高中数学第一章集合与函数概念1.2.1函数的概念教材梳理素材新人教A版必修1

1.2.1 函数的概念
疱丁巧解牛
知识·巧学·升华
一、函数
1.函数的定义
函数的传统定义：设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，x叫做自变量.
函数的近代定义：一般地，设A、B都是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A.其中x叫自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，函数值的集合｛f（x）|x∈A｝叫做函数的值域.
不难发现{f（x）|x∈A}B.
要点提示 注意此处空半格函数是一种特殊的对应，要检验给定的两个变量之间是否具有函数关系，只要检验：
①定义域和对应法则是否给出；
②根据给出的对应法则，自变量x在其定义域中的每一个值，是否都有唯一确定的函数值y与之对应.
2.函数的三要素
（1）定义域
定义域是自变量x的取值范围，有时函数的定义域可以省略，如果未加特殊说明，函数的定义域就是指能使这个式子有意义的所有实数x的集合.在实际问题中，还必须考虑自变量x所代表的具体量的允许值范围，
例如：函数y=，由于没有指出它的定义域，则我们认为它的定义域是x≥-3且x≠0的实数.又如：一矩形的宽为x m，长是宽的2倍，其面积为y=2x2，此函数的定义域为x＞0而不是全体实数.
要点提示 注意此处空半格求函数的定义域，应考虑分式的分母不为零，根式有意义等，遇到实际问题还必须考虑自变量x所代表的具体量有实际意义.
（2）对应法则
对应法则f是核心，它是对自变量x进行“操作”的“程序”或者“方法”，是连结x与y的纽带，按照这一“程序”，从定义域集合A中任取一个x，可得到值域｛y|y=f（x）且x∈A｝中唯一y与之对应.一般地，函数f（x）中，“f”可以用具体的文字来描述，如f（x）=x2，f表示为“求平方”；f（x）=2x+1，f表示为“乘2加1”.但有时，由于函数f（x）没有解析式，如教材实例（2）（3），我们就无法用文字写出它的对应法则，同一“f”，可以“操作”于不同形式的变量，如f（x）是对x进行操作，而f（x2）是对x2进行“操作”，f（3）是对3进行“操作”.由此可知，对应法则f可以用具体的文字来表述，也可以用图象或列表来表达.
（3）值域
函数的值域是函数值的集合，应熟练掌握常见一次函数、二次函数及反比例函数的值域.
反比例函数y=(k≠0)的定义域为{x|x∈R且x≠0}，对应法则为f（x）=，值域为{y|y∈R且y≠0}.因此反比例函数y=（k≠0）可理解成对{x|x∈R且x≠0}中的任意一个自变量x，在{y| y∈R且y≠0}中都有唯一的实数y=(k≠0)和它对应.
记忆要诀 注意此处空半格函数新概念，记准要素三；定义域值域，关系式相连；函数表示法，记住也不难；图象和列表，解析最常见；函数变映射，只是数集变；不再是数集，任何集不限.
二、区间
区间是数学中常用的术语和符号，它是集合的一种表示形式.记住闭区间、开区间、半开半闭区间的符号表示及其含义.若数a、数b分别为闭区间和开区间的端点，那么在数轴上，a
用实心点表示，b用空心点表示.
区间的含义、名称、符号及几何表示如下表：
定 义
名 称
符 号
数轴表示
｛x|a≤x≤b｝
闭区间
［a，b］
｛x|a＜x＜b｝
开区间
（a，b）
｛x|a≤x＜b}
半开半闭区间
［a，b］
｛x|a＜x≤b}
半开半闭区间
（a，b）
｛x|x≥a｝
［a，+∞］
｛x|x＞a｝
（a，+∞）
｛x|x≤a｝
（-∞，a）
｛x|x＜a}
（-∞，a）
R
（-∞，+∞）
取遍数轴上所有值
区间表示数集或数的范围时，要注意开区间、闭区间、半开半闭区间端点的表示形式，要形成用区间表示函数的定义域和值域的习惯.
问题·思路·探究
问题1 高中阶段学习的函数的概念和初中学习的函数的概念有什么不同和相同?
思路：找出两个概念中的关键词，分析其中的联系和区别.
探究:初中阶段函数的概念:设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x 的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数.我们将自变量x取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.
高中阶段函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系 f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称f:AB为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A.其中, x叫自变量, x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
两种函数概念的相同点是:（1）两种表示的定义域和值域完全相同.（2）对应关系本质上也是一样的.（3）都是描述变量之间的依赖关系.
两种函数概念的不同点是:（1）用集合的观点说明变量.（2）用对应关系表示变化过程.(3)表示法的不同:初中里的表示法比较单一，但直观、生动.高中函数的概念更具一般性.比如按初中的定义就很难断下面的表达式是不是函数:
现在用高中学的函数概念来判断则是没有问题的.
问题2 f（a）与f（x）有何区别？
思路：通过比较，加深对函数概念的理解，y=f（x）表示y是x的函数，它是一变量，而f（a）是当x=a时的函数值，它是函数值域中的一个值.
探究：“y=f（x）”是“y是x的函数”的数学表达式，它仅仅是函数的符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f（x）也不一定是解析式，一个具体函数的表达式是什么，那就需要根据具体情况而定.例如：y=f（x）=x+1，也可以y=f（x）=，还可以y=f（x）=x2-2x+3，….而f（a）与f（x）既有区别又有联系，f（a）表示当自变量x=a时，函数f（x）的值，是一个常量.而f（x）是一个函数式，一般情况下，它是一个变量，f（a）是f（x）的一个特殊值.
典题·热题·新题
例1 下列对应是否为A到B的函数：
①A=R，B=R，f:x→y=±x ②A=Z,B=Q,f:x→y=x2 ③A=Z,B=Z,f:x→y= ④A=[-2,2],B=(-1,1),f:x→y=.
思路解析：可根据函数的定义判断一个对应是否为函数.
解：①A中的任一元素(除0外)在B中都有两个元素与之对应，故该对应不是A到B的函数；
②对于集合A中的任意一个整数x按照对应关系f:x→y=x2，在集合B中都有唯一一个确定的整数x2和它对应，故②是集合A到集合B的函数.
③A中元素负整数没有平方根，故在B中没有对应的元素，因此该对应不是A到B的函数；
④对于集合A的元素-2和2，按照对应关系f:x→y=，对应的函数值应该是-1和1，而在B中没有这两个元素，所以④不是A到B的函数.
深化升华 注意此处空半格判断一个对应关系是否是函数要从以下几个方面去判断：
(1)A、B必须是非空数集；
(2)A中任一元素在B中必须有元素和它对应；
(3)A中任一元素在B中必须有唯一的元素与之对应.
也就是说，对于两个非空数集，只有一对一或多对一的对应符合函数的定义，一对多的对应不符合函数的定义.
例2 (2006安徽高考)函数f(x)对于任意实数 x满足条件 f(x+2)=，若f(1)=-5,则f(f(5))=______________.
解：由f(x+2)=得f(x+4)= =f(x),所以f(5)=f(1)=-5，则f(f(5))=f（-5）=f(-1)= =-.
例3 求下列函数的定义域：
（1）f（x）=；（2）f（x）=；
（3）f（x）=+；
(4)f（x）=(a为不等于0常数).
思路解析：给定函数时，要指明函数的定义域.对于用解析式表示的函数，如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数有意义的自变量取值的集合.
解：（1）要使函数有意义，当且仅当x-2≠0，即x≠2，
∴函数的定义域为｛x|x∈R且x≠2｝.
（2）要使函数有意义，当且仅当3x+2≥0，即x≥-，
∴函数的定义域为｛x|x≥-｝.
（3）要使函数有意义，当且仅当x+1≥0且2-x≠0，即
得x≥-1且x≠2.∴函数的定义域为｛x|x≥-1且x≠2｝.
(4)要使函数有意义，必须使ax-3≥0,得
当a＞0，原函数的定义域为 {x|x≥}；当a＜0，原函数的定义域为{x|x≤}
深化升华 注意此处空半格已知函数的解析式，求函数的定义域是求使函数的解析式有意义的自变量的取值范围.常见的有以下几种情况：
(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域为实数集R；
(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；
(3)如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合；
(4)若f（x）是由几部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合（即使每部分有意义的实数的集合的交集）.
(5)对于含参数的函数定义域常常受参数变化范围的制约，应对参数进行讨论，像例1的第4小题含有参数a,须对它分类讨论.另外根据函数的定义，可知函数的定义域不可能是空集，因此即使例1的第4小题没指明a≠0,也不需考虑a=0的情况，因为a=0时，要使原式有意义的x不存在.
例4 求下列各题中f（x）的解析式：
（1）已知函数f（x+1）=x2-3x+2，求f（x）；
（2）已知f（+4）=x+8，求f（x2）；
（3）已知函数y=f（x），满足2f（x）+f（）=2x，x∈R且x≠0，求f（x）；
(4)已知一次函数f（x）满足f［f（x）］=4x-1，求f（x）.
思路解析：求函数的解析式关键在于弄清对于“x”而言，“f”是怎样的对应法则，至于选择什么符号表示自变量没有关系.（1）把x+1看成整体，利用换元法可以求出原来的函数f（x）；（2）利用配方法或换元法；（3）对于较复杂的函数解析式，如函数y=f（x），满足2f（x）+f（）=2x，x∈R且x≠0.如果我们将f（x）、f（）看作是整体，则本题可转化为一个关于f（x）、f（）的方程问题；(4)由于已知f（x）是一次函数，因此可设f（x）=ax+b（a≠0），利用待定系数法求出a,b.
解：（1）令t=x+1，则x=t-1，代入得f（t）=（t-1）2-3（t-1）+2，
∴f（t）=t2-5t+6，即f（x）=x2-5x+6.
也可以用配方法.
∵f（x+1）=x2-3x+2=（x+1）2-5x+1=（x+1）2-5（x+1）+6，
∴f（x）=x2-5x+6.
（2）解法一：∵f（+4）=x+8=（+4）2-16，
∴f（x）=x2-16（x≥4）.∴f（x2）=x4-16（x≤-2或x≥2）.
解法二：设+4=t≥4，则=t-4，x=（t-4）2，
∴f（t）=（t-4）2+8（t-4）=t2-16.∴f（x）=x2-16（x≥4）.
∴f（x2）=x4-16（x≤-2或x≥2）.
（3）由2f（x）+f（）=2x ①
将x换成，则换成x，得
2f（）+f（x）= ②
①×2-②，得3f（x）=4x-，即f（x）=-.
（4）因为f（x）是一次函数，设f（x）=ax+b（a≠0），
则f［f（x）］=f（ax+b）=a（ax+b）+b=a2x+ab+b=4x-1.
∴或
∴f（x）=2x-或f（x）=-2x+1.
深化升华 注意此处空半格求解析式的方法较多，上述例子分别用了配方法、换元法、方程法、待定系数法求f（x）.
对于已知f［g（x）］的表达式，求f（x）的表达式的问题，一般方法是换元法，即设g（x）=t，解出用t表示x的表达式，代入求得f（x）的解析式.在用换元法解这类题时，特别要注意正确确定中间变量t的取值范围.
对于题目中已知函数f（x）的函数类型，一般采用待定系数法，如例2的第(4)小题.
例5 甲地到乙地的高速公路长1 500千米，现有一辆汽车以100千米/小时的速度从甲地到乙地，将汽车离开甲地的距离s(公里)表示成时间t(小时)的函数，并求出定义域.
思路解析：由已知可知这辆汽车是匀速运动，所以易求得函数解析式，其定义域由甲乙两地之间的距离来决定.
解：∵汽车在甲乙两地匀速行驶，∴s=100 t.
∵汽车行驶速度为100千米/小时，两地距离为1 500千米，
∴从甲地到乙地所用时间为t=15小时，
答：所求函数为s=100t,t∈{t|0≤t≤15}.
深化升华 注意此处空半格求函数应用题的函数解析式，关键在于分析清楚题意给出的等量关系，建立函数模型.有关实际问题的函数定义域的求法，并不是单纯根据函数解析式求解，要考虑问题的实际意义.
例6 求下列函数的值域:
(1)y=|x|-1,x∈{-2,-1,0,1,2};(2)y=x2+4x+3,(-3≤x≤1)；(3)y=；(4)y=2x-3+;(5)y=.
思路解析：求函数的值域应确定相应的定义域后再根据函数的具体形式及运算确定其值域.（1）本例解析较简单，故可用“直接法”根据定义域及对应法则得到该函数的值域.(2) 对于二次函数值域的求法，常采用配方法或作出二次函数的图象求得.（3）对于形如y=（a≠0）型函数值域的求法，常借助反比例函数y=(k≠0)的值域解决.(4) 没有给定自变量的取值范围，应先考查函数的定义域，再求其值域.对于形如y=ax+b±（a,b,c,d为常数，且ac≠0)的函数值域的求法,常借用整体思想利用“换元法”求值域.(5) 形如y=型的函数，由于任一函数的定义域都不可能是空集，所以可将函数化为：(ya2-a1)x2+(yb2-b1)x+yc2-c1=0.当ya2-a1≠0时，上式是关于x的一元二次方程，因此该方程的根的判别式Δ≥0，根据这个不等式可求出函数的值域，当然ya2-a1=0也要考虑.
解:（1）∵x∈{-2,-1,0,1,2}，y=|x|-1，
∴y∈{-1,0,1}.
（2）法一：∵-3≤x≤1，y=x2+4x+3=(x+2)2-1,
∴y∈{y|-1≤y≤8}.
法二：画出y=x2+4x+3,(-3≤x≤1)的图象，
如图所示，当x∈{x|-3≤x≤1}时，得y∈{y|0≤y≤8}.
（3）∵ y===2+，由≠0，有 y≠2，
∴函数的值域为{y|y∈R,且y≠2}.
（4）∵4x-13≥0,∴x≥.令t=，则得x=.
∴y=t2+t+=(t+1)2+3，因为x≥，∴t≥0,因此y≥.
∴函数 y=2x-3+的值域为{y|y≥}.
（5）由y=得x∈R,且可化为 (2y-1)x2+2(y+1)x+(y+3)=0,
∴当 y≠时，Δ=［2(y+1)］2-4(2y-1)(y+3)≥0.
∴y2+3y-4≤0.∴-4≤y≤1且∴y≠.
又当y=时，代入方程得x=-，满足条件.
∴函数y=的值域为{y|-4≤y≤1}.
深化升华 注意此处空半格求函数的值域有几种常用方法：直接法、配方法、换元法、判别式法等，但求函数的值域是一个相当复杂的问题，它没有现成的方法可套用，要结合函数表达式的特征，联系所学知识，灵活地选择适当的方法.
除以上介绍的求函数值域的方法外，今后还会学习“反函数”法、“单调性”法、“三角换元”法、“不等式”法及“导数法”等求值域的方法.
例7 已知函数f（x）=，
求f（1）+f（2）+f（）+f（3）+f（）+f（4）+f（）.
思路解析：本题可将所给数值依次代入求值，但费时，如果考虑到所求值的特征：f（x）+f（）是一定值，便可迅速求解.
解法一：∵f（x）=，
∴f（1）==，f（2）==，f（）==，
f（3）==，f（）==，
f（4）==，f（）==.
∴f（1）+f（2）+f（）+f（3）+f（）+f（4）+f（）=
++++++=.
解法二：∵f（x）+f（）===1，
∴f（2）+f（）=f（3）+f（）=f（4）+f（）=1.
∴所求值为3+f（1）=.
例8 判断下列各组函数是否相等，为什么？
（1）y=与y=1；
（2）y=与y=x；
（3）y=与y=；
（4）y=x2+1与y=t2+1.
思路解析：判断两个函数是否相同，只需看这两个函数的定义域和对应法则是否完全一致.
解：（1）对应法则相同，都是无论x取任何有意义的值，y都对应1.但是它们的定义域不同，y=的定义域是｛x|x≠0｝，而y=1的定义域为R，故这两个函数不相同.
（2）对应法则不相同，y==|x|=的定义域为R，y=x的定义域也是R，但当x＜0时，对应法则不同，故两个函数不是同一个函数.
（3）函数y=的定义域为使成立的x的集合，即｛x|-1≤x≤1｝.在此条件下，函数解析式写为y=，而y=的定义域也是｛x|-1≤x≤1｝，由于这两个函数的定义域和对应法则完全相同，所以两个函数相同.
（4）两个函数的自变量的形式不相同，一个是x，一个是t，但x与t的取值范围相同都为R，而对应法则f都是“平方加1”.这说明两个函数的定义域、对应法则都相同，是同一函数.
答案：（1）（2）组中函数不相等；（3）（4）组中函数相等.
深化升华 注意此处空半格函数具有三要素：定义域、值域和对应法则，其中定义域和对应法则确定后，值域随之确定.所以要判定两个函数是否相同，只需看两个函数的定义域和对应关系是否完全一致，若完全一致就是同一函数，若不完全一致，就不是同一函数.
例9 (1)已知函数f（x）的定义域为(0,1)，求f（x2）的定义域；
(2)已知函数f（2x+1）的定义域为（0，1），求f（x）的定义域；
(3)已知函数f（x+1）的定义域为［-2,3］，求f（2x2-2）的定义域.
思路解析：无论何种函数，定义域是指自变量x的取值范围，同一题目中“f”相同，它所“加工”的变量的范围也相同，如f（x）=x2+2x+1可形象地比喻为f（□）=□2+2□+1，从而f（x2）=（x2）2+2（x2） +1.
f（x2）的定义域是指x的取值范围.而由f（2x+1）的定义域求f（x）的定义域，是将2x+1看作整体，求这个整体的范围，令t=2x+1 ，先得到f（t）中t的范围，从而过渡到f（x）中x的范围.
解：（1）∵f（x）的定义域为（0，1），即0＜x＜1，
∴要使f（x2）有意义，必须x2在（0，1）内，即0＜x2＜1，
得-1＜x＜0或0＜x＜1.
∴f（x2）的定义域为（-1，0）∪（0，1）.
（2）∵f（2x+1）的定义域为（0，1），即x∈（0，1），
∴1＜2x+1＜3.
令t=2x+1，则f（t）的定义域，即t的取值范围为（1，3）.
而f（x）与f（t）的定义域是相同的，
∴f（x）的定义域为（1，3）.
(3)∵f（x+1）的定义域为［-2,3］，∴-2≤x≤3,
令t=x+1,∴-1≤t≤4.
∴f（t）的定义域为-1≤t≤4.
即f（x）的定义域为-1≤t≤4，因此要使f（2x2-2）有意义，需使
-1≤2x2-2≤4.
∴-≤x≤-或≤x≤.
∴函数f（2x2-2）的定义域为 ［-,-］∪［,］.
深化升华 注意此处空半格（1）求函数的定义域与函数中自变量的符号无关；
（2）对于复合函数f［g(x)］而说，如果函数f(x)的定义域为A，则f［g(x)］的定义域就是使得函数g(x)∈A的x的取值范围；
（3）如果f［g(x)］的定义域为A，则函数f(x)的定义域是函数g(x)的值域；
（4）用区间来表示函数的定义域和值域比起集合来显得简单，但实质是一样的，区间之间的交、并运算与集合的交、并运算相同.此级HS4的大图若接排前加，若另面则不加