高中数学第一章集合与函数概念1.2函数及其表示知识导航素材新人教A版必修1

1.2 函数及其表示
名师导航
知识梳理
1.函数的概念
设A、B是非空的数集,如果按某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个x,在集合B中都有_________的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的函数,记作y=f(x),x∈A,其中x叫_________,x的取值范围A叫做函数y=f(x)的_________;与x的值相对应的y的值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}(B)叫做函数y=f(x)的_________.
(1)函数实际上就是集合A到集合B的一个特殊对应,这里f:A→B,这里A、B为的_____数集.
(2)A:定义域,原象的集合;{f(x)|x∈A}:值域,象的集合,其中{f(x)|x∈A}_________B;f:对应法则,x∈A,y∈B.
(3)函数符号:y=f(x)y是x的函数,简记f(x).
2.已学函数的定义域和值域
(1)一次函数:f(x)=ax+b(a≠0):定义域为_________,值域为_________.
(2)反比例函数:f(x)=(k≠0):定义域为_________,值域为_________.
(3)二次函数:f(x)=ax2+bx+c(a≠0):定义域为_________,值域_________:当a>0时,为_________;当a<0时,为_________.
3.函数的三要素
函数的三要素是_________、_________和_________.
只有当这三要素_________时,两个函数才能称为同一函数.
4.函数的表示方法
主要有三种常用的表示方法,即_________法、_________法和_________法.
(1) _________法:把一个函数用一个式子表示,这种表示函数的方法叫做解析法.
(2) _________法:把两个变量的一系列对应值列成一个表,这种表示方法叫做列表法.
(3) _________法:把两个变量之间的关系用图象表示,这种方法叫做图象法.
5.“区间”的概念
设a、b是两个实数且a(1)满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做_________,表示为［a,b］.
(2)满足不等式a(3)满足不等式a≤x{x|x≥a},{x|x>a},{x|x≤b},{x|x_________.
6.映射的概念
设A、B是两个集合,如果按照某种对应法则f,对于A中的每一个元素,在B中都有唯一的元素与之对应,那么,这样的单值对应叫做集合A到集合B的映射,记作__________.
疑难突破
1.函数概念的理解
剖析:(1)如果一个函数需要几个不同条件的限制时,那么定义域为各限制条件的交集.
(2)求定义域的基本步骤为:根据所给函数按照基本要求列出不等式组,解不等式组即可.
(3)定义域是一个集合,要用集合作答.也可写成区间的形式,定义域用区间表示有时显得非常简洁.
(4)随着今后的学习,自变量x的取值范围还可能受到一些新的限制,如对数函数,三角函数等.
(5)两个函数当且仅当定义域与对应法则分别相同时,才是同一函数.
(6)注意:我们可以定义一个函数f:A→B,该函数的值域C并不一定等于集合B,但C一定是B的一个子集.
(7)理解函数符号“y=f(x)”的含义.符号“y=f(x)”用语言通俗解释为“y是x的函数”,它仅仅是抽象的、简洁的函数符号,每一部分都有其特定的含义.
2.映射的概念
剖析:对于映射这个概念,应明确以下几点:
(1)映射中的两个集合A和B可以是数集、点集或由图形组成的集合等.
(2)映射是有方向的,A到B的映射与B到A的映射往往是不一样的.
(3)映射要求对集合A中的每一个元素在集合B中都有元素与之对应,而这个与之对应的元素是唯一确定的,这种集合A中元素的任意性和在集合B中对应的元素的唯一性构成了映射的核心.
(4)映射允许集合B中存在的元素在A中没有元素与其对应.
(5)映射允许集合A中不同的元素在集合B中有相同的对应元素,即映射只能是“多对一”或“一对一”,不能是“一对多”.
问题探究
问题1高中阶段学习的函数的概念和初中阶段学习的函数的概念有什么异同？
探究:初中阶段的概念是这样的:设在一个变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值,y都有唯一的值与它对应,那么就说x是自变量,y是x的函数.
将自变量x取值的集合叫做函数的定义域,和自变量x的值对应的y的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域.
高中阶段的概念是这样的:设A、B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A.其中,x叫自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
两种函数概念有以下的相同点:
(1)两种表示的定义域和值域完全相同;
(2)对应关系本质上也是一样的;
(3)都是描述变量之间的依赖关系.
两种函数概念有以下的不同点:
(1)用集合的观点说明变量;
(2)用对应关系表示变化过程;
(3)表示法的不同:初中里的表示法比较单一,在高中更全面.
问题2如何判断两个函数是不是同一个函数？
探究:判断两个函数是不是同一个函数关系,关键是要严格按定义的三要素:对应法则、定义域和值域来检验.三个要素完全相同即是同一个函数,如果有其中任何一个不同就不是同一个函数.要注意的是:由于由定义域和对应关系即可以确定函数的值域,故通过比较两个函数的定义域和对应关系就可确定两个函数是不是相同.但有时为了方便,也用函数的值域进行判断,若值域不同,则必不是相同的函数.
问题3函数有哪几种表示法？你能谈谈它们的优点和不足吗？
探究:表示函数有三种方法:解析法,列表法,图像法.
(1)利用解析式(如学过的代数式)表示函数的方法叫做解析法.用解析式表示函数的优点是简明扼要、规范准确.已学利用函数的解析式,求自变量x=a时对应的函数值,还可利用函数的解析式,列表、描点、画函数的图象,进而研究函数的性质,又可利用函数解析式的结构特点,分析和发现自变量与函数间的依存关系,猜想或推导函数的性质(如对称性、增减性等),探求函数的应用等.不足之处是有些变量与函数关系很难或不能用解析式表示,求x与y的对应值需要逐个计算、有时比较繁杂.
(2)通过列表给出y与x的对应数值、表示y是x的函数的方法叫做列表法.列表法的优点是能鲜明地显现出自变量与函数值之间的数量关系,于是一些数学用表应运而生.如用立方 表、平方根表分别表示函数.商店职员也制作售价与数量关系的计价表,方便收款.列表法的缺点是只能列出部分自变量与函数的对应值,难以反映函数变化的全貌.
(3)利用图象表示y是x的函数的方法叫做图象法.用图象表示函数的优点是形象直观,清晰呈现函数的增减变化、点的对称、最大(或小)值等性质.图象法的不足之处是所画出的图象是近似的、局部的,观察或由图象确定的函数值往往不够准确.