高中数学第一章集合与函数概念1.1集合知识导航素材新人教A版必修1

1.1 集合
名师导航
知识梳理
一、集合的含义与表示
(一)集合的概念与分类
1.集合的概念:一些点、一些图形、一些数、一些整式或是一些物体等作为对象组成的整体,都可称为是一个集合.集合中的各个对象叫做这个集合的________
2.集合中元素的特征: ________、________、________.
3.集合的分类:(1): ________含有有限个元素的集合;
(2) ________:含有无限个元素的集合;
(3) ________:不含任何元素的集合,记作.如平方等于-1的实数.
(二)集合的表示法
1.字母表示法:
(1)一般用大写字母表示集合——如A,B,C,M,N……
(2)一般用小写字母表示集合中的元素——如a,b,c,m,n……
(3)常用数集的字母表示:自然数集——________;整数集——________;有理数集——________;实数集——________;
强调:实数集不可记为{R}或{实数集},0≠≠{},≠{0},≠{空集}.
2. ________法:把集合中的全部元素一一列举出来,写在大括号内表示集合的方法.
3. ________法:把集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法.
4.图示法:画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合,常用于表示又需给具体元素的抽象集合,对已给出了具体元素的集合当然也可用图示法来表示.如:A={1,2,3,4}.
Venn图
图1-1-1
(三)元素与集合的关系符号
1.如果a是集合A中的元素,就说a属于集合A,记作________.
2.如果a不是集合A中的元素,就说a不属于集合A,记作________.
二、集合间的基本关系
1.子集
(1)集合与集合之间的“包含”与“相等”关系
对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,我们就说集合A包含于集合B,或者说集合B包含集合A,记作A________B或B________A;
当集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A时,记作A________B或B________A;
对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素,我们就说集合A等于集合B,记作A=B.即若A________B,又B________A,则A=B.
(2)子集和真子集
①若AB(或BA),则A是B的__________.
空集是任何集合的__________,即A.
任何一个集合是它本身的__________,即AA.
②对于两个集合A与B,若AB,并且A≠B,则A是B的_________,记作AB(或BA).
空集是任何非空集合的___________.
③若AB,BC,则A___________C;
若AB,BC,则A___________C.
2.集合相等的概念
教材中是用“AB且BA,则A=B”来定义的,实际上也可以说当集合A与B的元素完全相同时,则A__________B.教材中的定义实际上给出了一种证明两个集合相等的方法,即欲证A=B,只需证AB与BA都成立即可.
3.全集
如果一个集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个______,由U来表示.全集具有相对性.
三、集合的基本运算
1.并集
由所有属于集合A或集合B的元素所组成的集合,叫做A与B的______,记作A∪B,即A∪B={x|x∈A,或x∈B}.
实际上,并集A∪B是由两集合A与B的“所有”元素组成的集合.用Venn图表示,如图1-1-2.
图1-1-2
易知:(1)A_________A∪B,B_________A∪B;
(2)A∪A=_________,A∪=_________,A∪B_________B∪A;
(3)若AB,则A∪B=_________;若A∪B=B,则A_________B;
(4)设U为全集,则A∪(A)= _________.
2.交集
由所有既属于集合A又属于集合B的元素所成的集合,叫做A与B的_________,记作A∩B,即A∩B={x|x∈A,且x∈B}.
可这样理解:交集A∩B是由两集合A与B的“公有”元素所组成的集合.用Venn图表示,如图1-1-3.
图1-1-3
易知:(1)若两集合A与B无公共关系,则A∩B=_________;
(2)A∩B_________A,A∩B_________B;
(3)A∩A=_________,A∩=_________,A∩B=B∩A;
(4)若AB,则A∩B=_________;若A∩B=A,则A_________B;
(5)设U为全集,则A∩(A)= _________.
3.补集
(1)补集是以“全集”为前提而建立的概念,而全集又是相对于所研究的问题而言的一个概念;只要包含研究问题的全体元素的集合都可作为_________.
(2)所谓A={x|x∈U但x _________A,AU},就是说从全集U中取出集合A的全部元素之后,所有剩余的元素组成的集合就是A.
(3)由定义有如下关系:
U(A)=___________, U=___________,=___________.
4.德·摩根(DeMorgan)法则
(A∩B)=( A) ___________ ( B);
(A∪B)=( A) ___________ ( B).
疑难突破
1.集合的表示法
剖析:(1)列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合的方法,通常表示有限集.如,由方程x2-1=0的所有解组成的集合,可以表示为{-1,1}.
(2)描述法:用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合,并把这个条件写在大括号内表示集合的方法.
格式:{x∈A|P(x)}.
含义:在集合A中满足条件P(x)的x的集合.
例如,不等式x-3>2的解集可以表示为{x|x-3>0}或{x∈R |x-3>2}.
所有直角三角形的集合可以表示为{x|x是直角三角形}.再例如:{y∈R |y=x2+2x+2}表示的为y=x2+2x+2中y的取值范围,而{x∈R |y=x2+2x+2}表示的是y=x2+2x+2中x的取值范围,故{y∈R |y=x2+2x+2}={y∈R |y≥1},而{x∈R |y=x2+2x+2}=R.
(3)Venn图法
采用平面上一条封闭曲线的内部表示集合.如集合{1,2,3},用Venn图表示为或或.
表示集合的图形的形状、大小与集合的性质没有任何关系,它仅仅把集合中的元素都包括在内,从而体现“整体”.Venn图可直观地表示集合,帮助我们理解、分析问题,但不能作为严密的数学工具使用.
2.集合中元素的三大特征
剖析:我们知道集合中的元素必具备:确定性、互异性、无序性,否则不能构成集合.
(1)确定性:对于一个给定的集合,它的元素的意义应当是明确的.依照元素公有的特征标准,可以明确地判定某一对象是这个集合的元素或不是这个集合的元素,二者必居其一,不会模棱两可.例如“著名科学家”“较大的数”“宇宙中的星体”等,都不能组成集合,原因是各对象间找不出公共特征、属性,即元素的“指定”.
(2)互异性:一个给定集合的元素之间必须是互异的,即一个集合中的任两个元素(对象)应该是不同的,相同对象在构成集合时只能作为一个元素出现在集合中.如方程(x-1)2(x-2)=0的根为x1=1,x2=1,x3=2,而该方程的解集记为{1,2},而不能记为{1,1,2}.反过来,如{1,-1,a2}表示一个集合,则其中a≠±1.
(3)无序性:构成集合的元素间无先后顺序之分.如{1,2,3,4}与{4,1,2,3}表示同一个集合.
在构成集合时元素需同时具备以上三个特征,缺一不可.
3.两个集合相等
剖析:(1)两个集合相等是指这两个集合中所包含的元素完全相同;即若AB且BA则A=B.
(2)判断两个有限集是否相等,常用的方法是将它们都用列举法表示出来,然后看它们的元素是否完全相同.
(3)判断两个无穷集A={x|p},B={x|q}是否相等,我们需要用逻辑的方法判断:(1)AB,即满足性质p的元素都满足性质q;(2)BA.即满足性质q的元素都满足性质p.