都是空集，规定空集是任何集合的子集，即A.有的同学说，可以把子集定义为：子集是由原来集合中的部分元素组成的集合，你认为这种说法妥当吗？答案是否定的.因为空集是不含任何元素的集合，它不可能是由某一集合的部分元素组成的，集合本身也无法理解为它是由它的部分元素组成的，AA.由以上子集的定义及详解，你能写出集合A={1，2}的所有子集吗？答案显然是、{1}、{2}、{1，2}.
虽然空集是任何集合的子集，但是不是任何集合的真子集？你能结合实例与定义，说明以上两个问题吗？根据真子集的定义及详解，你能写出集合A={1，2}的真子集吗？显然答案是、{1}、{2}.
要点提示 注意此处空半格（1）空集也是空集的子集，即.空集是任何非空集合的真子集.（2）一个集合的子集，除了空集外，其他子集可看作是由原集合的部分或全部元素组成的集合.
资料剖析 注意此处空半格(教材P8)例3
注意：在写出某个集合的子集时，可以按照集合元素的多少逐一写出，但一定要考虑空集这一特殊的集合，因为空集是任何集合的子集；若是要求写出某个集合的真子集，则不能将集合本身也计算在内，因为任何一个集合都是本身的子集，但不是本身的真子集.
问题·思路·探究
问题1 {0}与、 与{}有何区别？
思路：从的定义、集合与元素的概念以及二者之间的关系考虑.
探究：{0}是由一个元素0组成的有限集合，是不含任何元素的集合.因此，{0}，而不能写成={0}或∈{0}；同样道理，{}是由一个元素组成的有限集合，是不含任何元素的集合.因此有：∈{}或 {}或{}.
问题2 集合中元素的个数与该集合的子集、真子集的个数之间有何关系？
思路：可通过举例，从而归纳出一般规律.
探究：如写出{a,b}、{a,b,c}的所有子集，{a,b}的所有子集为：，{a},{b},{a,b}，所以子集有4个，真子集3个；{a,b,c}的所有子集为：,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}，子集共8个，真子集共7个.
因此，一个集合的子集个数与集合中的元素个数有关，若一个集合含有n个元素，则它有 2n个子集， 2n-1个真子集， 22-2个非空真子集.
典题·热题·新题
例1 M={x|3＜x＜4=,a=π，则下列关系正确的是（ ）
A. aM B. aM C. {a}∈M D.{a}M
思路解析：元素与集合之间的关系是∈与的关系，所以A不正确；又3＜π＜4,所以a∈M，故B不正确；集合与集合的关系是、、、的关系，而不能用∈与表示，因此C不正确；{a}M显然成立.
答案：D
例2 判断如下A与B之间有怎样的包含或相等关系.
（1）A={x|x=2k-1.k∈Z},B={x|x=2m+1,m∈Z}；
（2）A={x|x=2m.m∈Z},B={x|x=4n,n∈Z}.
思路解析：判断两个集合的包含或相等关系，主要观察两个集合间元素的关系.
解：（1）因为A={x|x=2k-1,k∈Z}，B={x|x=2m+1,m∈Z},故A、B都是由奇数构成的，即A=B.
（2）因 A={x|x=2m,m∈Z}，B={x|x=4n,n∈Z}，又x=4n=2·2n，即若有x∈B,则x∈A,所以BA.
例3 已知M={2，a，b}，N={2a，2，b2}，且M=N，求a，b的值.
思路解析：由M=N可知，两个集合中的元素应该完全相同，由此，可用集合中元素的性质解题.
解法一：根据集合中元素的互异性，有
或
解方程组得或或
再根据集合中元素的互异性，得或
解法二：∵M=N，∴M、N中元素分别对应相同.
∴
即
∵集合中元素互异，
∴a、b不能同时为0.
∴b≠0.由②得a=0或b=.
当a=0时，由①知b=1或b=0（舍去）；当b=时，由①得a=.
∴或
深化升华 注意此处空半格两个集合相等，是指两个集合的元素完全相同.元素个数较少时，可直接分析对应元素相等，以此为依据列方程或方程组求解，但求解后一定要根据集合中元素的互异性这一性质进行检验.
例4 在下列各式中：①1∈{0，1，2}；②{1}∈{0，1，2}；③{0，1，2}{0，1，2}；④{0，1，2}；⑤{0，1，2}={2，0，1}.其中错误命题的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
思路解析：元素与集合之间是从属关系，而集合与集合之间是“包含”或“相等”关系；空集是任何非空集合的真子集；两个集合如果元素完全相同，则这两个集合相等.所以①正确，②错误，③正确，④正确，⑤正确.
答案：A
例5 已知集合A={1，2}，B={1，2，3，4，5}，且AMB，写出满足上述条件的集合M.
思路解析：关键是要搞清满足条件AMB的集合M是由哪些元素组成的.∵AM，∴M中一定含有A的全部元素1、2，且至少含有一个不属于A的元素.又∵MB，∴M中的元素除了含有B的元素1、2外，还有元素3、4、5中的1个、2个或3个.故求M的问题转化为研究集合{3，4，5}的非空子集的问题，显然所求集合M有23-1=7个，按元素的多少把它们一一列举出来即可.
答案：满足条件的集合M是{1，2，3}、{1，2，4}、{1，2，5}、{1，2，3，4}、{1，2，3，5}、{1，2，4，5}、{1，2，3，4，5} .
深化升华 注意此处空半格集合是由元素构成的，要确定一个集合，一是把集合中的元素一一找出来，用列举法去表示；二是明确集合中元素的范围及其满足的性质，用描述法表示.
例6 集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m-1}
（1）若BA，求实数m的取值范围.
（2）若x∈Z时，求A的非空真子集的个数.
（3）当x∈R时，没有元素使x∈A与x∈B同时成立，求实数m的取值范围.
思路解析：BA，即B是A的子集，包括B可能是空集，解决有关集合之间的关系，空集这一重要的集合不能忘.
解：（1）当 m+1＞2m-1即m＜2时，B=满足BA.
当m+1≤2m-1即m≥2时，要使BA成立，
需
可得 2≤m≤3.
综上可得 m≤3时，有BA.
（2）当x∈Z时，A={-2,-1,0,1,2,3,4,5},
所以 A的非空真子集个数为28-2=254.
（3）∵x∈R，且A={x|-2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m-1}又没有元素使x∈A与 x∈B同时成立，
则①若B=，即m+1＞2m-1得m＜2时满足条件;
②若B≠，则要满足条件有：
或解之得m＞4.
综上有m＜2或m＞4.
误区警示 注意此处空半格BA，B可能为易被忽视，要注意这一“陷阱”，在条件不明确时，要注意分类讨论思想的运用.